Ensalada matemática octubrista y creatividad sin números a lo LTS
A la mitad acertijadora de octubre de 2022, vamos con una ensalada mixta de cinco preguntas, con la vista puesta en el 31 de octubre, día del Matemático en Cuba; y para balancear un ejercicio de creatividad sin números, inspirado en una publicación del maestro amigo Luis Toledo Sande (LTS).
I
a. Escribe el quinto número de esta secuencia
5 8 12 17 ¿?
b. Halla la quinta letra de esta secuencia
H M Q V ¿?
c. Construye el número 31, utilizando cada uno de los ocho dígitos del día de hoy 17102022, sin repetirlos y solamente con suma, resta y multiplicación, y sin paréntesis.
d. Si tuviera 10 años menos, tendría la mitad de los que tiene. ¿Cuántos años tiene?
e. Hallar al menos cinco valores de X, en la siguiente ecuación: X2+ 2*cosX-2=0
Debes explicar tus respuestas.
II
Escribió el maestro amigo: “Algunas unidades métricas vernáculas “pepino”, jarro, jarrito, lata, latica, vaso-que fue-de helado”.
El reto consiste en estas dos tareas:
1. Llegar a no menos de 31 palabras de ese tipo, que se utilicen popularmente para contar, medir, pesar, cuantificar…
Pueden usarse palabras de otros países.
Si haces algún comentario interesante sobre algunas, mucho mejor.
Voy con un pie forzado: “puñado”
2. Si en una carretilla, hay cebollas moradas de diferentes diámetros, y el vaso cuesta 45 pesos; ¿qué harías, llenarlo con cebollas pequeñas, o con cebollas grandes?
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”.
NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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a) 5+3=8 8+4=12 12+5=17 17+6=23
5 8 12 17 23
b)H: 8 M:13 Q:17 V:22
8+5=13 13+4=17 17+5=22 22+4=26 es la Z
c)1*2*2*7+2+1+0+0=31
d)x-10=x/2
x=20 Tiene 20 años.
Luego continuo con el resto.
Saludos
I)
a: 23
Respuesta: 8 = 5 + 3, 12 = 8 + 4, 17 = 12 + 5, luego 23 = 17 + 6.
b: A
Respuesta: conviertiendo cada letra a su posicion en el alfabeto espanhol:
H=8, M=13, Q=18, V=23. Como se observa se obtienen las letras dando pasos de a 5, pero despues de la V solo quedan 4, luego imagino que hay que dar la vuelta.
c: 1 + 1*7*2*2 + 2 + 0 - 0 = 31
d: x - 10 = x/2 luego 2x - 20 = x por tanto x = 20 años.
e: A pesar de que solo puedo encontrar exactamente la solucion X = 0, sospecho que existen otras 4 mas por el siguiente razonamiento:
cosX es un numero en el intervalor [-1, 1], luego 2cosX - 2 es un numero en el intervalo [-4, 0], luego cualquier solucion para X > 2 o X < -2 esta descartada ya que la funcion siempre sera mayor a 0.
Ahora bien, como seguro conocen cosX = cos(-X), luego basta encontrar otras dos soluciones en el intervalo (0, 2]. Lo que para encontrarlas no cuento con el conocimiento trigonometrico necesario. Me gustaria ver la solucion, se que numeros bonitos no seran, mas alla de arcosenos y parecidos jejejeje
Bueno, me voy por el "pie forzado" de mi querido amigo Luis Toledo. ¡Confieso que "sudé" para llegar a 31! Conozco otras, pero no son publicables..
Alla voy:
Montón, pila, burujón puñado, pizca, pellizco, tonga,
paquete, tin, dedito, dedo, mirringa, bulto, paco, chorrito, bola ,un nada de..., astilla, pedacito, gotica, mazo, chispita, vasito de olla arrocera, hilito granito, puntica, pedacito, trocito, fondito, uñita, salpicadito...
En cuanto a las cebollas, cojo las pequeñas...Asi puedo compartir con mis vecinas, pues no es lo mismo regalar una o dos cebollitas aunque sean pequeñitas, que un pedazo de cebolla...
.
.
--1--
Punto Uno, el inciso a)
El numero es 23
Y el Punto Uno, inciso b)
Es ALFA o la letra A.
c) Sumo dos y uno, mas
Dos por dos por siete y uno
Y asi obtengo el 31.
Los años son 20 en d)
Y equis igual cero en e)
Y no me falta ninguno.
--2--
MIS PALABRAS: Frasco, bote,
Poco, más, cucharadita,
Tin, contenedor, tacita,
Menos, mucho, sobre y lote.
Caja, pila, sorbo, pote,
Botella, grande, chiquito,
Estuche, bolsa, pomito,
Cubeta, copa, paquete,
Vuelta, pasada, carrete,
Jabita, pizca y bultico.
--3--
Si la cebolla es chiquita
Tendremos mas cantidad
Pero aqui la calidad
Es lo que uno necesita.
La cebolla está "carita",
Su precio es exagerado
Y ya que uno está obligado
A comprarla pal sazon
Pues lleno mi vaso con
La que esté en mejor estado.
a El quinto número es 23, porque la diferencia de cada uno con respecto al anterior va aumentando en uno a medida que avanzamos en la serie dada.
Las diferemcias son 3, 4 y 5 en los dados, toca sumar 6 al último.
b La letra final es la Z.pues entre cada una de las dadas en la serie hay otras 4 que no se incluyen. Y cinco letras después de la V, encontramos a la Z.
c 7*2*2+2*1+1-1*0+0
=28+2+1-0-0
=31
d Tiene 10 años.
20-10=10
20/2=10
1 tin, tilín, dedo, el cantío de un gallo, uñita, cubo. saco (dicen que un saco de cemento tiene 4 cubos), lo que tú quieras (en respuesta a ¿cuánto te debo?), barril (no el de petróleo, dicen que gastó un barril de agua), boca'o, ñinga, pizca (échele una pizca de sal), vasito de helado, rueda (de cigarros, que son 10 cajas), pomo de leche (aún me acuerdo aunque hace mucho que no veo uno de ellos), latica, un mundo (te quiero un mundo), puña'o, montón, cuarta (una cuarta de tierra), cuartillo, gota, pedacito, carretilla (tráeme una carretilla de arena), pila, hato (de leña), burujón, mazo (de cebollino), lata (tanque de 12 latas), taza, tacita, cucharadita.
2 Escogería cebollas grandes y pequeñas (que estas últimas cubran los espacios que van dejando entre sí las primeras).
I.a. 5 8 12 17 (23)
8-5=3, 12-8=4, 17-12=5, 23-17=6
I.b. H M Q V (A)
pues
(H) I J K L (M) N Ñ O P (Q) R S T U (V) W X Y Z (A) B C D E F G
Cada 4 letras.
I.c. 17102022
202-171+0×2 = 31
I.d. E-10=E/2, E = 20.
II.1.
cucharada, cucharadita, cucharón, pizca, película, goticas, taza, tacita, media taza, porrón, cubo, cubito, balita, pomo, botella, barril, tanque, tanqueta, caja, pozuelo, bolsita, mano, pila, ramo, racimo, chorro, sorbo, pote, saco, barquillo, biberón, bidón, dedos, cubeta
II.2. Si las cebollas presentaran forma devaso, elegiría una cebolla bien grande del tamaño del vaso. Con las cebollas en forma semi esféricas, elegiría las cebollas pequeñas para abarcar mayor volumen en el vaso. Las cebollas grandes generan más espacios vacíos en el vaso.
I.e.
X^2+2×cos(X)-2=0
cos(X) = 1 - X^2/2 (1)
El miembro derecho corresponde a los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor del cos(X). Y esto se cumple en vecindades lo suficientemente pequeñas alrededor de X=0 (solución exacta), o sea, para x->0+, x->0- y x->0. De acuerdo a (1), los demás términos de la expansión de Taylor se ignoran. Por tanto,
Sum(n=2,n->inf) X^(2×n)/(2×n)! = 0
De modo que X^4 saldría como factor común, lo que conllevaría a obtener 4 soluciones iguales a cero. Pero si tomamos el análisis de la vecindad visto arriba, siempre que nos hallemos en ella, tanto por la izquierda o la derecha del 0, tendremos infinitos valores de X muy próximos a X=0 que darán cumplimiento a (1).
Resumiendo, nuestras 5 soluciones son cero, o las soluciones pueden ser tomadas como 0(+/-)epsilon, tal que epsilon es infinitesimal.
En la sumatoria me faltó el (-1)^n
II.1. Puñado, Bolsa, cartón, guacal, taza, cucharada, pizca, kilo, litro, gramos, libras, cuartico (cuarto de litro), caja, saco, botellón (20 litros), litron (1,25 litros), tercio (333 ml), cuñete, tambor, paila, frasco, jarra, vaso, porción, ramillete, plato, bandeja, sobre, quintal, pimpina, racimo, cabezas de ganado, lata, pote, galón, onza, cc (centímetros cúbicos), garrafa,
I.a. 8-5=3,
12-8=4,
17-12=5,
Por lo tanto, sigue el 6 para determinar el quinto elemento 17+6=23
II.b. Entre M y H se encuentran las letras I, J, K, y L.
Entre Q y M se encuentran N, Ñ, O, y P.
Entre V y Q, se encuentran R, S, T y U.
Por lo tanto para determinar el quinto elemento de la secuencia, debemos saltar cuatro letras siguientes a V en el abecedario: W, X, Y y Z; que reinicia con A.
Secuencia H M Q V A.
-4-
OTRAS PALABRAS: Macito,
Saca, ensarta, pincelada,
Cuña, posuelo, tajada,
Banda, cartucho y ramito.
Tinguaro, dedo, nailito,
Céntimo, pieza, ración,
Ápice, unidad, melón,
Cucharón, ristra, tinaja,
Hollejo, tonel, rodaja,
Doble, pelín y montón.
Parte I
a)23
5
5+3=8
8+4=12
12+5=17
17+6=23, incógnita
Parte I
a)23
5
5+3=8
8+4=12
12+5=17
17+6=23, incógnita
Relación de recurrencia:
a_0=5
a_(n+1)=a_n+(n+2)
Parte I
b)
Solución 1:
A
Partiendo de H, escribimos cada quinta letra. H es la 8va, por lo que en la secuencia toca la 28va. Trabajando mod(27), tenemos que volver a empezar la secuencia y escribir la 1ra: A.
Solución 2:
F
Hombres y Mujeres Queremos Vivir Felices
Parte I
c)
Sin concatenación:
7x2x2+2+1+1x0=31
Con concatenación:
202-171+2x0=31
d)20
Quiere decir que tiene el doble de lo que estás restando, luego tiene 2x10=20 años.
Parte I
e)
Profe...¿5? Se me hace que el e) es el divergente de la semana.
x_1 y x_2 se hallan octubreando:
Octubre es el mes 10 y se abrevia oc:
oc=10
Si hablo al revés, 01=co
Y si un co es uno, 2 cos(recuerden que esto es lenguaje hablado) son 2.
Entonces hay que resolver
x^2+2x-2=0
Soluciones:
x_1=-1+√3
x_2=-1-√3
Parte I
e)
x_3 y x_4 vienen de la mano de la numerología:
DN[cos]=3
Ahora hay que resolver
x^2+6x-2=0
Soluciones:
x_3=-3+√11
x_4=-3-√11
Parte I
e)
Ahora x_5:
Tenemos ante nosotros una ecuación trascendente (no es posible despejar x):
x^2+2cosx-2=0
1er método de solución:
Transformarla hasta que por simple inspección se haga evidente el valor de x. No necesité transformarla, enseguida noté que cuando x=0, cosx=1 y se cumple la igualdad.
Hola:
Hace unos años yo participaba aquí pero los cambios de trabajo me alejaron por falta de tiempo
Veo que RARJ continúa y ya no veo a José R. Oro. Son los que recuerdo. También recuerdo muy activos a Sachiel, Cadillac pero no estoy segura que sea de Para Pensar.
Bueno, estas son mis respuestas:
Escribe el quinto número de esta secuencia
5 8 12 17 ¿?
La secuencia es sumando los números consecutivos a partir del 3. Sería:
5+3=8
8+4=12
12+5=17
Luego 17+6=23 y esa es la respuesta.
Si tuviera 10 años menos, tendría la mitad de los que tiene. ¿Cuántos años tiene?
La edad es la incógnita: X
y la ecuación que describe el problema sería:
X-10= X/2
2X-20= X
X= 20
Tiene 20 años
Hallar al menos cinco valores de X, en la siguiente ecuación: X2+ 2*cosX-2=0
Solo pude llegar a X=0
Construye el número 31, utilizando cada uno de los ocho dígitos del día de hoy 17102022, sin repetirlos y solamente con suma, resta y multiplicación, y sin paréntesis.
7*2*2+2*1+1-0=28+2+1-0=31-0=31
El de la secuencia de las letras no pude resolverlo, intenté asignándole un número y sin incluir la ch y la ll me quedaba
H M Q V: 8-13-18-23
Pero parece que no era así la solución pues con la diferencia de 5 que hay no me da la última letra.
Llegar a no menos de 31 palabras de ese tipo, que se utilicen popularmente para contar, medir, pesar, cuantificar…
Tomé las ya mencionadas pero bueno, utilicé las más escuchadas al cocinar y construir:
Cucharadas, taza, vaso, jarro de 5 libras, chorrito, gotas, lata, latica, cajita, pepino, pomo de libra, litro, pomito de agua chiquito, pizca, puñado, litro, tapita, cucharón, pala, cubo, saco, tanqueta, galón, rollo, metro, caja, jarrito, paquete, tacita (como la del café)
Otras más específicas son ‘’un cartón de huevos’’, un ``tubo de picadillo’’.
Sobre las cebollas para más cantidad (en unidades) es mejor coger las pequeñas. En tamaño para obtener luego unos aros grandes son mejores las grandes. Eso depende del objetivo perseguido, yo en lo personal tomaría las pequeñas.
Parte II
1.
Primero el pie forzado
Puñado de
1-Porción que se puede contener en el puño.
2-En sentido figurado o coloquialmente, como unidad vernácula de cantidad: pequeña porción de algo.
Burujón puñado
Vaso
Pocotón
Cucharada
Cucharada sopera
Pizca
Cucharadita
Cucharón
Montón
Bocado
Guión
Pizquita
Sorbo
Cuarta
Palmo
Bocanada
Taza de té
Legua
Copa
Trazo
Klick
Click
Gota
Pellizco
Poquito
Prueba
Buche
Libra de manteca
Libra de clavos
Barril
Data
Mazo
Chorrito...
I.c. 2x2x7+2x1+1+0+0=4x7+2+1=28+3=31
I.d. Si el valor hipotético es la mitad, entonces el valor actual es el doble.
Por lo tanto, 10*2=20, tiene 20 años.
Parte I
e)
Ahora x_5:
2do método de solución: (reeditado)
Método gráfico
La estrategia puede variar, la mía sería:
Graficar f(x)= cosx/(1-0.5x^2) y
Donde f(x) coincida con la horizontal f(x)=1, ahí debería tener una solución de la ecuación del acertijo. Tal es el caso cuando x=0.
Parte II
2.De permitírmelo el vendedor, yo escojería primero las mayores e iría reduciendo el tamaño de las seleccionadas hasta llenar lo más posible el vaso.
Si los vasos ya vinieran preparados, no sabría que decir... mucha intuición y tener en cuenta el uso que les voy a dar.
A menor cebolla, menor llanto, pero cuando se trata de un puñado, el tamaño de las cebollas es irrelevante. La explicación está en la ciencia, específicamente la Ley de los bulbos ideales. B es la constante de los bulbos:
B=PV/nT
Precio($45) y Volumen(vaso) están fijados. El número de bulbos n y el tamaño T varían, pero n es función de T de tal forma que el producto nT se mantiene constante (geometría, mano del vendedor y otros factores).
El número N de gotas de llanto viene dado por la relación entre B y la constante de Bulbomann, b:
N=B/b=constante/constante=constante
Parte I
e)
x_5:
2do método de solución:
Método gráfico
La estrategia puede variar, la mía sería:
Graficar f(x)= cosx/(1-0.5x^2) y
Donde f(x) coincida con la horizontal f(x)=1, ahí debería tener una solución de la ecuación del acertijo. Tal es el caso cuando x=0.
a) 5 8 12 17 23
b) H M Q V Z
c) 2x2x1x7+2-1+0+0=31
d) Tiene 20 años
X-10= X/2 x-X/2=10 multiplico por 2 2x-x=20 x=20
Los valores de X pueden ser 1 y -1 3 y -3 5 y -5 bueno y por ahí para allá no recuerdo si eran los Kpi famosos
Cuando x es igual a esos múltiplos de π, cosx=-1.
¿Qué pasaría con x^2 y -2?
Para el ejercicio 1.a
La relación de recurrencia para la sucesión
Sn : 5 8 12 17 ...
n: 1 2 3 4 ...
es:
Sn=( n^2+3*n)/2 + 3
Por lo tanto para n=5
S5=(25+15)/2 +3= 23
e)
I. x^2-2+ 2cos(x)=0
No hablaré de la serie de Maclaurin, porque ya fue mencionada en un comentario anterior, daré otra alternativa usando la aproximación de Bhaskará para la función sen (x)
sen(x)≈16(π-x)x/(5π^2-4(π-x)x)
para 0≤x≤π
la que nos lleva a:
cos(x)≈4(π^2-4x^2)/(4π^2+x^2) ll.
para -π/2≤x≤π/2
ahora para la ecuación I
tenemos que:
-2≤x^2-2≤2 lo que nos lleva a que en
-π/2≤x≤π/2 se encuentra la solución de la ecuación I
si usamos la aproximación ll en l para el coseno, llegamos a que:
x1=0
x2=√(10-π^2)
x3=-√(10-π^2)
estas soluciones hay q comprobarlas ya q usamos una aproximación para la función coseno
y como vemos la única solución es x1=0
Rectifico, la aproximación para el cos (x) usando la aproximación de Bhaskara para el sen(x) es
cos(x)≈(π^2-4x^2)/(π^2+x^2) ll.
para -π/2≤x≤π/2
No obstante quiero añadir algo, por el resto de Lagrange para la aproximación de la serie de Maclaurin truncada en un polinimio de grado 2:
cosx-(2-x^2)=2sen(c)x^3/3! x pertenece a un intervalo donde el coseno es diferenciable (en este caso los lR)
donde c pertenece a un intervalo abierto de extremos x y 0, deja demostrado que solo en x =0, x^2-2+2cosx=0, ya q esa expresión solo es 0 si x = 0
I.e. La ecuación tiene solución cuando 2*cosX=2-X2.
El cosX es una función con resultado entre -1 y 1.
Y gráficamente se puede representar la función cosX en el sistema cartesiano para interceptar con la fun X^2, multiplicada por el factor -1/2, reflejada al eje negativo del eje de las ordenadas y desplazada en 1 hacia arriba del eje de las ordenadas.
Por ejemplo en el valor central, X=0, cos0=1 y 0^2=0; entonces 2*cos0=2-0^2, 2*1=2-0, 2=2
No obstante quiero añadir algo, por el resto de Lagrange para la aproximación de la serie de Maclaurin truncada en un polinimio de grado 2:
cosx-(2-x^2)=2sen(c)x^3/3! x pertenece a un intervalo donde el coseno es diferenciable (en este caso los lR)
donde c pertenece a un intervalo abierto de extremos x y 0, deja demostrado que solo en x =0, x^2-2+2cosx=0, ya q esa expresión solo es 0 si x = 0
Rectifico el 2 que me faltó,la expresión correcta para el resto de la serie de Maclaurin truncada en un polinomio de grado 2 y el resto de Lagrange es:
2*cosx-(2-x^2)=2sen(c)x^3/3!
Parte I
e)
1.Se demuestra que f(x)=x^2+2cosx-2 tiene un extremo en (0;0).
2.Se demuestra que dicho extremo es el mínimo absoluto de f(x).
3.Conclusión: x=0 es la única solución de la ecuación x^2+2cosx-2=0.