Respuesta a Chícharo matemático III y un ejercicio creativo inclusivo
Buena participación en el inciso II y pobre en la del chícharo matemático como esperaba. Tuve que apelar a los aventajados de la Matemática para evitar que la respuesta fuera solamente la mía. Pudimos disfrutar de razonamientos muy pertinentes y creativos que demuestran las potencialidades de los acertijandos.
Vamos por parte.
El chícharo matemático fue uno de los seis problemas de la 18 IMO de 1976 en Austria, que como ya he dicho tuve el honor de ser profesor acompañante.
En un cuadrilátero ABCD convexo y plano de área igual a 32 cm2, la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una de las diagonales es igual a 16 cm.
Hallar las longitudes posibles de la otra diagonal.
AC+CD+AC =16 y Área (ABCD) = 32
Respuesta BD= 8*raíz cuadrada(2)
AB=2 CD=6 AC=8 Entonces 2+6+8=16
Área(DCA) + Área(BAC)= 6*8/2+2*8/2 = 24+8= 32
Es muy cierto que no disponer de la posibilidad de adjuntar una figura le hace perder didactismo a la solución.
Surge una vez más la tendencia de simplificar o llevar a un caso particular lo que debe ser tratado de manera general como corresponde al enunciado del problema.
En el caso particular del cuadrado, no se cumple la segunda condición. Mientras que en el caso del rectángulo si se cumplirían ambas condiciones, pero hablar de la otra diagonal tiene el sesgo de que numéricamente es la misma. Es una sutileza discutible que espero que irita o Mirita si faltó la M comprenda y si lo desea me haga saber su opinión, no albergo duda que sabe de lo que escribió aunque no haya culminado la tarea.
Para la solución general hubo respuestas de barca++; de David Estévez y de David Rob. Desde antes había recibido la de Sarah María. Seleccioné la solución que me envió Sarah María, la estudiante de la entonces Vocacional Lenin que participó en la 18 IMO. También la del joven barca++, a la que le hice una pequeña cura ortográfica. Ya verán coincidencias y caminos diferentes.
David E hizo una interpretación muy creativa, diferente a las otras con cálculo diferencial incluido; por cierto estuvimos a unos metros de distancia en la Sala 4 de Informática 2018 pero no pudimos conocernos en vivo y en directo. También David R hizo lo suyo, pero le faltó concluir, algo que evidentemente fue un accidente de escritura.
Sarah María Duyos propuso:
El amigo barca++ propuso:
Sean a, c lados opuestos b diagonal, n ángulo entre a y b, m ángulo entre b y c. Note que por área de triángulos:
Área del triang. formado por a y b es a*b*sen(n)/2
Área del triang. formado por b y c es b*c*sen(m)/2
Luego:
a*b*sen(n)/2 + b*c*sen(m)/2 = 32
que es lo mismo:
b*(a*sen(n) + c*sen(m)) = 64
Por otro lado:
a + b + c = 16 por tanto b = 16 – (a + c)
Luego:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) = 64
Sabemos que sen es una función entre 1 y -1 luego:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) <= (16 – (a + c))*(a + c)
Hagamos x = a + c obtenemos que:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) <= (16 – (a + c))*(a + c) = 16x – x^2
Pero la función 16x – x^2 alcanza su máximo en 64 para x = 8, luego:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) <= (16 – (a + c))*(a + c) <= 64
Como la igualdad se cumple por los datos del problema, entonces forzosamente:
sen(n) = 1 -> n = 90, sen(m) = 1 -> m = 90 y a + c = 8 -> b = 8
Note que ahora tenemos que a y c son paralelas y suman 8
Luego la segunda diagonal d es la Hipotenusa del triángulo rectángulo
de catetos a + c y b luego:
d^2 = 8^2 + 8^2 luego d = 8*raíz(2).
Gracias amiga y amigos matemáticos.
II
El ejercicio inclusivo tenía varias variables para enriquecer la interpretación y el análisis. Siempre hubo humorismo, pero fue fino y atinado.
Si usted entra en un mercado agropecuario de oferta y demanda, y hay dos tarimas ofertando los mismos tipos de productos. En la tarima A la pesa es mecánica y en la tarima B es electrónica. En la tarima A se anuncia descuento del 10% por gastar más de 50 pesos. En la tarima B se anuncia que si gasta más de 50 pesos, puedes llevar gratis la Fruta Bomba o el Melón de Agua que escojas. En la tarima A trabaja un adulto mayor, en la tarima B trabaja una persona joven.
¿En cuál tarima usted compraría para sacar mayor provecho a su dinero?
Respuesta: Como ya sabemos es un problema abierto con respuestas abiertas
Razonemos sobre las variables analíticas:
Las dos ofertas
Efectivamente la primera oferta da más provecho mientras más se gaste, esto lo advirtieron varios, entre ellos: Yosvel; Oro; NORA; Rene.
A mí se me ocurrió una variante en defensa de los consumidores. Nos ponemos de acuerdo 10 y hacemos una compra de 50 pesos, llegaríamos a 500 pesos con un descuento de 50; al salir del mercado el delegado comprador-la persona de más conocimientos-, le devuelve 5 pesos a sus 9 colegas. No es mucho pero algo es algo. Además como dijeron kiki y yunior es una vía en la búsqueda del provecho del cliente.
Los dos tipos de balanzas
No necesariamente una garantiza fiabilidad respecto a la otra. Todo depende de que estén debidamente calibradas y certificadas. No estaría de más que cada consumidor lleve un pedazo de metal correctamente pesado para infundir respeto antes los vendedores.
Las diferencias etarias de los vendedores
Esta es una de las más polémicas ya que pone de relieve la desconfianza que algunos tienen hacia los más jóvenes. Yo siempre he confiado en los jóvenes. El acertijando joloro hizo una buena mezcla de estrategias de compra. Nuestro Cucalambé puso buena rima pero le hizo una heridita a la Matemática.
Hasta el próximo acertijo.
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Completamente de acuerdo con el gran educador cubano Prof. Néstor del Prado Arza. La confianza en los jóvenes es uno de los elementos sociales más necesarios e imperativo para el desarrollo. El Prof. Néstor del Prado Arza cree en los jóvenes y es por ello que puede ser el gran educador y pensador que es. Mientras creamos en los jóvenes somos también jóvenes. El día de digamos " esta juventud no sirve para nada" estamos declarándonos oficialmente viejos.
Mi estimado amigo Oro, ya veo que no dices nada del Chícharo III, pero en cambio resaltaste algo de gran valor: la actitud de confiar en los jóvenes. Muchas gracias por el respaldo
Tremendo puré de chicacho, por cierto en cual tarima hay CHICHARO
Acertijando "Yo", menos mal que usted convirtió en puré al chícharo. Para su información en ambas tarimas había chícharos y al mismo precio, así que no es relevante el dato. Menos mal que el sentido del humos no nos abandona
Alguien me pudiera dar
La longitud de BC,
Por favor y la de AD
Para mi cuenta sacar.
Quiero el área calcular
Por la fórmula de Herón
Y me hace falta, en cuestión,
Del triángulo conocer
Cada lado, para ver
Si llego a la solución.
Tremendo RARJ. Mi esposa me pregunto de que me ria tanto, es por lo original, simpatico e inteligente de su decima.
Desde mi punto de vista el chicharo estuvo muy interesante, pues a simple vista el tamanho de la diagonal aparenta estar sujeto a pocas restricciones, sin embargo, como se vio la respuesta es única. Construir primero algunos ejemplos me ayudó a sospechar que había alguna verdad mas profunda detrás.
Como moraleja, en este tipo de problemas en el que existen "demasiadas" variables, un enfoque basado en la optimización suele funcionar (sobre todo cuando existe solución única). En definitiva este fue el punto común en todas las respuestas correctas.
Para el amigo RARJ, guiándonos por la figura:
*le puede dar a AB un valor arbitrario entre 0 y 8 (pero sin incluir estos valores, porque seria un triangulo), digamos AB=x
*la diagonal AC = 8
*lado CD = 8-x
*lado AD = raiz((8-x)^2+64)
*lado BC = raiz(x^2+64)
Salu2 matematicos
Mil gracias David, me ha dado
La solución resumida,
Con su fórmula enseguida
Obtuve los resultados.
Con ellos he comprobado,
Que Herón no se equivocó.
Este acertijo me dio
Un buen dolor de cabeza
Pero ya junté las piezas
Y el área da treinta y dos.
Buen razonamiento el de David Estevez. Vamos a ver si el amigo RARJ puede lograr la solución a su manera, aplicando la fórmula que trabaja con el semiperímetro y los lados del triángulo. Así evade la trigonometría. Esperemos nos sorprenda como de costumbre.
Bravo por nuestro cucalambe
Felicitaciones por tan interesante sección, lamentablemente por mis condiciones de acceso a lnternet no puedo participar de forma activa. No se pudiera crear una especie de lista de distribución a la cual uno se pudiera suscribir y le llegara el suplemento de "Para pensar" a un correo electrónico? Y que de igual forma se pudiera participar con las propuestas de respuesta por esta vía alternativa? Saludos.