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Los números amigos piden ayuda frente a los números malvados

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Para pensar.

Los números naturales amigos se enfrentan a los malvados, en una contienda en que debes participar con tus conocimientos y creatividad. Como aquí hay que poner la matemática en acción, vamos a compensar con un ejercicio de creatividad sin números.

I

Dos números naturales M y N son amigos si la suma de los divisores propios de M es igual a N y viceversa. Les recuerdo que el número dado no es considerado divisor propio, pero sí el 1.

Un número natural es malvado si su expresión en sistema binario contiene una cantidad par de 1. Les recuerdo que el sistema binario utiliza los dígitos 0 y 1.

El 15 en decimal es 1111 en binario; por tanto es un número malvado, ya que tiene dos pares de 1.

Preguntas

  1. ¿Los números amigos más pequeños son números malvados?
  2. Si sumamos el número amigo más pequeño de la menor pareja de amigos con
    el mayor número malvado menor que 300, ¿cuál será el número resultante en
    notación decimal?
  3. Si dos números amigos son menores de 2000 y mayores que 1000, halle el
    número malvado que más se acerque a su media aritmética.
  4. ¿Puedes describir un algoritmo que permita hallar los números malvados
    menores que 2000?

II

La joven Elena se encuentra con un desconocido que le promete decirle dónde encontrar a su hermana mayor, de la que no sabe hace más de 10 años. Ante el gesto de duda de la muchacha, él que se llama Héctor le menciona el nombre de la hermana, y le dice que tiene mucho dinero y testó a favor de ella. Elena reconoce que así se llama su hermana, de inmediato le hace una pregunta y al obtener la respuesta, le dice, gracias pero no me interesa tu información.

Tu tarea es dar una explicación creativa a la reacción de la joven. De la más elemental a la más trabajada.

Recuerden que:

“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”.

¡Manos y mente a la obra!

Se han publicado 20 comentarios



Este sitio se reserva el derecho de la publicación de los comentarios. No se harán visibles aquellos que sean denigrantes, ofensivos, difamatorios, que estén fuera de contexto o atenten contra la dignidad de una persona o grupo social. Recomendamos brevedad en sus planteamientos.

  • Boris Luis Cabrera dijo:

    1-Los números amigos más pequeños son 220 y 284. Son resultantes de una fórmula muy antigua (2npq y 2nr), donde:
    p = 3 × 2n-1 - 1,
    q = 3 × 2n - 1,
    r = 9 × 22n-1 – 1

    (n > 1 es entero y p, q, y r son números primos)
    Su expresión en sistema binario es:
    220=1011100 (Número malvado por tener una cantidad par de números uno)
    284=00011100 (No es malvado)

    2-El menor número amigo más pequeño es 220 y el mayor malvado menor que 300 es 299.
    Su suma es igual a 599, llevado a notación decimal es 5.102 + 99

    3- Los únicos números amigos menores que 2000 y mayor que 1000 son 1184 y 1210. Su media aritmética es 1197 y el número malvado que más se acerca es 1196 (0010101100)

    El algoritmo para hallar los números malvados menor que 2000 no lo pude encontrar después de emborronar varias cuartillas, jajaja. Saludos Profesor, me puso a hervir las neuronas un rato.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Amigo Boris cumpliste con la palabra empeñada. Te voy a comentar en términos beisbolero. En la primera conectaste jonron pero de foul y.y luego te ponchaste. En la segunda llegaste a 3 y 2 pero fuiste out en fly al jardín derecho. En la terecera conectaste tremendo batazo al jardín central, pero Tabares la capturó chocandocontra la cerca, cayó al suelo sin soltar la bola. Cuando refresques tus neuronas vuelve al cajón de
      de bateo. Si está lanzando Viñjnent, tú eres Padilla.
      Gracias por salir al terreno.

      • Boris Luis Cabrera dijo:

        Ha, si es verdad, jejejeje, que fallo bobo, jajaja

  • Jose R. Oro dijo:

    Lo primero que deseo escribir es mi deseo que el Prof. Néstor del Prado Arza se esté recuperando aceleradamente de su operación. Eso es lo más importante de todo y estoy convencido que los muchos amigos que ha privilegiado a lo largo de su vida, piensan y desean lo mismo.
    Pensaba antes que el número mas malvado era el 13 base de la superstición llamada “triscaidecafobia”, tanto representado por el martes 13 en los países hispanos y el viernes 13 en los anglosajones y otros países europeos. El Italia el numero “malo” es el 17 (lo que viene de la época del Imperio Romano) y en el Lejano Oriente el 4. El número 666 es considerado (porque es mencionado de esa manera en el libro bíblico del Apocalipsis) que representa a Satanás o al Anticristo. Por supuesto que en superstición hay también números amigos como el 7 y el 11 y en China el 8, por eso la Olimpiada de Beijing comenzó el 8 de agosto del 2008.
    Pero los números malvados (al igual que los números amigos) que nos presenta el Prof. Néstor del Prado Arza en el acertijo de hoy corresponden a Ciencia no a “Creencias” usando la dicotomía que presentara el Dr. Luis A. Montero Cabrera en un interesante articulo algún tiempo atrás.
    Regresando al “chícharo” de hoy:
    I.1.- El menor par de números amigos es 220 y 284 son 11011100 y 100011100 en binario, pero la suma de los 1 del primero da 5 que es impar. Pienso que la respuesta es no.
    Un comentario en broma es que en la Armada Española hay un buque de guerra electrónica llamado “Alerta”, que lleva en el casco el numero 111 y por eso es conocido jocosamente como “Atila” el rey de los “Hunos”
    I.2.- Seria sumar 220 con 298, nos daría 518, que no es ni amigo ni malvado.
    I.3.- Serian 1184 y 1210 y su media aritmética 1197 es en sí mismo un numero malvado, se escribe en binario 10010101101, que contiene una cantidad par (6) de 1.
    I.4.- No lo sé hacer.
    Pasando a zonas con el aire menos rarificado, creo que la joven pudo preguntarle por algún rasgo peculiar de la hermana, si era zurda, si cojeaba al caminar, si tartamudeaba, por ejemplo. Pudo haberle preguntado el nombre de los padres de ambas o el nombre de la calle donde vivía, o incluso si él era novio de la hermana (que pertenecía a la comunidad LGBT) y el le dijo que sí.
    Muy buena entrega, un gran reto. Muchos saludos al Prof. Néstor del Prado Arza

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Estimado amigo Oro, todavía estoy en el chequeo pre operatorio. La fecha está por decidir. Gracias

  • Jose Luis Amador dijo:

    En base a lo que se plantea de que “Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”, me pregunto: ¿Se estará respetando eso por todas las estructuras ministeriales que dirigen a la mayoría de nuestras empresas de producción y de servicios?

    Desde el 2008 mostré ideas "elementales y trabajadas" de mi propia cabeza (por cierto, ideas nada insignificantes) a un determinado ministerio y han pasado ya 11 años y no se resuelve nada.

    ¿No será que para que eso ocurra realmente en nuestro país habrá que eliminar primero en esas estructuras los problemones subjetivos que existen, por no decir otras cosas que todo el mundo conoce en Cuba? Pienso que también debemos tratar esos temas.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Estimado amigo Amador, usted coló una malanga en una ensalada de vegetales,pero como valoro mucho sus comentarios en Cubadebate, le aclaro que bimestralmenre publico un ejercicio sobre problemas reales, actuales e importante de nuestra sociedad. Puede buscar el último del pasado mes y además de ver ése, podrá ver la lista de temas a tratar a futuro. Aunque tenemos esa lista aprobada con la participación de los acertijandos, me gustaría que me hiciera llegar su propuesta para incorporarla. Gracias por su participación.

      • Jose Luis Amador dijo:

        Estimado Néstor del Prado, pienso me ocurre porque ya estoy de vegetales (conocimientos) hasta la coronilla, y pienso que debemos acercarnos un poco más primero hablando de los problemas de las viandas aunque sea (en este caso la tecnología) para ver si podemos acercarnos un poquito a la meta final de nuestra economía y su ineficiencia, que pienso que ya serían finalmente las carnes.

        Para ello usaba algunas de las palabras usadas en su artículo, pues de matemática no sé mucho, solamente la que estudié hace 48 años en las asignaturas de los 6 cálculos diferencial e integral que se dan en mi carrera y la de matrices en los sistemas de control, que por cierto la llevé a arrastre y no sé ni como la saqué finalmente, y pienso que son los conocimientos necesarios para poder entender los problemas de la maquinaria eléctrica y los sistemas trifásicos que las alimentan, con el objetivo final de ayudar y pedir, re-pedir y exhortar a todos los ministerios a que se protejan los motores eléctricos de su quemazón absurda, que no baja del 30 % de los instalados y trabajando a nivel nacional en todas las empresas de producción y servicios, solamente para hablar de la parte eléctrica. Pero realmente me veo solo en la mayoría de las ocasiones en esa tarea.

        También he tenido que usar la matemática un poquito en la confección de mis 11 software de cálculo, incluyendo uno para poder ahorrar energía en las conductoras de impulsión, tema del cual quizá ya haya leído algo en mis comentarios.

        Cómo se llama su útima publicación bimestral? Por favor, podía enviarme su correo a mi dirección para poder enviarles algunos materiales, que pienso que pudiera serles de ayuda con el tema de mantenimiento y del ahorro de energía y otros insumos adquiridos en divisas/ Con ese centro anteriormente he tenido contacto gracias a mi amiga la compañera Flora Mesa, que no sé si trabaja con ustedes todavía y con la que no me comunico hace algún tiempo, y que también me pidió algunos materiales del MPP.

        Gracias por su atención,

        MsC., Ing. José Luis Amador Vilariño
        Teléfono: 32-297339
        E-Mail: jlamador48@nauta.cu
        Dirección: San José # 741, Camagüey

  • Fernan dijo:

    Con la “Guerra de los Números” me arrodillo con las manos en la nuca y los dedos entrelazados…

    Con la segunda, el ejercicio de creatividad:
    Explicación elemental # 1:
    _Elena: ¿Dónde está mi hermana?
    _Héctor: Enterrada en un cementerio.
    _Elena: Gracias pero no me interesa tu información.

    Explicación elemental # 2:
    _Elena: ¿Qué debo hacer para ver a Clitemnestra?
    _Héctor: Debes regresar con Menelao.
    _Elena: Gracias pero no me interesa tu información.

    Explicación más trabajada:
    _Elena: ¿Dónde está mi hermana?
    _Héctor: Esa información es sólo a cambio de una importante suma de dinero o una parte de la herencia.
    _Elena: Gracias pero no me interesa tu información.
    La hermana perdida y Elena se separaron por diferencias irreconciliables, es por eso que mantuvieron la distancia durante más de 10 años y aún no han dado muestras de que quieren reconciliarse.

    • Jose R. Oro dijo:

      Que bueno esta eso!!!!

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Fernan tú has demostrado talento matemático e informático. Me sorprende tu rendición precoz. Ya veo q que te desquitaste con el de la creatividad sin números.

      • Fernan dijo:

        Saludos profesor, espero que los problemas de salud que lo aquejan se estén solucionando de la mejor manera.
        No es una rendición (aunque la postura que tomé dice eso a las claras, jajaja). Le voy a responder de dos formas, como acostumbra Ud. a poner a prueba nuestro intelecto y creatividad, una con números y otra sin ellos:
        Con números:
        Muestro el número de respuestas (contadas por “arribita”) de los foristas a los últimos problemas matemáticos planteados por Ud., y ya por ahí se deduce algo:

        Número palindrómico = 10
        Consejero económico-matemático = 13
        La matemática y los ingenieros especialistas en basura = 14.
        Los números amigos piden ayuda frente a los números malvados = 6

        La otra, sin números:
        “Si tu enemigo es superior a ti, evádelo,,,” (El arte de la guerra" - Sun Wu)

        Y ya con esta última frase tenemos la respuesta total a mi actitud…jajaja.
        Espero se mejore…

  • Ernesto dijo:

    Hola

    1.-De los números pequeños solo el 284 es malvado (bin=000100011100) num par de 1

    2.-Num. amigo más pequeño = 220
    Mayor número malvado menor que 300 = 298
    Suma en notación decimal = 220 +298 = 518

    3.-Números amigos mayores que 1000 y menores que 2000 son el 1184 y el 1210 y la media
    de ambos 1197 resulta precisamente un número malvado, el otro más cercano es el 1198.

    4.- Por vía matemática pura no conozco el algoritmo para el calculo directo de números
    malvados pero reprogramando en Visual Basic resulta fácil; después de encontrar el
    numero binario sumamos todos los caracteres, convertidos previamente a números,
    dividimos entre 2 la suma, siendo los números malvados (IF THEN) los que no muestren
    residuos (FRAC=0). Todo dentro de un lazo (FOR NEXT) hasta 1999.

    Saludos

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Espero que Yosue y Alvy saquen la cara en la pregunta 4. Sé que otros también pueden intentarlo.

  • Arnaldo G. Lorenzo dijo:

    1- Los números amigos más pequeños son:
    220 y 284. 284 es un número malvado.

    2- 220+298=598

    3- Entre 1000 y 2000, la pareja de amigos es
    1184 Y 1210.

    (1184+1210)/2=1197
    Malvado más cercano es 1198

    4- Algoritmo.

    N: Es el número a probar
    C: Contador de 1
    A: variable auxiliar

    1) N=1
    2) C=0
    3) A=N
    4) Dividir A/2
    5) Separar parte entera y resto de la división
    6) El resto es igual a 1?
    Si: C=C+1
    No: próximo paso
    7) La parte entera de la división es 0?
    No: A=parte entera
    regresa al paso 4)
    Si: próximo paso
    8) C es un número par?
    Si: N es malvado
    No: próximo paso
    9) N=N+1
    10) N es igual a 2000 ?
    No: regresa al paso 2)
    Si: Fin

    11) Saludos...

    • Arnaldo G. Lorenzo dijo:

      Rectifico

      220+298=518

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Amigo Arnaldo me alegra tu participación , siempre escribes respuestas con alto valor agregado. En la 4 como otros te fuisteis por un algoritmo computacional. Un abrazo amigo

  • RARJ dijo:

    -1-
    Aquí el dos veinte (220) va a ser
    Con el dos ochenta y cuatro (284)
    Número amigo, y destaco:
    “Que son como Cain y Abel”.
    Si el dos veinte (220) hay que poner
    Junto al dos noventa y ocho (298),
    Este último, morocho
    Pero malvado a la vez,
    Entonces la suma es
    El quinientos dieciocho. (518)
    -2-
    El mil ciento ochenta y cuatro (1184)
    Con el mil doscientos diez (1210)
    Son amigos y la media es
    La que diré de inmediato.
    El número que yo acato
    Mil ciento noventa y siete (1197)
    Es, y el algoritmo, vete
    Tú a saber cual es, mi amigo.
    Paso al dos porque le digo
    Que es un punto que promete.
    -3-
    _ ¡¿Y mi hermana está ahí afuera?!_
    Esto Elena preguntó
    Y Héctor dijo: _ ¡No!, envió
    Un Caballo de Madera_.
    Elena que era sincera
    Dijo con resolución:
    _ Gracias, esa información
    Para nada me interesa,
    Y dale candela a esa
    Basura, ahí en el portón_.
    -4-
    Héctor dijo entonces, fiel:
    _ Voy a aprovechar los palos,
    Si no quieres el regalo
    Me voy a quedar con él_.
    Cogió el regalo y aquel
    Error fue una insensatez.
    Por perder su lucidez
    Y no hacerle a Elena caso
    Fue derechito al fracazo
    Porque Troya ardió después.

  • AHQ dijo:

    RESPUESTAS.
    I.
    1. Los Números Amigos más pequeños son el 220 y el 284, pues en cada caso la suma de sus divisores exactos se corresponde con el otro número (no detallo la operación por motivo de espacio). De ambos números el 284 es un Número Malvado , pues en su expresión binaria posee una cantidad par de 1 (posee 4).
    2. La suma del menor Número Amigo (220) con el con el mayor Número Malvado menor que 300 es: 220 + 298 = 518, ya que el 298 es el número menor, más próximo a 300 con cantidad de pares de 1 en su expresión binaria.
    3. Dos Números Amigos mayores que 1000 y menores que 2000 son: 1184 y 1210 (cumplen los requisitos para ello) su media aritmética es (1184 + 1210)/2 = 1197; existen 2 Números Malvados muy próximos el propio 1197 (con 3 pares de 1 en suversión vinaria) y el más próximo diferente a 1197, es el 1198 (también con 3 pares de números 1).
    4. Existen algunos métodos matemáticos para hallar los Números Malvados (bastantes trabajajosos para números elevados), pero desde hace algún tiempo aprendí a hallarlos por la calculadora del PC, mediante la opción de VER y luego PROGRAMAR, dando la posibilidad que, partiendo del número decimal convertilo en binario y viceversa. Ahorra mucho tiempo.
    II REACCIÓN DE LA JOVEN ELENA (SEGÚN LOS ELEMENTOS APORTADOS).
    En la conversación con el desconocido Héctor resulta prácticamente imposible, que haya mencionado como primer nombre el de la hermana de Elena, lo más probable es, que haya citado varios nombres; la información de que tiene mucho dinero y testó a favor de ella, es un indicativo demasiado tentador para convencerla de ir al lugar que le pudiera indicar, lo que puede resultarle sospechoso a la joven. Elena realiza un cuestionamiento que resulta definitorio para despejar dudas, que pudiran ser los siguientes:
    1. ¿Cuál es su dirección?, que iré personalmente a verla. Respuesta: No sé exactamente la dirección, pero la llevaré en mi auto.
    2. Ella señala una característica física definitoria, falsa de su hermana. Respuesta: Sí, así mismo es.
    3. ¿Cuales son sus apellidos?. Respuesta que no concuerdan con los de su hermana.
    La s relaciones con desconocidos deben ser muy cuidadosas, principalmente cuando estas puedan propiciar algún beneficio para el interlocutor. Siempre debe saberse discriminar entre un perjuidcio y una manifestación de solidaridad humana.

  • yosue dijo:

    La Matemática en acción:
    Primero que todo un saludo a Nuestro querido Profesor Nestor del Prado (y que de paso le deseo lo mejor en la nueva escalada médica) que me llamó interesándose el por qué no había participado en este acertijo donde me conminó a resolver el inciso 4, hallar un algoritmo para determinar los números malvados, y me sacó de la cama que estoy convaleciente de una quemadura y fui y compré un ticket de internet para poder brindarle mi pequeño aporte.
    Mis disculpas por mandarle está respuesta por SMS hoy a las 1:00am porque no tenía Internet.
    Primero explicaré el algoritmo para realizarlo manualmente y luego un pequeño código en VB para Excel para automatizarlo, “utilizando teorías matemáticas elementales sin utilizar las funciones de conversión a binario o funciones de texto”.
    Algoritmo manual.
    Nota1: Este algoritmo utiliza una de las formas de llevar un número de base 10 a binario, base 2, además, utilizo la función log2(x) “logaritmo en base 2 de x” para determinar el exponente de la potencia de 2 que es menor que x. De esta función solamente tomo la parte entera.
    Por ejemplo para el número x=58 tenemos entero(log2(x)) = 5, esto significa que 2^5=32 es la mayor potencia de 2 que es menor que 58.
    Ahora sí el algoritmo paso a paso.
    Paso1: Sea x = n, n es el número que verificaremos si es malvado.
    Paso2: Si x =0 ó x=1 entonces devolver x, sino los pasos del 3 al 6
    Paso3: Sea L2= 2^(entero(log2(x) )) , ver nota de potencia.
    Paso4: Sea c= entero(x/L2) , c es la división entera entre x y la mayor potencia de 2 que es menor que x. (Pueden percatarse que c siempre da uno o cero)
    Paso5: Sea r=resto(x/L2), r es el resto de la división entera entre x y L2.
    Nota2: Voy a utilizar un operador lógico (“XOR” o “OR” exclusivo) que se utiliza en lógica matemática y que no es muy aplicada, pero ya que estamos hablando de números binarios es muy útil utilizarla (se utiliza mucho a la hora de programar ), de todas maneras se puede sustituir por un signo de “+” y el resultado se obtiene, lo que si utiliza el signo de más al final tendría que comparar si el resultado es par o no, si utilizamos XOR el resultado es 0 si es Malvado ó 1 si no lo es.
    (a XOR b = 0 si a= b, a XOR b=1 si ab ), (a y b pueden ser 0 ó 1)
    Paso6: Malvado= c XOR (Repetir pasos a partir del paso 1 con n=r)
    Ejemplo.
    Para n=3
    Paso1: x=3
    Paso2: sigo para el paso 3 porque x no es cero ni uno.
    Paso3: L2=2^(entero(log2(3)) ) = 2
    Paso4: c=entero(3/2)=1
    Paso5: r=resto(3/2)=1
    Vean que Malvado= x XOR (y esta parte se repite pero devuelve un valor), por tanto este paso queda en espera de este resultado.
    1ra Vuelta: Paso6: 1 XOR …. (Este 1 hay que guardarlo para el retorno) Repetir pasos a partir del 1 con n= r, o sea, n=1
    Paso1 de la Segunda vuelta(sv) x=1
    Paso2sv: como x =1 entonces devolver 1 y salto los pasos del 3 al 6 de la sv.
    Retorno al paso 6 de la primera vuelta:
    Paso6 primera vuelta: Malvado= 1 XOR 1, (Este último 1 es el que se retornó)
    Luego Malvado= 1 XOR 1=0
    Por tanto como es cero el 3 es malvado.
    Nota: Lo pueden probar para los demás valores, por un problema de espacio no los voy a poner.
    Como pueden ver es un procedimiento que se repite, en informática esto se llama procedimiento recursivo y ahora le explico el procedimiento en VB para Excel.
    Rem Primero crearla función Log2(x) porque en VB la función Log(x) es el logaritmo natural de x.
    Public Function Log2(x) As Double
    Log2 = Log(x) / Log(2)
    End Function
    Rem Ahora la función Malvado. Esta función es recursiva, se llama a sí misma y nos devuelve al final 0 si es malvado ó 1 si no lo es.
    Public Function Malvado(x) As Integer
    If x = 1 Or x = 0 Then
    Malvado = x
    Else
    Malvado = Int(x / (2 ^ (Int(Log2(x))))) Xor Malvado(x Mod (2 ^ (Int(Log2(x)))))
    End If
    End Function

    Fin del código.
    En VB a Mod b, es el resto de la división entera. Int() es la función entero()
    Ahora toman una hoja de cálculo en la columna A ponen consecutivamente hacia abajo los números desde el 0 hasta el 2000 (comiencen en la celda A1); y en la celda B1 escriban lo siguiente:
    =Malvado(A1)
    Luego arrastren la celda hacia abajo hasta llegar a la celda B2001 y copiaran la formula dada con su correspondiente desplazamiento.
    Al final todas las celdas con valores 0, serán Malvados.
    Vean que en el código se utilizaron funciones y expresiones matemáticas comunes.
    Esta expresión Malvado = Int(x / (2 ^ (Int(Log2(x))))) Xor Malvado(x Mod (2 ^ (Int(Log2(x)))))
    Sustituye los pasos del 3 al 6.
    Que le aproveche!. Anímense a programar, es un mundo fascinante. Disculpen si no se ve bien el código y la tabla, lo pueden ver en mi página “yosue1970.cubava.cu”, recuerden poner “https://”, lo pongo así para que Cubadebate lo publique parece que no permite enlaces directos a otros sitios cubanos.
    Aquí les dejo los primeros 31 valores:
    n
    Malvado

    0
    0

    1
    1

    2
    1

    3
    0

    4
    1

    5
    0

    6
    0

    7
    1

    8
    1

    9
    0

    10
    0

    11
    1

    12
    0

    13
    1

    14
    1

    15
    0

    16
    1

    17
    0

    18
    0

    19
    1

    20
    0

    21
    1

    22
    1

    23
    0

    24
    0

    25
    1

    26
    1

    27
    0

    28
    1

    29
    0

    30
    0

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Director del Sello Editorial Academia de la Empresa de Gestión del Conocimiento y la Tecnología (GECYT).

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