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Calcular con números oblongos y un colmo distinto y diferente

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Para pensar.

Volvemos con tipos especiales de números naturales para seguir ejercitando el pensamiento y las habilidades matemáticas; y para motivar la creatividad sin números vamos con un colmo muy especial.

I

Se dice que un número natural es oblongo, si es igual al producto de dos números naturales consecutivos.

  1. ¿Cuál es el menor y cuál el mayor número oblongo menores que 100?
  2. Halle cinco números oblongos cuya suma sea igual a 99.
  3. Si la suma de cinco números oblongos menores de 300 es igual a 540 ¿Cuáles son esos cinco números?
  4. Con cuatro números oblongos menores que 100 y las operaciones suma, resta, multiplicación y división, construya un número que marca un onomástico de agosto que los cubanos conmemoramos. No se pueden repetir los números ni se pueden usar paréntesis.

Debes explicar cómo llegaste a tus respuestas

II

¿Cuál es el colmo del colmo?

El colmo del colmo es ______________________________________________.

Intenta proponer al menos dos. Aquí se pondrá a prueba tu creatividad.

Recuerden que:

“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”.

¡Manos y mente a la obra!

Se han publicado 42 comentarios



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  • Yosdani Ortiz Polanco dijo:

    El colmo de un colmo, es que el mismo colmo se colme.

  • Yosue dijo:

    Respuestas
    1- Menor: 0, porque 0*1 =0, cero es el menor número natural.
    2- Mayor: 90, porque 9*10 = 90, el otro producto consecutivo da mayor que 100.
    3- 6,12,72,210,240: 6+12+72+210+240=540
    4- 30/2 -2 -0 = 13: Nacimiento del Comandante en Jefe Fidel.

    5a- El colmo del colmo es ser mafioso: El Capo de todos los capos: El como de los Colmos.
    5b-El colmo del colmo es ser trivial.

    • Yosue-Continuación dijo:

      Me faltó la pregunta 2:
      No existen. El producto de dos consecutivos es par.
      La 4: Rectificando, repetí el 2.
      30/2 – 6/3 -0 = 13: Nacimiento del Comandante en Jefe Fidel.

  • Frank dijo:

    I

    1. 0 (0*1) y 90 (9*10)
    2. Los números oblongos son pares al ser un productos de 2 números consecutivos donde 1 es par. Por lo tanto no hay combinación posible que la suma sea un número impar (99).

  • Yosdani Ortiz Polanco dijo:

    El menor número oblongo menor que 100 es 2 y el mayor es 90.
    Los cinco números oblongos que suman 540 son 272+240+20+6+2=540.
    No se puede sumar 99 con los números oblongos porque son pares.

  • Yosdani Ortiz Polanco dijo:

    El colmo de un colmo es quedarse colmado.

  • Yosdani Ortiz Polanco dijo:

    El colmo de un colmo es que se le colme la paciencia

  • Ernesto95 dijo:

    El colmo de los colmos es: que un mudo de diga a sordo que un ciego lo está mirando.

  • Alejandro dijo:

    Saludos profe del Prado. Trataré de responder el acertijo de esta semana el cual encuentro curioso y bonito.
    I-
    1-)Teniendo en cuenta el concepto de número oblongo que satisface la sucesión n(n+1)=n^2+n, el menor número es cero porque 0*1=0 y el mayor es 90 porque 9*10=90 en el rango menor que 100.
    2-) 99 no es posible obtenerlo mediante una suma natural de 5 números oblongos, pues estos son pares, ni siquiera utilizando la resta.
    3-) 540=270+90+132+42+6.
    4-) 90/2-12-20=13, explico, 90/2=45-12=33-20=13 de agosto cumpleaños 92 de Fidel. se usaron como números oblongos el 90, el 12, el 2, y el 20.
    II- El colmo de los colmos
    – Que un mudo le diga a un sordo que un ciego les está espiando y que un minusválido les está persiguiendo.
    – Que el majá muera de risa diciéndole al jubo arrastrado.

  • Jose R. Oro dijo:

    Cada lunes y jueves, en Para Pensar aprendemos cuan real es la expresión: “Cada día aprendemos algo nuevo” al menos para mí. No tenía idea de la existencia de los números oblongos. Por eso le agradezco tanto al eminente profesor e intelectual cubano Néstor del Prado Arza. Por obsequiarnos su talento y conocimientos y hacer, de una forma atractiva ampliar nuestros conocimientos y crecer nuestra humildad ante el imponente universo de la matemática.

    I.1 Deben ser 0 * 1 = 0 y 9 * 10 = 90, en el caso que el 0 no sea aceptable, entonces el primer número oblongo seria 1 * 2 = 2
    I.2 No creo que exista, porque los números oblongos son pares y su suma no puede dar un número impar
    I.3 Una suma de 5 números oblongos menores de 300 que den 540, me parece posible, al menos a primera vista. Creo que la respuesta es 20 + 56 + 72 + 182 + 210 = 540
    1.4 Sería por ejemplo 20 – 6 – 2 + 0 = 12. El 12 de agosto de 1933 fue derrocado el dictador Gerardo Machado

    II. El colmo de los colmos, podría ser:
    • Un colmo muy antiguo (y cruel) “Que un ciego se llame Casimiro y que viva en Buenavista”
    • “Caminar descalzo en un pajar y clavarse la aguja en un pie”

    • Nestor del Prado Arza dijo:

      Estimado amigo Oro, ahora mismo no estoy seguro si onomástico solo se refiere a los años que cumple una persona humana o también se puede aplicar en un acontecimiento. Vuelve a pensar. Un abrazo

      • Jose R. Oro dijo:

        Muchísimas gracias por su observación, muy estimado Prof. Néstor del Prado Arza. Confundí onomástico con efemérides o con aniversario, que evidentemente no es lo mismo. Con los números oblongos se pueden obtener varios importantes resultados:
        Tenemos que, 90:30+12-2= 13 de agosto el natalicio en 1926 del gran líder Comandante en Jefe Fidel Castro Ruz, quien cumpliría mañana 93 anos o 6:6 + 20 + 72 = 93 en números oblongos. A San Fidel de Sigmaringen, que es su onomástico, se le celebra el 24 de abril.
        También podríamos poner 20:2 – 6 + 0 = 4. El cuatro de agosto de 1839 nació en Holguín el insigne patriota cubano Calixto García Íñiguez. San Calixto se celebra el 14 de octubre
        30 -12 – 2 + 0 = 16. El 16 de agosto de 1925 se constituye el Partido Comunista de Cuba (pero esta es también efemérides, ni natalicio ni onomástico)
        Un fuerte abrazo cubano

    • Rolando dijo:

      Me encantó el colmo de caminar descalzo en un pajar y clavarse la aguja en un pie. Está buenísimo.

  • Jose Bryan dijo:

    Buenos dias, me gustó la clasificación de estos números porque el sistema nervioso tiene en su estructura central una región del tallo cerebral, la médula oblongada, esa forma oblonga El menor número oblongo es el dos y el mayor oblongo menor que 100 es el 90. Hasta aquí parece fácil pero
    la cuenta no me da con los 5 números, a mi modo de ver, no se puede formar porque la suma de esos números al parecer siempre es par.
    En el caso de los 5 números pues según el concepto de números oblongos quedaría

    2+6+20+240+272=540

    El método que utilicé fue el tanteo con una cuota de razonamiento para optimizar las sumas probables.

    Esta es la relación de números oblongos menores que 300

    1×2=2
    2×3=6
    3×4=12
    4×5=20
    5×6=30
    6×7=42
    7×8=56
    8×9=72
    9×10=90
    10×11=110
    11×12=210
    12×13=240
    13×14=182
    14×15=210
    15×16=240
    16×17=272

    La fecha que conmemora se puede construir de la siguiente forma

    90:30+12-2= 13 de Agosto Natalicio del Comandante en jefe Fidel Castro Ruz. en la localidad de Birán, actualmente municipio Cueto, mi pueblo.

    El colmo del colmo es que un caribeño viva en Estocolmo
    El colmo del colmo es graduarse de colmonauta sin saber de colmología ja ja.

    • Jose Bryan dijo:

      Leyendo ahora otras respuestas veo que 0x1=0 por tanto ese sería el menor número natural oblongo, es cierto.

  • Rodo dijo:

    1.) ¿Cuál es el menor y cuál el mayor número oblongo menores que 100?
    Resp: El menor es CERO (0) si se considera el 0 como número Natural, pues existen otras teorías que parten de que el 0 no es natural, en ese caso sería el 2.

    2.) Halle cinco números oblongos cuya suma sea igual a 99.
    Resp: NO EXISTEN, pues los números Oblongos se forman con el producto de 2 números consecutivos, al ser números consecutivos uno es siempre par, y cualquier número natural multiplicado por un número par, da como resultado otro número par, por lo que sería imposible que la suma de varios de ellos pueda resultar 99 que es un número impar.

    3.) Si la suma de cinco números oblongos menores de 300 es igual a 540 ¿Cuáles son esos cinco números?
    Resp: Encontré dos combinaciones diferentes y son:
    2+6+20+240+272=570 y 6+12+72+210+240=540
    Pero ahora van otras dos de 6 números:
    para 6 números-> 2+6+20+30+210+272=540 y 0+2+6+20+240+272=540

    4.) Con cuatro números oblongos menores que 100 y las operaciones suma, resta, multiplicación y división, construya un número que marca un onomástico de agosto que los cubanos conmemoramos. No se pueden repetir los números ni se pueden usar paréntesis.

    Comienzo por decir, que si son 4 números sin que se repitan, solo se pueden hacer 3 operaciones básica, y aqui van/

    6/2+30-20=13 El 13 de Agosto cumpleaños de nuestro invicto Comandante en Jefe Fidel Castro Ruz.

  • sachiel dijo:

    El colmo del colmo es colmarse de colmos..

    CLÁSICO: Que un mudo le diga a un sordo que un ciego le está mirando…

  • Alejandro dijo:

    Profe del Prado, aunque UD solo depositó la tarea en el amigo Oro de reconocer la diferencia entre cumpleaños y onomástico, le puedo decir que cumpleaños corresponde al día en que se nació, mientras onomástico es el día de la celebración del santo cuyo nombre le pusieron, el cual puede o no coincidir con el cumpleaños en dependencia del programa santoral de la Iglesia Católica.

    • Nestor del Prado Arza dijo:

      Gracias amigo y buen colaborador. Lo tendré en cuenta en la respuesta. Fidel cumple mañana 93 años de nacido es lo correcto. Un abrazo

  • Greter dijo:

    1– si se considera el 0 como número natural cero sería el menor(0*1) si no sería 2(1*2) y el mayor es 90 (9*10)
    2–No hay número oblongos que sumados den 99 pues todos los oblongos son pares y la suma de números pares da otro número par el 99 no lo es
    3—teniendo en cuenta lo mismo de inciso uno si consideramos el cero como natural pudiera ser 0+2+56+210+272=540 o también sin tener en cuenta el controvertido cero 20+72+110+156+182=540
    4– Aquí si no logré encontrar otra sin usar el cero 90/6-2+0=13, día del naciemiento de nuestro querido Comandante en Jefe Fidel Castro, si logro dar con otra antes del jueves la mando

    El colmo del colmo es no tener colmo, «y eso si que es el colmo de los colmos», esto es una frase que usamos mucho las mamás cunado nuestros hijos hacen algo que sobre sale los límites de lo que creimos posible, quizás con las respuestas podamos al fin entender a que nos referimos cuando decimos eso

  • aleph dijo:

    Para encontral los # oblongos basta calcular n*(n+1) o lo que es igual n^2+n
    1. El menor es: el es 2 (tomando que el 0 no es natural y eso depende de quien lo analice) y el mayor es: 90.
    2. 5 números oblongos que sumen 99: No existe, los números oblongos son pares y la suma de números pares es siempre un número par.
    3. Si la suma de cinco números oblongos menores de 300 es igual a 540 ¿Cuáles son esos cinco números? 2 + 56 + 90 + 182 + 210 = 540
    4. 6/2+30-20=13, Cumpleaños del Comanadante Fidel Castro

    ¿Cuál es el colmo del colmo?
    El colmo del colmo es llenar hasta colmo de un vaso sin fondo
    El colmo del colmo es querer que todo fluya rápido y sin errores en las gestiones de vivienda en nuestro país

  • Ernesto Huerta dijo:

    1) 0*1=0 y 9*10=90
    2) Dado q la multiplicación de un número par con uno impar supremo su resultado será un número par, la sumatoria de estas números será par
    2+6+12+20+56=96
    3) 2+90+110+156+182=540
    4) +56-30*6:12=13 el cumpleaños de nuestro eterno Comandante Fidel Castro

  • Ernesto Huerta dijo:

    1) menor 0*1=0 y mayor 9*10=90
    2) Dado q la multiplicación de un número par con uno impar supremo su resultado será un número par, la sumatoria de estas números será par
    2+6+12+20+56=96
    3) 2+90+110+156+182=540
    4) +56-30*6:12=13 el cumpleaños de nuestro eterno Comandante Fidel Castro

  • Frank dijo:

    El colmo de los colmos: La colmena!

    1.3: 2+6+272+230+20 =540

    • Nestor del Prado Arza dijo:

      Frank revisa el 1.3

      • Frank dijo:

        Error de cálculo, el ultimo numero es un 30 :)

  • RARJ dijo:

    -1-
    Uno por dos igual dos
    Que es el oblongo menor,
    Y noventa es el mayor
    Que nueve por diez, me dio.
    Noventa y nueve, creo yo,
    Ninguno me da la cuenta.
    Y si suma dos cuarenta (240)
    Más dos diez (210) en el desglose,
    Setenta y dos (72), seis (6) y doce (12)
    Obtiene cinco cuarenta. (540)
    -2-
    Para la fecha que mienta
    Yo tomé el setenta y dos (72)
    Le resté cuarenta y dos (42)
    Después dividí entre treinta. (30)
    Para terminar la cuenta
    Sumé doce (12) en el papel,
    De esta manera obtuve el
    Trece, que en este momento,
    Es el día del nacimiento
    Del Comandante Fidel.
    -3-
    El colmo del colmo, hermano,
    Esto lo aseguro yo,
    Fue un hecho que sucedió
    En los Panamericanos.
    Contra los dominicanos
    Nuestro equipo de beisbol
    Ganaba con marcador
    De nueve a una y al final
    Perdió ese quinto lugar.
    ¿Qué usted piensa, profesor?

  • Rolando dijo:

    1. De los números oblongos menores de 100 el menor es 0 y el mayor es 90 ya que # oblongo = 2*# triangular = 2*n(n+1)/2 = n(n+1) = n2+n

    2. No es posible la suma de ninguna cantidad de números oblongos que den 99, pues todos son pares

    3. Los números oblongos sólo terminan en 0, 2 y 6. Para que 5 números oblongos sumen 540, tenemos tres variantes:

    • cinco números terminados en 2,
    • tres números terminados en 6 + uno terminado en 2 + uno terminado en 0
    • dos números terminados en 0 + dos terminados en 2 + uno terminado en 6

    Con la primera variante no hay ninguna combinación satisfactoria. Con la segunda, como sólo hay tres números oblongos menores de 300 terminados en 6 y suman 218, harían falta uno terminado en 2 y otro en 0 que sumen 322 y no hay. Por tanto, sólo queda la última variante (la más difícil). En este caso la única combinación satisfactoria es: 272+182+56+30+0 = 540

    4. Esta pregunta dice que se utilicen cuatro números oblongos diferentes y cuatro operaciones aritméticas diferentes. No es posible usar las cuatro operaciones con sólo cuatro números. Por tanto, utilizo cuatro números y tres operaciones de las cuatro que se mencionan. Quedando, 6/2+30-20=13, onomástico de nuestro comandante en jefe Fidel.

    De chiquito me decían que el colmo del colmo era que: un mudo le dijera a un sordo que un ciego estaba mirando a un cojo que estaba corriendo.
    Ahora, acorde a nuestros tiempos, creo que el colmo del colmo es que, después de todo lo que ha hecho, Trump quite el bloqueo.

    • Nestor del Prado Arza dijo:

      Amigo Rolando revisa el inciso 3. Hay varios quinteto que suman 540. Jonron en el colmo de DT

    • Rolando dijo:

      Ummmm, ya veo publicadas otras combinaciones que dan 540 y todas con dos que terminan en 0, dos que terminan en 2 y uno que termina en 6, como es el caso de:
      6+12+72+210+240=540
      272+240+20+6+2=540
      20+72+110+156+182=540
      2+90+110+156+182=540

  • RARJ dijo:

    -I-
    Uno por dos igual dos
    Que es el oblongo menor,
    Y noventa es el mayor
    Que nueve por diez, me dio.
    Noventa y nueve, creo yo,
    Ninguno me da la cuenta.
    Y si suma dos cuarenta (240)
    Más dos diez (210) en el desglose,
    Setenta y dos (72), seis (6) y doce (12)
    Obtiene cinco cuarenta. (540)
    -II-
    Para la fecha que mienta
    Yo tomé el setenta y dos (72)
    Le resté cuarenta y dos (42)
    Después dividí entre treinta. (30)
    Para terminar la cuenta
    Sumé doce (12) en el papel,
    De esta manera obtuve el
    Trece, que en este momento,
    Es el día del nacimiento
    Del Comandante Fidel.
    -III-
    El colmo del colmo, hermano,
    Esto lo aseguro yo,
    Fue un hecho que sucedió
    En los Panamericanos.
    Contra los dominicanos
    Nuestro equipo de beisbol
    Ganaba con marcador
    De nueve a una y al final
    Perdió ese quinto lugar.
    ¿Qué cree de esto, profesor?

  • Alvy Singer dijo:

    Para buscar el mayor número oblongo menor q 100 basta buscar el mayor valor posible de la inecuación :

    n*(n+1)<100
    n^2+n-100-9.5 y n<9.5 y como solo nos interesa el mayor natural positivo n=9 ahora para calcular el oblongo solo hayq realizar n(n+1)=9(9+1)=90 y este es el mayor número oblongo menor q 100.

    3.
    Ahora si un número n es oblongo si y solo si

    4*n+1=N^2 ,donde N es un número natural impar.Esto es sencillo de demostrar basta hacer N =2k+1 con k entero no negativo

    Ahora definamos la suma de 5 números oblongos igual s 540 de esta forma:

    n1+n2+n3+n4+n5=540

    Si multiplicamos los dos miembros por 4
    nos y después sumamos cinco 1 en cada miembro nos keda:

    4*n1+1+4*n2+1+4*n3+1+4*n4+1+4*n5+1=2165

    y como n1,n2,n3,n4,n5 son números oblongos la suma anterior se puede plantear así

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    lo cual es una ecuación diofantina donde los N1,N2,N3,N4,N5 son impares.Ahora esa ecuación siempre tendrá al menos una solución utilizando para su demostración el

    Teorema de Lagrange q plantea q

    Todo números natural puede expresarse como suma de 4 cuadrados

    Ahora para no perder tiempo veremos primero si esa ecuación tiene solución cuando los N1,N2,N3,N4,N5 es impar,

    lo cual implicaría q q 2165 entre 8 diera de resto 5, lo cual vemos q se cumple. O SEA ESA ECUACIÓN TIENE SOLUCIONES CUANDO N1,N2,N3,N4,N5 son impares.

    Ahora par buscar las soluciones de esa ecuación diofantina (solo nos interesa las soluciones enteras no negativas)

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    Se me ocurre hacer el siguiente algoritmo

    1ero darle a N5 un número impar cualquiera menor igual q 33 (esto se debe a q el problema nos dice q los números oblongos tienen q ser menores q 300 y esto implicaría q N5^2 < 4*300+1 y como solo nos interesa los enteros no negativos 1<=N5<34,pero N5 es impar osea podemos decir q N5=0, lo cual nos sirve para acotar los valores de n a partir de k y esto reduce un poco las soluciones,ya q solo nos interesa las soluciones positivas

    n TENDRÍA Q SER MENOR O IGUAL Q LA RAÍZ CUADRADA DE k,

    Ahora para acotar los valores de n inferiormente, bastaría decir q

    2n^2-k>0, lo cual nos lleva a q
    n TIENE Q SER MAYOR Q LA RAÍZ CUADRADA DE k/2.
    RESUMIENDO

    Raizcuadrada(k/2)< n <= raizcuadrada(k).

    PONDRÉ UN EJEMPLO PARA DEMOSTRAR EL ALGORITMO Q PROPUSE.

    Sabemos q

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    Ahora tomamos para N5 un número impar menor q 33,por ejemplo tomaré el 5,con lo cual nos keda

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2=2165-25=2140

    Ahora definiré las 2 ecuaciones siguientes:

    I. N1^2+N2^2=m,

    II. N3^2+N4^2=2140-m,

    Primero buscaré soluciones de la ecuación I.Para q esta ecuación diofantina(ecuación de Pell), tenga solución según las características del problema,m tendría q ser = 2*k, donde k es un número de la forma 4*t+1 y ADEMÁS k TIENE Q DESCOMPONERSE EN NÚMEROS PRIMOS DE LA FORMA 4*j+1,SINO LA ECUACIÓN DIOFANTINA NO PODRÍA TENER SOLUCIÓN.

    Ahora escojo un valor para k , q cumpla con lo dicho anteriormente a manera de ejemplo escojo k= 493=17×29,donde 17 ,29 y 493 son de la forma 4j+1 y procedo a calcula m=2*k= 986.

    O sea mis ecuaciones diofantinas kedarán así
    I. N1^2+N2^2=986,

    II. N3^2+N4^2=1154,

    Ahora para la primera ecuación

    N2=n+-raizcuadrada(493-n^2)

    Ahora habrá q buscar los valores n para los q 493-n^2 es un cuadrado perfecto y probamos en el rango siguiente de n

    Raizcuadrada(493/2)< n <= raizcuadrada(493).

    16<=n<=23 , hay q probar con 7 números hasta encontrar donde 493-n^2 es un cuadrado perfecto.Después de probar llegamos a q n= 18.Con el q obtenemos

    N2=18+-raizcuadrada(493-18^2)=18+-13, tomamos para N2=5 y para N1=31 la otra solución es una permutacion,los cuáles vemos q son menores q 33.

    AHORA RESOLVEREMOS II.
    II. N3^2+N4^2=1154,

    Haciendo lo mismo

    k en este caso es 577 q como es un número primo basta con q sea de la forma 4*j+1 para q la ecuación diofantina II tenga solución y vemos q 577=4*144+1, la cual se podría resolver por FRACCIONES CONTINUAS,pero no lo voy a hacer acá voy a seguir aplicando la misma manera de proceder q en I.

    Ahora habrá q buscar los valores n para los q 577-n^2 es un cuadrado perfecto y probamos en el rango siguiente de n

    Raizcuadrada(577/2)< n <= raizcuadrada(577).

    17<=n<=24 , hay q probar con 7 números hasta encontrar donde 577-n^2 es un cuadrado perfecto.Después de probar llegamos a q n= 24.Con el q obtenemos

    N4=24+-raizcuadrada(577-24^2)=24+-1, tomamos para N4=25 y para N3=23 la otra solución es una permutacion,los cuáles vemos q son menores q 33.
    y como vemos

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=

    31^2+5^2+23^2+25^2+5^2=2165

    Ahora para calcular los números oblongos (O) correspondientes habrá q hacer

    (N^2+1)÷4=On

    .Después si tengo chance hago otras anotaciones hay otras cosas q me kedan por decir.Slds

    • Alvy Singer dijo:

      En cuanto a la respuesta no.2 no es posible q sumen 99 todos los números oblongos por definición son pares.

      • Alvy Singer dijo:

        Tengo estimado y kizas me ekivoke porque no he tenido chance de demostrarlo,q para la pregunta 3 existirán al menos 11 soluciones distintas para la suma de 5 números oblongos igual a 540 y menores q 300.Slds

    • Alvy Singer dijo:

      Esto es sin importar q se repitan algunos números oblongos.

  • Alvy Singer dijo:

    discúlpeme pero Cubadebate me kita ecuaciones q plantee para la respuesta 3.
    Acá la vuelvo a dejar a ver si sale bien

    3.
    Ahora si un número n es oblongo si y solo si

    4*n+1=N^2 ,donde N es un número natural impar.Esto es sencillo de demostrar basta hacer N =2k+1 con k entero no negativo

    Ahora definamos la suma de 5 números oblongos igual s 540 de esta forma:

    n1+n2+n3+n4+n5=540

    Si multiplicamos los dos miembros por 4
    nos y después sumamos cinco 1 en cada miembro nos keda:

    4*n1+1+4*n2+1+4*n3+1+4*n4+1+4*n5+1=2165

    y como n1,n2,n3,n4,n5 son números oblongos la suma anterior se puede plantear así

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    lo cual es una ecuación diofantina donde los N1,N2,N3,N4,N5 son impares.Ahora esa ecuación siempre tendrá al menos una solución utilizando para su demostración el

    Teorema de Lagrange q plantea q

    Todo números natural puede expresarse como suma de 4 cuadrados

    Ahora para no perder tiempo veremos primero si esa ecuación tiene solución cuando los N1,N2,N3,N4,N5 es impar,

    lo cual implicaría q q 2165 entre 8 diera de resto 5, lo cual vemos q se cumple. O SEA ESA ECUACIÓN TIENE SOLUCIONES CUANDO N1,N2,N3,N4,N5 son impares.

    Ahora par buscar las soluciones de esa ecuación diofantina (solo nos interesa las soluciones enteras no negativas)

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    Se me ocurre hacer el siguiente algoritmo

    1ero darle a N5 un número impar cualquiera menor igual q 33 (esto se debe a q el problema nos dice q los números oblongos tienen q ser menores q 300 y esto implicaría q N5^2 < 4*300+1 y como solo nos interesa los enteros no negativos 1<=N5<34,pero N5 es impar osea podemos decir q N5=0, lo cual nos sirve para acotar los valores de n a partir de k y esto reduce un poco las soluciones,ya q solo nos interesa las soluciones positivas

    n TENDRÍA Q SER MENOR O IGUAL Q LA RAÍZ CUADRADA DE k,

    Ahora para acotar los valores de n inferiormente, bastaría decir q

    2n^2-k>0, lo cual nos lleva a q
    n TIENE Q SER MAYOR Q LA RAÍZ CUADRADA DE k/2.
    RESUMIENDO

    Raizcuadrada(k/2)< n <= raizcuadrada(k).

    PONDRÉ UN EJEMPLO PARA DEMOSTRAR EL ALGORITMO Q PROPUSE.

    Sabemos q

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    Ahora tomamos para N5 un número impar menor q 33,por ejemplo tomaré el 5,con lo cual nos keda

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2=2165-25=2140

    Ahora definiré las 2 ecuaciones siguientes:

    I. N1^2+N2^2=m,
    II. N3^2+N4^2=2140-m,

    Primero buscaré soluciones de la ecuación I.Para q esta ecuación diofantina(ecuación de Pell), tenga solución según las características del problema,m tendría q ser = 2*k, donde k es un número de la forma 4*t+1 y ADEMÁS k TIENE Q DESCOMPONERSE EN NÚMEROS PRIMOS DE LA FORMA 4*j+1,SINO LA ECUACIÓN DIOFANTINA NO PODRÍA TENER SOLUCIÓN.

    Ahora escojo un valor para k , q cumpla con lo dicho anteriormente a manera de ejemplo escojo k= 493=17×29,donde 17 ,29 y 493 son de la forma 4j+1 y procedo a calcula m=2*k= 986.

    O sea mis ecuaciones diofantinas kedarán así
    I. N1^2+N2^2=986,

    II. N3^2+N4^2=1154,

    Ahora para la primera ecuación

    N2=n+-raizcuadrada(493-n^2)

    Ahora habrá q buscar los valores n para los q 493-n^2 es un cuadrado perfecto y probamos en el rango siguiente de n

    Raizcuadrada(493/2)< n <= raizcuadrada(493).

    16<=n<=23 , hay q probar con 7 números hasta encontrar donde 493-n^2 es un cuadrado perfecto.Después de probar llegamos a q n= 18.Con el q obtenemos

    N2=18+-raizcuadrada(493-18^2)=18+-13, tomamos para N2=5 y para N1=31 la otra solución es una permutacion,los cuáles vemos q son menores q 33.

    AHORA RESOLVEREMOS II.
    II. N3^2+N4^2=1154,

    Haciendo lo mismo

    k en este caso es 577 q como es un número primo basta con q sea de la forma 4*j+1 para q la ecuación diofantina II tenga solución y vemos q 577=4*144+1, la cual se podría resolver por FRACCIONES CONTINUAS,pero no lo voy a hacer acá voy a seguir aplicando la misma manera de proceder q en I.

    Ahora habrá q buscar los valores n para los q 577-n^2 es un cuadrado perfecto y probamos en el rango siguiente de n

    Raizcuadrada(577/2)< n <= raizcuadrada(577).

    17<=n<=24 , hay q probar con 7 números hasta encontrar donde 577-n^2 es un cuadrado perfecto.Después de probar llegamos a q n= 24.Con el q obtenemos

    N4=24+-raizcuadrada(577-24^2)=24+-1, tomamos para N4=25 y para N3=23 la otra solución es una permutacion,los cuáles vemos q son menores q 33.
    y como vemos

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=

    31^2+5^2+23^2+25^2+5^2=2165

    Ahora para calcular los números oblongos (O) correspondientes habrá q hacer

    (N^2+1)÷4=On

  • Alvy Singer dijo:

    Ahora par buscar las soluciones de esa ecuación diofantina
    (solo nos interesa las soluciones enteras no negativas)

    N1^2+N2^2+N3^2+N4^2+N5^2=2165,

    Se me ocurre hacer el siguiente algoritmo

    1ero darle a N5 un número impar cualquiera menor igual q 33 (esto se debe a q el problema nos dice q los números oblongos tienen q ser menores q 300 y esto implicaría q N5^2 < 4*300+1 y como solo nos interesa los enteros no negativos 1<=N5<34,pero N5 es impar osea podemos decir q N5=0, lo cual nos sirve para acotar los valores de n a partir de k y esto reduce un poco las soluciones,ya q solo nos interesa las soluciones positivas

    n TENDRÍA Q SER MENOR O IGUAL Q LA RAÍZ CUADRADA DE k,

    Ahora para acotar los valores de n inferiormente, bastaría decir q

    2n^2-k>0, lo cual nos lleva a q
    n TIENE Q SER MAYOR Q LA RAÍZ CUADRADA DE k/2.
    RESUMIENDO

    Raizcuadrada(k/2)< n <= raizcuadrada(k)

  • Alvy Singer dijo:

    Espero q las las ecuaciones q puse salgan en Cubadebate,kiero rectificar algo en mi definición de k ,k tiene tiene q ser de la forma Producto de primos de la forma (4*J+1)^t por los primos de la forma (4*v+3)^q,DONDE q TIENE Q SER UN NUMERO PAR.

    • Alvy Singer dijo:

      Ahora t tendría q ser entero no negativo.

    • Alvy Singer dijo:

      Noten algo interesante k no puede ser par ya q la suma de los cuadrados de números impares N1 y N2 siempre es
      2*(2*g+1),luego k tendría q tener la forma 2*g+1 la cual estará determinada por el producto de los números primos de la forma (4*j+1)^t por los números primos de la forma (4*v+3)^q,donde t pertenece a los enteros no negativos y q es un número par. DEMOSTRAR Q k NO ES PAR CON N1 Y N2 IMPAR PARTE DE ESTO:
      N2=2*N’2+1
      N1=2*N’1+1

      Luego

      (2*N’1+1)^2+(2*N’2+1)^2=2*[2*(N’1^2+N’1+N’2^2+N’2)+1]

      Y como vemos basta con decir q N’1^2+N’1+N’2^2+N’2=N’

      Y la expresión anterior nos keda

      2*(2*N’+1) y luego 2*N’+1es la ley q define los números impares.
      POR LO TANTO k en este problema tiene q ser impar.

  • Alvy Singer dijo:

    Otra cosa más los números oblongos (On) utilizando el algoritmo q plantee se calcularán de la siguiente forma:

    On=(N^2-1)/4 (tuve un error a la hora de escribir la expresión anteriormente) Esta es la expresión correcta.

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Director del Sello Editorial Academia de la Empresa de Gestión del Conocimiento y la Tecnología (GECYT).

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