Buena participación en el inciso II y pobre en la del chícharo matemático como esperaba. Tuve que apelar a los aventajados de la Matemática para evitar que la respuesta fuera solamente la mía. Pudimos disfrutar de razonamientos muy pertinentes y creativos que demuestran las potencialidades de los acertijandos.
Vamos por parte.
El chícharo matemático fue uno de los seis problemas de la 18 IMO de 1976 en Austria, que como ya he dicho tuve el honor de ser profesor acompañante.
En un cuadrilátero ABCD convexo y plano de área igual a 32 cm2, la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una de las diagonales es igual a 16 cm.
Hallar las longitudes posibles de la otra diagonal.
AC+CD+AC =16 y Área (ABCD) = 32
Respuesta BD= 8*raíz cuadrada(2)
AB=2 CD=6 AC=8 Entonces 2+6+8=16
Área(DCA) + Área(BAC)= 6*8/2+2*8/2 = 24+8= 32
Es muy cierto que no disponer de la posibilidad de adjuntar una figura le hace perder didactismo a la solución.
Surge una vez más la tendencia de simplificar o llevar a un caso particular lo que debe ser tratado de manera general como corresponde al enunciado del problema.
En el caso particular del cuadrado, no se cumple la segunda condición. Mientras que en el caso del rectángulo si se cumplirían ambas condiciones, pero hablar de la otra diagonal tiene el sesgo de que numéricamente es la misma. Es una sutileza discutible que espero que irita o Mirita si faltó la M comprenda y si lo desea me haga saber su opinión, no albergo duda que sabe de lo que escribió aunque no haya culminado la tarea.
Para la solución general hubo respuestas de barca++; de David Estévez y de David Rob. Desde antes había recibido la de Sarah María. Seleccioné la solución que me envió Sarah María, la estudiante de la entonces Vocacional Lenin que participó en la 18 IMO. También la del joven barca++, a la que le hice una pequeña cura ortográfica. Ya verán coincidencias y caminos diferentes.
David E hizo una interpretación muy creativa, diferente a las otras con cálculo diferencial incluido; por cierto estuvimos a unos metros de distancia en la Sala 4 de Informática 2018 pero no pudimos conocernos en vivo y en directo. También David R hizo lo suyo, pero le faltó concluir, algo que evidentemente fue un accidente de escritura.
Sarah María Duyos propuso:
El amigo barca++ propuso:
Sean a, c lados opuestos b diagonal, n ángulo entre a y b, m ángulo entre b y c. Note que por área de triángulos:
Área del triang. formado por a y b es a*b*sen(n)/2
Área del triang. formado por b y c es b*c*sen(m)/2
Luego:
a*b*sen(n)/2 + b*c*sen(m)/2 = 32
que es lo mismo:
b*(a*sen(n) + c*sen(m)) = 64
Por otro lado:
a + b + c = 16 por tanto b = 16 – (a + c)
Luego:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) = 64
Sabemos que sen es una función entre 1 y -1 luego:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) <= (16 – (a + c))*(a + c)
Hagamos x = a + c obtenemos que:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) <= (16 – (a + c))*(a + c) = 16x – x^2
Pero la función 16x – x^2 alcanza su máximo en 64 para x = 8, luego:
(16 – (a + c))*(a*sen(n) + c*sen(m)) <= (16 – (a + c))*(a + c) <= 64
Como la igualdad se cumple por los datos del problema, entonces forzosamente:
sen(n) = 1 -> n = 90, sen(m) = 1 -> m = 90 y a + c = 8 -> b = 8
Note que ahora tenemos que a y c son paralelas y suman 8
Luego la segunda diagonal d es la Hipotenusa del triángulo rectángulo
de catetos a + c y b luego:
d^2 = 8^2 + 8^2 luego d = 8*raíz(2).
Gracias amiga y amigos matemáticos.
II
El ejercicio inclusivo tenía varias variables para enriquecer la interpretación y el análisis. Siempre hubo humorismo, pero fue fino y atinado.
Si usted entra en un mercado agropecuario de oferta y demanda, y hay dos tarimas ofertando los mismos tipos de productos. En la tarima A la pesa es mecánica y en la tarima B es electrónica. En la tarima A se anuncia descuento del 10% por gastar más de 50 pesos. En la tarima B se anuncia que si gasta más de 50 pesos, puedes llevar gratis la Fruta Bomba o el Melón de Agua que escojas. En la tarima A trabaja un adulto mayor, en la tarima B trabaja una persona joven.
¿En cuál tarima usted compraría para sacar mayor provecho a su dinero?
Respuesta: Como ya sabemos es un problema abierto con respuestas abiertas
Razonemos sobre las variables analíticas:
Las dos ofertas
Efectivamente la primera oferta da más provecho mientras más se gaste, esto lo advirtieron varios, entre ellos: Yosvel; Oro; NORA; Rene.
A mí se me ocurrió una variante en defensa de los consumidores. Nos ponemos de acuerdo 10 y hacemos una compra de 50 pesos, llegaríamos a 500 pesos con un descuento de 50; al salir del mercado el delegado comprador-la persona de más conocimientos-, le devuelve 5 pesos a sus 9 colegas. No es mucho pero algo es algo. Además como dijeron kiki y yunior es una vía en la búsqueda del provecho del cliente.
Los dos tipos de balanzas
No necesariamente una garantiza fiabilidad respecto a la otra. Todo depende de que estén debidamente calibradas y certificadas. No estaría de más que cada consumidor lleve un pedazo de metal correctamente pesado para infundir respeto antes los vendedores.
Las diferencias etarias de los vendedores
Esta es una de las más polémicas ya que pone de relieve la desconfianza que algunos tienen hacia los más jóvenes. Yo siempre he confiado en los jóvenes. El acertijando joloro hizo una buena mezcla de estrategias de compra. Nuestro Cucalambé puso buena rima pero le hizo una heridita a la Matemática.
Hasta el próximo acertijo.