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Respuesta a cuántos rectángulos hay en esta figura

rectangulos-matematicoLa respuesta correcta es 315 rectángulos.

Ya sabemos que en la mayoría de los casos el método para llegar al resultado correcto no es único. De hecho para júbilo mío y espero que para otros muchos disfrutáramos de excelentes e ingeniosos razonamientos. No faltaron los súper concretos que solo escribieron 315. Siempre cabe la duda si lo dedujeron o lo copiaron.

Perdonen quienes utilizaron el método de mi abuelo Rafael, que cuando vendía 10 terneros, le exigía al comprador que por cada ternero que subía al camión le pagara los 100 pesos que costaba cada uno. No confiaba en la multiplicación. Seguramente los que así calcularon cogieron dolor de cabeza y se le irritaron los ojos.

Pues bien hay al menos cuatro métodos de resolver el problema, con algunas similitudes entre ellos.

En cualquier caso, incluyendo los que contaron a lo “Rafael”, se percataron que existían rectángulos de diferentes dimensiones, y trataron de ir barriendo visualmente y sumando hasta llegar al supuesto total.

Entonces el primer método parte de buscar un algoritmo o método para contar la cantidad de rectángulo de las diferentes familias, clases o grupos. En esto Milton García Borroto lo hizo muy bien, definiendo funciones y todo, aunque no fue suficientemente explícito para quienes necesitan los detalles. Moises vila se sumó y lo detalló. El amigo Radical, también se basó en este razonamiento, pero sacó creativas conclusiones respecto a la sucesión que se formaba en cada clase o familia.

Yo les preparé la siguiente tabla nacida de un EXCEL.

tabla-rectangulo-nestor-del-prado-acertijo

11 quiere decir 1 segmento horizontal y 1 vertical; 43: 4 segmentos horizontales y 3 verticales, y así análogamente.

Como ya dije Radical con excelente creatividad se percató que las sucesiones se comportaban como una progresión aritmética de d=-15, y su primer término era 90. Sumó esos 6 términos y llegó al 315.

También se puede sumar cada quinteto de números que forman una progresión aritmética de diferencia  (de 1 a 6); luego sumar  los seis resultados, es decir la columna final y llegamos al mismo número. 315.

Noten que aquí el 315 sale de la suma de la fila de los resultados, que da igual al de las columnas del amigo Radical.

tabla-rectangulo-nestor-del-prado-acertijo-1

El tercer camino lo inauguró Barca+++, aunque tuvo un desliz que rectificó pronto. Se basó en la teoría combinatoria con la formalización de sus respectivas fórmulas de cálculos y razonamientos lógicos certeros utilizando a las intercepciones entre todos los segmentos. Llegó a las siguientes expresiones

[C((M+1)*(N+1),2) – (N+1)*C(M+1,2)-(M+1)*C(N+1,2)]/2

Quedando entonces para M=6 y N=5

S= [C(42,2)-6*C(7,2)-7*C(6,2)]/2=[861-126-105]/2=630/2=315

Llegó jose a una respuesta certera sin muchas explicaciones, pero Jorge la sistematizó excelentemente.

Lean lo que escribió Jorge , con una ligera cura hecha por mí.

Si tengo dos esquinas opuestas, o sea que están en distintas filas y columnas, determino un único rectángulo.

Ahora, en la figura hay 6 líneas verticales y 7 líneas horizontales, o sea 42 posibles esquinas.

Una vez escogida una esquina, eliminamos su fila y su columna y quedan 5*6=30 esquinas.

Tenemos que 42*30=1260

Pero el orden en que escojamos las esquinas no importa, hay que dividir 1260/2=630

Además un rectángulo tiene 2 parejas de esquinas opuestas, así que hay que volver a dividir por 2, 630/2=315

La respuesta es 315 rectángulos.

Para el caso general de m filas y n columnas razonando análogamente se llega a la fórmula de jose,

m*n*(m+1)*(n+1)/4

Estas dos anteriores tienen un tronco común y dos maneras diferentes pero válidas de descontar los casos redundantes para llegar al dichoso 315.

He resaltado los que respondieron bien y explicaron su método.

Ahora bien, cuál considero la solución más ingeniosa. Es una tarea difícil.

Cada vez que me enfrento a este asunto, acudo a la anécdota asociada al “príncipe de la Matemática”. Se cuenta que un maestro quería tomar un respiro en una clase y le puso a sus inquietos alumnos la tediosa tarea de hallar la suma de los primeros 100 números naturales. Pensó que el que más rápido llegaría al resultado en no menos de 20 minutos. No imaginó que el pequeño Gauss aplicara un ingenioso razonamiento lógico-aritmético y en menos de 1 minuto dijo: maestro, tengo la respuesta, 5 050

A veces se valora la ingeniosidad por la prontitud en la solución, otras veces por descubrir una propiedad que también da rapidez y además sabrosura de conocimiento matemático.

Por lo anterior yo selecciono como más ingeniosas las soluciones de jose y Jorge y la de Radical.

Espero que los que ya amen a la Matemática hayan disfrutado esta respuesta, quienes coquetean con ella sonrían, y quienes todavía son alérgicos a ella mi vacuna comience a surtir efectos.