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Respuesta a “Números naturales narcisistas y creatividad sin números”

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A pesar de las vacaciones de algunos y el calor para la mayoría, este acertijo logró retar la curiosidad y la perseverancia de ustedes que pensaron y escribieron respuestas consistentes y creativas. Vamos por parte:

I

Se dice que un número natural de k dígitos es narcisista si al sumar la potencia k de sus k dígitos da como resultado el propio número. A los efectos de este acertijo debemos ceñirnos al sistema decimal de numeración, es decir base 10.

Voy con un ejemplo para los cuasi alérgicos a la Matemática. El 153, que tiene tres dígitos  es narcisista, ya que 1^3+5^3+3^3= 1+125+27= 153.

Ya el amigo Oro advirtió que el 29 llegaría como ciclón; pero como verán tienen sus categorías en la escala parapensadora.

Preguntas:

1- Halla un número natural narcisista de un dígito.

R/ Cualquier dígito del 1 al 9 cumple la definición de número natural narcisista de un dígito. Es obvio que el número elevado a la potencia 1 da como resultado el propio número.

2- Halla un número natural narcisista de dos dígitos.

R/ No existen números narcisistas de dos dígitos. Como no eran muchos (del 10 al 99) algunos acudieron al EXCEL para comprobar dicha inexistencia. Muy pocos acudieron al razonamiento matemático, y solo Yosue lo fundamentó. Y a continuación comparto su razonamiento:

Números Narcisistas de dos dígitos naturales no hay, explico:
Llamemos [ab] al número de dos cifras, por tanto:
[ab]=10*a+b
Por la propia definición de números Narcisistas, se tendría que cumplir que:
a^2 + b^2 = 10*a + b
agrupando a^2 – 10*a = b – b^2 multiplicamos por -1 convenientemente:
10*a – a^2 = b^2 -b
sacamos factor común en ambos miembros: a*(10-a) = b*(b-1)
en esta igualdad, el miembro derecho representa dos números consecutivos, y el izquierdo, el producto de dos números , llamémosles  complementarios, que suman 10. Pero no existen dos números consecutivos cuyo producto sea 9, 16, 21, 24, 25, y 26 (Esto son el producto de los números «complementarios) , entonces podemos decir que no existen los números Narcisistas de dos cifras.

3- Halla otro número natural narcisista de tres dígitos, diferente a 153.

R/ Existen otros tres números de tres dígitos narcisista; estos son 370, 371 y 407.

Tal como comprobó Alejandro tempranamente:

370: 27+343+0=370
371: 27+343+1=371
407: 64+0+343=407

En este caso bastaba con encontrar uno diferente de 153 y comprobar que era narcisista.

Yosue fue más allá trabajando en la demostración que eran solamente esos cuatro.

4- ¿Cuál es el mayor número natural narcisista que puede formarse; o serán infinitos?

R/ El mayor número natural narcisista que puede formarse en el sistema decimal es el 115132219018763992565095597973971522401, que tiene 39 dígitos. Por tanto, no son infinitos. Sólo hay 88 números narcisistas en el sistema decimal.

Al momento de escribir este documento, solo dos dieron la respuesta Alejandro y Pioneer, este último con algunas explicaciones, que podemos tomar como su fundamentación.

El razonamiento matemático tiene como base demostrar que al crecer la cantidad de dígitos del número, no es posible lograr la igualdad sumando las potencias correspondientes.

Este acertijo motivó un interesante y consistente comentario del amigo Pioneer sobre las sucesiones numéricas y su relación con  la biología, Les sugiero leerlo.

También hizo que el destacado matemático Yosue, corriera por tercera y nos regalara esta interesante narración.

…Narciso era hijo del dios boecio del río Cefiso y de Liriope, una ninfa acuática. El famoso vidente Tiresias ya había hecho la predicción de que viviría muchos años, siempre y cuando no se viese a sí mismo.

…La hermosa y joven Eco era una ninfa de cuya boca salían las palabras más bellas jamás nombradas. En cuanto a las palabras ordinarias, se oían de forma más placentera. Esto molestaba a Hera, celosa de que Zeus, su marido, pudiera cortejarla como a otras ninfas. Y así sucedió.

…Narciso cruelmente se negó a aceptar el amor de la pobre Eco, por lo que la ninfa, desolada, se ocultó en una cueva y allí se consumió hasta que sólo quedó su voz. Para castigar a Narciso por su engreimiento, Némesis, la diosa de la venganza, hizo que se enamorara de su propia imagen reflejada en una fuente.

II

Piensa cada enunciado y genere una respuesta en que la Matemática, la Física, la lógica y la creatividad se combinen.

1- En una carretera recta, un automóvil estacionado apunta hacia el oeste. Subes y empiezas a conducir. Después de andar un rato, descubres que te encuentras a 1 Km. al este del punto de partida.

¿Cómo se llama el conductor?

¿Cómo pudo haber sucedido esto?

R/ El nombre del conductor es el propio del que responde, casi todos así lo interpretaron. Y la explicación es que condujo en marcha atrás. Algunos dieron respuesta de gran valor cultural y sentido del humor, como los casos de Pioneer, Oro, cam, Yosue.

2- Nos presentan dos esferas que tienen el mismo volumen, pero una de ellas pesa diez veces más que la otra. Si solo puedes coger una ¿Qué harías para determinar cuál es la más pesada?

R/ Como solo se puede entrar en contacto con una de ellas, hacerla chocar con la otra, si retrocede es la que pesa menos; si avanza es la más pesada. Algunos respondieron en este sentido; pero otros dieron respuestas dignas del pensamiento lateral, como aleph y su corriente de aire; también lo hicieron los amigos Oro y cam, pero en algunos casos tocando ambas esfera.

Y termino compartiendo la respuesta de un amigo que siempre nos deleita con su ingeniosidad y poesía.

RARJ dijo:

-1-
Un número narcisista
De un digito elijo el cinco, (5)
Y de dos, el treinta y cinco (35)
Voy a poner en mi lista.
Ya yo le pasé revista
A mi cuenta antes de hacerlo
Y me decidí a ponerlo
Porque el número, esta vez,
Aunque narcisista no es
Está muy cerca de serlo.
-2-
De tres dígitos hallé
El trescientos setenta y uno, (371)
Y de cuatro, busqué uno
Pero nunca lo encontré.
Si es infinito, no sé,
Habría que calcularlo
Pero eso voy a dejarlo
En las manos de otra gente
Que son más inteligentes
Y que podrán demostrarlo.
-3-
El conductor soy yo mismo
Que realizo la carrera
En carro por carretera
Sin curvas y sin abismos.
Ahí pudo ocurrir un sismo
O a lo mejor un tornado
Que a mi carrito, orientado
Al oeste, sorprendió
Y con fuerza lo viró
Unos ciento ochenta grados.

Nos vemos el lunes 5 de agosto, con matemática suave y un complemento creativo.

Se han publicado 25 comentarios



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  • RARJ dijo:

    Muy interesante este tema
    Del número narcisista
    Aunque para hallarlo exista
    Una serie de problemas.
    Aplicando el teorema
    Del número y su potencia
    Que trae como consecuencia
    Un resultado que es fijo
    Aquí dejo este acertijo
    Que hace al tema referencia.
    ACERTIJO
    Se conoce que el # del Carnet de Identidad de cierta persona está compuesto por cuatro números narcisistas (un # narcisista de un dígito, dos # narcisistas de tres dígitos y un # narcisista de cuatro dígitos). Si se conoce además que ese # de Carnet de Identidad de once dígitos empieza con el número 8 y termina con el 3, diga:
    a)-¿Cuál es el # de Carnet de Identidad de esa persona?
    b)-¿Cuál es el nombre de esa persona?

    • Yosue-Continuación dijo:

      Saludos, Ya este comentario lo publiqué desde el jueves pero no lo publican, no se por qué está censurado.
      Respuestas:
      8 4 0 7 1 6 3 4 1 5 3
      8 2 0 8 1 5 3 3 7 1 3
      8 2 0 8 1 5 3 3 7 0 3
      8 2 0 8 1 5 3 4 0 7 3

      • Yosue-Continuación2 dijo:

        Me faltaron los nombre
        8 -4 0 7- 1 6 3 4- 1 53 - Teresa como dice RarJ
        Estos Últimos son gemelos 2 hembras y un varón
        8 2 0 8 -1 5 3- 3 7 1- 3 - Nancy
        8 2 0 8 -1 5 3 -3 7 0 -3 - Narciso
        8 2 0 8 -1 5 3- 4 0 7 -3 - Nely

  • Yosue dijo:

    Saludos, profesor,
    Este inciso 4 está de madre demostrarlo y calcularlo también.
    Aquí le dejo mi efímero intento.
    Para el Ejercicio 4. Lo único que se me ocurre es lo siguiente.
    Para n =2 (n cantidad de dígitos de un número de dos dígitos d2d1) la expresión a calcular sería
    (d2)^2 +(d1)^2 = d2 * 10^1 + d1
    Para n=3
    (d3)^3 + (d2)^3 +(d1)^3 = d3 * 10^ 2 + d2 * 10^1 + d1
    Mi pregunta es ¿Cuánto crece de n=2 a n=3 en cada miembro? me pregunto esto para saber si para un determinado n el crecimiento es tan gran en uno de los miembro que en el otro nunca se pueda alcanzar su valor... y si esto ocurre la entonces la respuesta es que las soluciones son finitas, en caso contrario infinitas.
    Diferencia para n=3 y n=2
    (d3)^3 + (d2)^2 * (d2-1) +(d1)^2 * (d1-1) = d3 * 10^ 2
    ...
    Para n=k la diferencia sería
    (dk)^k + (dk-1)^(k-1) * ((dk-1)-1) + (dk-2)^(k-1) * ((dk-2)-1) + ... (d1)^(k-1) * ((d1)-1) = dk * 10^(k-1)

    Realmente demostrar que el miembro izquierdo es mayor o menor que el derecho para cierto número de n es difícil, tendríamos que encontrar el valor de esa serie.
    Hoy me doy por vencido. Y lo otro es lo difícil qu es poner estas expresiones aquí.

  • Alejandro dijo:

    Profesor y ciberamigo del Prado, me encantó este acertijo, y también sus valoraciones, así como el poder haber contestado correctamente las dos actividades propuestas. Le envié las fundamentaciones de los incisos 2 y 4 de la actividad I como me lo solicitó, pero pasó algo con la conexión a pesar de insistir desde el propio martes. Lo importante es que hemos ganado en techo cultural matemático, pues esas curiosidades no son muy socializadas. Nos vemos el lunes para ver si desciframos el tenedor, no de Pedro Luis Lazo, sino del eminente profesor del Prado, por cierto qué falta hace una revolución en la pelota cubana y su directiva, para retomar los tiempos mozos de los Casanova, Linares, Marquetti, Muñoz, Huelga, Vinent, Rogelio, Capiró, Kindelán, Pacheco, Pedro José, Urquiola, Carrero y otros. Nos vemos profe.

    • Nestor del Prado Arza dijo:

      Amigo Alejandro si revisas un correo electrónico que me enviaste hace un año, en la segunda parte está tu colaboración. Gracias por reaparecer.

  • Jose R. Oro dijo:

    Tremendo interes despertó el "narcisismo numerico", muy buenos los comentarios de todos y por supuesto la explicacion del destacado cubano Prof Néstor del Prado Arza

  • Alvy Singer dijo:

    Hola,profe discúlpeme por llegar tarde y aprovecho q tengo un hueco y solo kiero agregar algunas cosas, primero algo sobre los números narcisistas,los números narcisistas tienen una característica producto de la misma ley q los define si el número narcisista es impar la suma de sus cifras también es impar y si el número narcisista es par la suma de sus cifras también es par esto parte del análisis de la n-potencia d un número par o impar.
    Por ejemplo
    153 es impar y 1+ 5 + 3 = 9 también es impar
    370 es par y 3 + 7 + 0 = 10 es par
    407 es impar y 4 + 0 + 7 = 11 es impar.

    El otro detalle es el siguiente la diferencia de un número narcisista de la forma a1a2a3a4...an con números de la forma (a1+1)^n+(a2+1)^n+...(an+1)^n siempre es divisible entre la cantidad de cifras (n) q tiene el número narcisista.
    Por ejemplo con 153 sería
    2^3+6^3+4^3 - 153=288-153=135 q como vemos es divisible entre n=3 q es la cantidad de cifras
    con 407 sería

    5^3+1^3+8^3-407=231, q también es divisible entre n=3 q es la cantidad de cifras del número narcisista

    Ahora demostrar q los números narcisistas de la forma a1a2a3a4a5...an (aclaración 1<=a1<=9,0<=a2,a3,a4...an<=9,donde a1,a2 a3,...an pertenecen a los enteros no negativos)son finitos es sencillo bastaría suponer q fueran infinitos y hallar la convergencia de las series numéricas siguientes las cuales tendrán q ser iguales si fueran infinitos pero como veremos no convergen hacia el mismo valor:

    Serie1
    (a1/10)^n+(a2/10)^n+(a3/10)^n+...(an/10)^n, si n tiende al infinito esta serie converge a 0

    Serie 2

    a1/10+a2/10^2+a3/10^3+...an/10^n y esta serie tiende a 0.a1a2a3a4a5a6...an cuando n tiende al infinito

    Conclusión los números narcisistas son finitos..
    Ahora en cuanto a la pregunta de las esferas profe me kedé con una duda por qué el choque d las esferas sería elástico,no puediera ser un choke plástico?, menos si no me dicen tampoco de q material son las esferas y si aplico la ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento la velocidad es vectorial (tiene dirección,sentido y magnitud)y dependerá de si el choque es elástico o plástico.Slds

    • Alvy Singer dijo:

      En cuanto al problema de las esferas,se me ocurre pensar q pasaría si la q mas pesa fuera de algún material como la plastilina y la q menos pesa como algo "bien sólido) q pasaría la q menos pesa rebotaría??..

    • Yosue-amigo dijo:

      Alvy- Excelente la demostración de que son finitos.
      Una buena vía el uso de los límites en las series numéricas. Lo había olvidado.

  • Alvy Singer dijo:

    Hola,ayer comenté y no salió,disculpenme si sale repetido este comentario.Primero algo sobre los números narcisistas,los números narcisistas tienen una característica producto de la misma ley q los define si el número narcisista es impar la suma de sus cifras también es impar y si el número narcisista es par la suma de sus cifras también es par esto parte del análisis de la n-potencia d un número par o impar.
    Por ejemplo
    153 es impar y 1+ 5 + 3 = 9 también es impar
    370 es par y 3 + 7 + 0 = 10 es par
    407 es impar y 4 + 0 + 7 = 11 es impar.

    El otro detalle es el siguiente la diferencia de un número narcisista de la forma a1a2a3a4...an con números de la forma (a1+1)^n+(a2+1)^n+...(an+1)^n siempre es divisible entre la cantidad de cifras (n) q tiene el número narcisista.
    Por ejemplo con 153 sería
    2^3+6^3+4^3 - 153=288-153=135 q como vemos es divisible entre n=3 q es la cantidad de cifras
    con 407 sería

    5^3+1^3+8^3-407=231, q también es divisible entre n=3 q es la cantidad de cifras del número narcisista

    Ahora demostrar q los números narcisistas de la forma a1a2a3a4a5...an (aclaración 1<=a1<=9,0<=a2,a3,a4...an<=9,donde a1,a2 a3,...an pertenecen a los enteros no negativos)son finitos es sencillo bastaría analizar si convergen y hacia donde convergen las series numéricas siguientes cuando n(la cantidad de dígitos) es infinita q es lo q sucedería si los números narcisistas fueran infinitos.Si las dos series convergen pero no al mismo valor (condición necesaria pero no suficiente) y dada la característica de q los números naturales no son denso podríamos concluir q los números narcisistas son finitos.

    Serie1
    (a1/10)^n+(a2/10)^n+(a3/10)^n+...(an/10)^n, si n tiende al infinito esta serie converge a 0

    Serie 2

    a1/10+a2/10^2+a3/10^3+...an/10^n y esta serie tiende a 0.a1a2a3a4a5a6...an cuando n tiende al infinito
    Estás series salen del análisis de la definición de número narcisista.
    Conclusión los números narcisistas son finitos..
    Ahora en cuanto a la pregunta de las esferas profe me kedé con una duda por qué el choque d las esferas sería elástico,no puediera ser un choke plástico?, menos si no me dicen tampoco de q material son las esferas y si aplico la ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento la velocidad es vectorial (tiene dirección,sentido y magnitud)y dependerá de si el choque es elástico o plástico.Lo otro es q si el choque es elástico y si se escogiera la esfera q menos pesa y se lanzara a la q mas pesa,existirá una velocidad a la q lance la esfera q menos pesa q hará,q al impactar con la q más pesa esta se pare y la q pese más empiece a moverse.Por ejemplo supongamos q la q mas pese está en reposo en una superficie rugosa,bastaría q la esfera q menos pese al impactar con la q mas pese ejerza una fuerza mayor q el producto de Maza de la esfera q más pesa POR la gravedad POR el Coeficiente de rozamiento para q la esfera q más pese empieze a moverse esto nos podría llevar a calcular la aceleración instantánea de la esfera q más pese aplicando la 2 ley de Newton.Slds

  • Alvy Singer dijo:

    Y me pregunto q pasaría si el coeficiente de rozamiento cinético donde está la esfera q más pesa fuera casi cero.

    • Alvy Singer dijo:

      Conclusión creo q el método para determinar cuál de las esferas pese más haciéndolas chocar,llevaría otros datos q el texto del problema no nos plantea.

    • Nestor del Prado Arza dijo:

      Estimado Alvy, qué bueno que apareciste con el juego activo. Muy buena tu respuesta al inciso 4. Con belleza y fundamentos matemáticos exvc

      • Nestor del Prado Arza dijo:

        Cont... Excelentes. Respecto al de las esferas, son pertinentes tus consideraciones, ya otro pensador analítico riguroso llamado cam incursionó por esos terrenos. Aquí hay dos razonamientos, evitar hacer muy denso el enunciado del problema en un entorno popular, y que la incertidumbre opere como catalizador positivo del pensamiento divergente. Lo segundo aporta riqueza y no debe ser realizado. Gracias por tu participación que siendo de data reciente, valoro entre las destacadas. La partición de algunos mensajes que escribo se debe a que al tocar la ficha de autocompletar del corrector automático, el impacto va para ENVIAR COMENTARIO, que están pegados. Tengo que entrenar la escritura montado en un P, pero sentado. JEJE.

    • Enano dijo:

      Recuerde que una esfera es 10 veces más pesada que la otra , de verdad cree que la fuerza de rozamiento o el vector de fuerza influyan en la reacción que tenga la esfera lanzada? , no lo creo , si vamos a los extremos y pensamos que una de las esferas es de una sustancia coloidal estable en el aire y la otra es de plomo posiblemente su razonamiento cobre fuerza, pero a mi parecer seria pedir demasiado al ejercicio.

      • Alvy Singer dijo:

        Amigo,recuerde q en el texto no me dan detalles ni de la superficie donde se encuentran las esferas,osea no sé su coeficiente de rozamiento (miú cinético estático y miú dinámico),tampoco conozco el material de las esferas,no sé si solo hay fuerza de rozamiento por rodadura sin deslizamiento para lo cual necesitaría algo importante como el Momento de Inercia de las esferas (I) y el material q están hechas las esferas,incluso como estamos en 3 dimensiones haciendo el experimento la ecuación vectorial de la ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento no sería lineal estaríamos hablando de vectores de velocidad con 3 con componentes ->i ->j y ->k y habría q analizar q ocurriría con las esferas al impactar en el espacio 3D.Slds

      • Alvy Singer dijo:

        Además amigo obvia algo en las esferas todo el peso cae en un solo punto en dependencia de las deformaciones del material por el q están hechas (dato q no me dan) y no resultaría muuy complicado al aplicarle una fuerza lograr un movimiento claro todo estaría en dependencia además del material de las esferas sobre todo cuando por el resultado de la deformación del material al estar descansando en una superficie el peso deja de caer en un solo punto y ahí entra a jugar la FUERZA DE FRICCIÓN POR RODADURA Q NO NECESARIAMENTE SE OPONDRÁ AL MOVIMIENTO COMO OCURRE CON LA FUERZA DE FRICCIÓN.Observe una "bola" como con las q jugábamos cuando éramos niños y ponla en una superficie fíjese q solo apoya en un solo punto.Sino pregúntese por qué los rodamientos muchos se basan en la utilización de esferas (como las "cajas de bola"), o por qué se trata de usar piezas en "forma redondas" cuando se kiere mover algo si pasar mucho trabajo (y Trabajo W),fíjese en las gomas de los carros no son esféricas pero ocurre algo parecido con lo q plantee.

    • cam dijo:

      imagino que sería igual a patinar sobre hielo y detergente, cosas interesantes a tener en cuenta. si logras cancelar todas la fuerza, dejando solo la gravedad, la esfera se moverá según la segunda ley de newton. en un movimiento que describe un círculo por la rotación terrestre y una velocidad angular dependiendo del radio promedio(recuerdo haber leído que manto de magma debajo de la cortesano terrestre fluctúa su espesor) de ese punto en particular con el centro de la tierra, también considerado que la pendiente de la superficie en ese punto es tangencial a la superfie, en cualquier caso, cualquier fluctuación en la energía en reposo, provocaría un moviento acelerado o uniforme, hasta que las condiciones que lo provocaron dejen de existir.
      saludos

      • Alvy Singer dijo:

        Amigo cam muy cierto tu comentario,saludos para ti también.

  • Alvy Singer dijo:

    Por lo cual me parece q el método para determinar cuál de las esferas pese más haciéndolas chocar,llevaría otros datos q el texto del problema no nos plantea.

  • Alvy Singer dijo:

    No se q pasa,escribo y Cubadebate no pone ningún comentario.Si este sale agrego algo q dije en otro comentario q no salió,cuando me refería a la ecuación q plantee para la esfera q más pesa aclaro q me refería al coeficiente de rozamiento estático.Lo otro es si la esfera fuera rodando habria y fuera un movimiento sin deslizamiento la fuerza d rozamiento sería por rodadura y ahí habría q tener en cuenta el Momento de Inercia de la esfera.

  • Alvy Singer dijo:

    Si tengo chance y los comentarios salen haré otras anotaciones.Slds

  • RARJ dijo:

    Respuestas:
    a) 8 – 407 – 1634 – 153 = 84071634153
    b) El décimo dígito es impar por lo que el nombre corresponde a una mujer y puede ser el siguiente:
    Narcisa (Por eso de los números narcisistas)
    Octavia (Por el dato de que el CI empieza con 8)
    Teresa (Por el dato de que el CI termina con 3)

  • Nestor del Prado Arza dijo:

    Al parecer RARJ no recibió mi correo en que le pedí que no diera la respuesta para ponerlo en los próximos días. Además ya Yosue respondió. Entonces ahí va mi respuesta.
    Es una mujer que nació el 240882.
    NIP 82082407153
    Su nombre es Emilia, ya que el santoral es debido a Santa Emilia de Versalles Francia.
    Suponiendo que sea un número real es posible que el último dígito no sea 3 si se aplica el algoritmo que genera el número de control.

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Director del Sello Editorial Academia de la Empresa de Gestión del Conocimiento y la Tecnología (GECYT).

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