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Respuesta a cuántos rectángulos hay en esta figura

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rectangulos-matematicoLa respuesta correcta es 315 rectángulos.

Ya sabemos que en la mayoría de los casos el método para llegar al resultado correcto no es único. De hecho para júbilo mío y espero que para otros muchos disfrutáramos de excelentes e ingeniosos razonamientos. No faltaron los súper concretos que solo escribieron 315. Siempre cabe la duda si lo dedujeron o lo copiaron.

Perdonen quienes utilizaron el método de mi abuelo Rafael, que cuando vendía 10 terneros, le exigía al comprador que por cada ternero que subía al camión le pagara los 100 pesos que costaba cada uno. No confiaba en la multiplicación. Seguramente los que así calcularon cogieron dolor de cabeza y se le irritaron los ojos.

Pues bien hay al menos cuatro métodos de resolver el problema, con algunas similitudes entre ellos.

En cualquier caso, incluyendo los que contaron a lo “Rafael”, se percataron que existían rectángulos de diferentes dimensiones, y trataron de ir barriendo visualmente y sumando hasta llegar al supuesto total.

Entonces el primer método parte de buscar un algoritmo o método para contar la cantidad de rectángulo de las diferentes familias, clases o grupos. En esto Milton García Borroto lo hizo muy bien, definiendo funciones y todo, aunque no fue suficientemente explícito para quienes necesitan los detalles. Moises vila se sumó y lo detalló. El amigo Radical, también se basó en este razonamiento, pero sacó creativas conclusiones respecto a la sucesión que se formaba en cada clase o familia.

Yo les preparé la siguiente tabla nacida de un EXCEL.

tabla-rectangulo-nestor-del-prado-acertijo

11 quiere decir 1 segmento horizontal y 1 vertical; 43: 4 segmentos horizontales y 3 verticales, y así análogamente.

Como ya dije Radical con excelente creatividad se percató que las sucesiones se comportaban como una progresión aritmética de d=-15, y su primer término era 90. Sumó esos 6 términos y llegó al 315.

También se puede sumar cada quinteto de números que forman una progresión aritmética de diferencia  (de 1 a 6); luego sumar  los seis resultados, es decir la columna final y llegamos al mismo número. 315.

Noten que aquí el 315 sale de la suma de la fila de los resultados, que da igual al de las columnas del amigo Radical.

tabla-rectangulo-nestor-del-prado-acertijo-1

El tercer camino lo inauguró Barca+++, aunque tuvo un desliz que rectificó pronto. Se basó en la teoría combinatoria con la formalización de sus respectivas fórmulas de cálculos y razonamientos lógicos certeros utilizando a las intercepciones entre todos los segmentos. Llegó a las siguientes expresiones

[C((M+1)*(N+1),2) – (N+1)*C(M+1,2)-(M+1)*C(N+1,2)]/2

Quedando entonces para M=6 y N=5

S= [C(42,2)-6*C(7,2)-7*C(6,2)]/2=[861-126-105]/2=630/2=315

Llegó jose a una respuesta certera sin muchas explicaciones, pero Jorge la sistematizó excelentemente.

Lean lo que escribió Jorge , con una ligera cura hecha por mí.

Si tengo dos esquinas opuestas, o sea que están en distintas filas y columnas, determino un único rectángulo.

Ahora, en la figura hay 6 líneas verticales y 7 líneas horizontales, o sea 42 posibles esquinas.

Una vez escogida una esquina, eliminamos su fila y su columna y quedan 5*6=30 esquinas.

Tenemos que 42*30=1260

Pero el orden en que escojamos las esquinas no importa, hay que dividir 1260/2=630

Además un rectángulo tiene 2 parejas de esquinas opuestas, así que hay que volver a dividir por 2, 630/2=315

La respuesta es 315 rectángulos.

Para el caso general de m filas y n columnas razonando análogamente se llega a la fórmula de jose,

m*n*(m+1)*(n+1)/4

Estas dos anteriores tienen un tronco común y dos maneras diferentes pero válidas de descontar los casos redundantes para llegar al dichoso 315.

He resaltado los que respondieron bien y explicaron su método.

Ahora bien, cuál considero la solución más ingeniosa. Es una tarea difícil.

Cada vez que me enfrento a este asunto, acudo a la anécdota asociada al “príncipe de la Matemática”. Se cuenta que un maestro quería tomar un respiro en una clase y le puso a sus inquietos alumnos la tediosa tarea de hallar la suma de los primeros 100 números naturales. Pensó que el que más rápido llegaría al resultado en no menos de 20 minutos. No imaginó que el pequeño Gauss aplicara un ingenioso razonamiento lógico-aritmético y en menos de 1 minuto dijo: maestro, tengo la respuesta, 5 050

A veces se valora la ingeniosidad por la prontitud en la solución, otras veces por descubrir una propiedad que también da rapidez y además sabrosura de conocimiento matemático.

Por lo anterior yo selecciono como más ingeniosas las soluciones de jose y Jorge y la de Radical.

Espero que los que ya amen a la Matemática hayan disfrutado esta respuesta, quienes coquetean con ella sonrían, y quienes todavía son alérgicos a ella mi vacuna comience a surtir efectos.

Se han publicado 7 comentarios



Este sitio se reserva el derecho de la publicación de los comentarios. No se harán visibles aquellos que sean denigrantes, ofensivos, difamatorios, que estén fuera de contexto o atenten contra la dignidad de una persona o grupo social. Recomendamos brevedad en sus planteamientos.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Ya he dicho en otras ocasiones que me duele suponer que las respuestas a los acertijos y demás ejercicios de creatividad no se lean completamente. Saben que intento no quedarme en una respuesta indocumentada. A veces escribo la respuesta sin haber leído todos los mensajes, también puede ocurrir que haya ignorado involuntariamente alguna respuesta meritoria.
    Pues bien, aquí sucedió que no me percaté de dos buenas respuestas. La de EddySS, que con otro razonamiento similar llegó al resultado correcto. Pero la más sorprendente es la de candido, que antes usó lenovo. Ninguno la fundamentó, y lenovo tuvo un desliz al eliminar sin razón una variante y se quedó en 314 rectángulos.
    Analicemos la respuesta de multiplicar 21 por 15 que da como resultado 315.
    A los amantes de la Matemática, lean estas conclusiones y tendrán una grata sorpresa, que no sé si candido, lenovo u otro que haya tomado ese camino la descubrieron.
    Ya sabemos que la expresión m*n*(m+1)*(n+1)/4 es una solución para un tablero de mxn rectángulos, tal como explicó Jorge. Pero trabajando con esa expresión matemática llegué al siguiente razonamiento.
    m*n*(m+1)*(n+1)/4 = (m+1)*m/2*(n+1)*n/2; en que
    (m+1)*m/2 es igual a la suma de los números naturales del 1 hasta m y
    (n+1)*n/2 es igual a la suma de los números naturales del 1 hasta n
    Si lo aplicamos a nuestro problema sería (6+1)*6/2*(5+1)*5/2 = 21*15= 315
    Sin lugar a dudas es también muy rápida. Su fundamentación es básicamente algebraica, pero también puede ser fundamentada geométricamente.
    Ya Radical había descubierto la presencia de la progresión aritmética en uno de los caminos de la solución.
    Pude haber solicitado modificar la respuesta con esto que ahora adiciono, pero preferí darle vida desde los comentarios.
    Y como si fuera poco, acabo de recibir una respuesta razonada del 21*15 (vía FB), de Jorge Balbuena, otro Jorge “mechao”, que la explicó desde la geometría.
    Les advierto a los amantes de la Matemática, que el próximo acertijo será para satisfacer a los pensadores desde la literatura universal, pero sin olvidar la Matemática.

  • Jose R Oro dijo:

    Muy de acuerdo con Nestor del Prado Arza, en que las soluciones de jose y Jorge y la de Radical, son las mas ingeniosas. Muchas felicidades a estos estimados Cubadebatientes por su talento, que tambien es evidente en sus comentarios!

  • Miguel dijo:

    Es posible conocer la direccion electronica de Nestor del Prado ?.

  • Radical dijo:

    Bueno…..gracias por su apreciación…….

    ……de paso nos ha propuesto otro problemita con el tema de la suma de los números hasta el 100 y también le propongo la respuesta en menos del minuto!!

    mire usted: 50 + 51= 101

    101* 50 = 5050

    10 segundos creo!! ….

    jajjajajjaa……

    pero nada, cada cual tiene su teoría, su método y estilo y respeto todos para llegar a un mismo resultado.

    Mis saludos a todos acá y respetos para usted, profesor

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Radical, me imagino que sepas el significado de tu credencial. Muchos lo asocian a los extremistas, pero no es así. El Radical es el que va a las raíces, a las causas primarias.
      Honestamente, ¿tú conocías el razonamiento de Gauss para sumar esos 100 números naturales del 1 al 100? O lo inventaste ahora. Si lo inventaste ahora, te felicito, pero no le ganaste a Gauss que lo hizo con menos de 10 años de edad. Efectivamente él asoció los pares de números extremos y comprobó que siempre sumaban 101 y de ahí ya era pan comido.
      Gracias por tu participación

  • Radical dijo:

    No obstante creo q la vía más rápida sería multiplicar los 30 rectángulos a simple vista por el número de vértices 42, para luego dividirlo entre 4. (1260/4=315)

Se han publicado 7 comentarios



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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Es Director de formación y difusión del conocimiento de GECYT (Empresa de Gestión del conocimiento y la Tecnología).

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