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Matematizando con números felices y el colmo de la felicidad

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Para pensar.

La felicidad es un objetivo de todo ser humano, aunque no siempre seamos felices con las mismas cosas. Tal vez no sepas que hay números felices y otros tristes, vamos a compartir  la felicidad de trabajar con ellos. Y para seguir en la cuerda de la felicidad intentemos colmarla con creatividad. No olvidemos que un día como hoy hace 60 años, Fidel fundó los CDR.

I

Número feliz: todo número natural que cumple que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1.

Los números que al finalizar el proceso, no terminan con 1, son conocidos  como números infelices (o tristes). Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz.

Por ejemplo 7 es un número primo feliz, ya que es primo y:

72 = 49

42 + 92 = 97

92 + 72 = 130

12 + 32 + 02 = 10

12 + 02 = 1.

Problemas

  1. Encuentre otro número feliz de un solo dígito, diferente de 1.
  2. Encuentre un número feliz y además perfecto, que tenga dos dígitos.
  3. Si 129 es un número feliz, ¿cuántos números felices de tres dígitos derivados de este podemos formar? ¿Cuáles son?
  4. En una reunión se encontraron tres números felices de dos dígitos, uno de ellos primo feliz. El número primo feliz, le dijo al feliz mayor: “si te sumas con el otro feliz dará como resultado mi número multiplicado por dos, menos dos”. ¿Cuáles son esos tres números?

Si fundamentas tus respuestas, mucho mejor.

II

El colmo de la felicidad es _____________________________________________

Intenta escribir al menos dos de tu propia creación. Uno en positivo; y el otro en sentido negativo, como habitualmente se usan los colmos. Puedes referirte a la felicidad y sus circunstancias.

Voy con los de mi inspiración, como suerte de semilla en la gestión del conocimiento.

- El colmo de la felicitad es que toque a tu puerta cuando no estés, y no deje recado para que vayas tras ella.

+ El colmo de la felicidad que no se conforme jamás, en dejar a un solo ser humano sin felicidad, en el mundo.

Recuerden que:

“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA

¡Manos y mente a la obra!

Se han publicado 32 comentarios



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  • Marvin dijo:

    1. No hay
    2. 28 (que es además el único número perfecto de 2 dígitos)
    3. Uno solo. El 100

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Revisa el 3 mi buen amigo Marvin.

  • Marvin dijo:

    4. 28, 31 y 32

    ¿Cómo lo hice?
    Con un poquito de ayuda de excel.

    Cada número se divide en sus dígitos. Cada dígito se eleva a su potencia. Su suman los dígitos. Para el nuevo número se repite el proceso. Si al quedar un dígito da 7 o 1, es SÍ, si no, es NO.

    Para el inciso 4 acoté el universo de primos posibles, y probé las variantes con los combinantes que podían cumplir.

    • Marvin dijo:

      De la felicidad, en lugar de un colmo, voy a compartir una reflexión que hace años leí y no deja de encantarme:
      "La felicidad es un paradigma; nadie te la da, nadie te la quita. Es decisión, no condición. Eres tú en acción."

  • Patricia dijo:

    - El colmo de la felicidad es no saber que eras feliz hasta un día en que miras atrás y te das cuenta que lo fuiste
    + El colmo de la felicidad es que para serlo no necesitamos mucho, tan sólo es querer serlo.

  • Jose R Oro dijo:

    Muy interesante entrega de Para Pensar, esta columna que nos motiva semanalmente de manera muy profunda. Gracias al destacado Prof. Néstor del Prado Arza por sacarnos de la rutina diaria.

    1. Creo que solo es el 7 entre los números de un solo digito, que fue el usado en el ejemplo.
    2. El gran matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por 2 elevado a n – 1 por (2ⁿ - 1)
    n = 3: 22 × (23 – 1) = 28. Entonces si ese es el único número perfecto de dos dígitos, siguiendo la formula de Euclides, queda por demostrar que es también feliz: 2² + 8² = 68, 6² + 8² = 100 y 1² + 0² + 0² = 1
    3. Si 129 es un número feliz, ¿cuántos números felices de tres dígitos derivados de este podemos formar? ¿Cuáles son? 1² + 2² + 9² = 86, 8² + 6² = 100. Creo que este es el único que se puede formar.
    4. En una reunión se encontraron tres números felices de dos dígitos, uno de ellos primo feliz. El número primo feliz, le dijo al feliz mayor: “si te sumas con el otro feliz dará como resultado mi número multiplicado por dos, menos dos”. ¿Cuáles son esos tres números? El numero feliz perfecto es 79 y los otros dos son 70 y 86.
    (79 x 2) – 2 = 156 y 156 = 70 +86

    Positivo. El colmo de la Felicidad es que se acabe la Pandemia en este instante.
    Negativo. El colmo de la Felicidad, es que, aunque la vemos a diario, nunca la podamos alcanzar por completo.

  • Rodo dijo:

    Esto lo hice muy rápido, tal vez por la tarde conteste los demás problemas pero solo les dire que en el inciso 1 NO EXISTE otro número feliz de un solo dígito, diferente de 1 y claro el ejemplo que ud plantea con el 7, los demás número de una sola cifra al realizar el proceso reiteradament se convierten en todos de una forma u otra en 42, que sería despues de varios cálculos 16 que es la 3ra derivación del 2, volviendose ete proceso en un ciclo donde no dejan de faltar en todos los casos las combinaciones de digitos 8y5, 4y2, 6y1, 3y7.

  • Fernan dijo:

    Respuestas:
    I
    1_ No existe, de un sólo dígito son el 1 y el 7, el próximo es 10.

    2_ El 28. Ya habíamos trabajado en esta sección con los números perfectos y el único de 2 cifras es el 28, por ende sólo faltaba comprobar si era feliz.
    28=2^2+8^2=4+64=68
    68=6^2+8^2=36+64=100
    100=1^2+0^2+0^2=1

    3_ Si los números derivados se obtienen por transposición de dígitos, se pueden formar 5 números más, de tres dígitos y por supuesto todos son números felices por conmutatividad.
    129 – feliz
    192 – feliz
    219 – feliz
    912 – feliz
    291 – feliz
    921 – feliz

    4_ Los felices FF y el número primo y feliz PF, todos de dos dígitos.
    Si FF + FF = PF*2-2
    Encontré dos triadas que cumplen la condición:
    FF: 28 y 32 y PF: 31
    FF: 70 y 86 y PF: 79

    28 + 32 = 31 * 2 - 2
    60 = 60 y

    70 + 86 = 79 * 2 – 2
    156 = 156

  • @islamiento dijo:

    - 1 y 7 son los unicos numeros felices de un digito
    - 28
    - 129 -> 1 + 4 + 81 = 86 -> 64 + 36 = 100 -> 1 + 0+ 0 = 1 (100 es numero feliz)
    - los numeros son 28, 31 (primo feliz) y 32: (31 * 2 - 2 = 60 = 28 + 32)
    -------------------------------
    - El colmo de la felicidad es que aparezca vestida de infelicidad
    - El colmo de la felicidad es que todo el dinero del mundo no la compre y como pagos, no se acepten sonrisas

  • Sofía RF dijo:

    I
    1. No existe
    2. El requete-feliz 28: 2*2 + 8*868; 6*6+8*8100; 1*1+0*0+0*01
    3. Podemos formar otros cinco números felices de tres dígitos: 192, 219, 291, 912 y 921.
    4. Se encontraron los felices números: 70, 79 (primo feliz) y 86; 86+70156 y 79*2 -2156
    II
    -Tirarte a morir porque se te acabó la infelicidad.
    +Ser feliz y no sentirlo.
    Saludos y felicidades a todos los cederistas, que este perfecto 28 sí es feliz a pesar de la covid.

  • Maikel dijo:

    1. No existe otro número menor que 10 y distinto de 1 y 7 que sea un número feliz.
    2. 49
    3. Se pueden formar derivado del 129, 5 números mas que son feliz, los mismos son: 192, 219, 291, 912 y 921.
    4. Los números son 28, 31 y 32. Si sumamos 28 + 32 = 2*31 - 2. Haciendo un poco de análisis. Los números primos que son felices y que tienen dos dígitos son:

    Primos Felices de dos dígitos
    13,19,23,31,79,91,97

    Otros Felices No Primos de dígitos
    10,28,32,44,49,68,70,82,86,94

    Haciendo un tanteo la primera terna que cumple con las condiciones planteadas es 28,31,32.

    Saludos!! Espero haber acertado.

    • Maikel dijo:

      Tuve un error al responder la segunda pregunta, confundí perfecto con cuadrado perfecto, sorry y tienen razón algunos que han dicho 28.

  • Fernan dijo:

    II
    El colmo de la felicidad es:

    (+) Ser feliz todo el tiempo…
    (+) Que le asignen un escaque en la Libreta de Consumo.

    (-) Vivir toda una vida y no conocerla nunca.
    (-) Tener toda la que se desee y no compartirla por egoísmo.

  • Lloraima Gueits Pedrera dijo:

    Maravilloso entretenimiento, poner nuestra mente a trabajar, fuerza Cuba, ¡Venceremos!

  • MOISES RAMON QUINTANA ALVAREZ dijo:

    Néstor. ¿Y todos los lectores saben que es un número perfecto?. Es que en el texto no se especifica qué es un número perfecto. Saludos. Gracias

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Hola amigo ya muchos acertijandos saben lo que es un número perfecto, y por otra parte aprendieron a investigar. Así somos en Para Pensar de Cubadebate, que hace un tiempo se honra con tu participación.

  • Eladio dijo:

    Hola, del Prado

    Le envié un e-mail.
    Saludos

  • Fernan dijo:

    Su comentario ha sido recibido.
    Fernan dijo:

    II
    El colmo de la felicidad es:

    (+) Ser feliz todo el tiempo…
    (+) Que le asignen un escaque en la Libreta de Consumo.

    (-) Vivir toda una vida y no conocerla nunca.
    (-) Tener toda la que se desee y no compartirla por egoísmo.

  • ... dijo:

    I.1. Tomemos el ejemplo del número natural 4.
    4*4= 16/ 1*1+6*6=37/ 3*3+7*7=58/ 5*5+8*8=89/ 8*8+9*9=145/ 1*1+4*4+5*5=42/ 4*4+2*2=20/ 2*2+0*0=4.
    Entonces no es un número feliz.Y los otros números naturales de un dígito: 2, 3, 5, 6, 8, 9 resultan en 4, siendo todos tristes.

    I.2. Para poder identificar la respuesta me referí al concepto del número perfecto (28 es divisible entre 1, 2, 4, 7, 14 y su suma totaliza el número), que es un rango muy reducido para los números de dos digitos (sólo este, antes está el 6 y luego el 496), y al desarrollarlo (2*2+8*8=68/ 6*6+8*8=100/ 1*1+0*0+0*0=1) resultó un número perfecto feliz.

    I.3. El orden de los factores no altera la suma de sus productos. 192, 291, 219, 912, 921. Intenté quitar un número y repetir cualquiera de los dos restantes, pero resultan infelices, aún repitiendo el mismo número tres veces.

    I.4. Desarrollé los primos felices, y con muchos descartes (entre ellos los otros dos primos felices de dos dígitos, 19 y 31), seguiendo la fómula del arcetijo descubrí en la reunión a los felices70 y 86 acompañando al primo feliz 79.

  • Leandro dijo:

    El colmo de la felicidad es no intentar hacer feliz a los infelices.
    El colmo de la felicidad es llorar de felicidad.
    El colmo de la felicidad está en empujar a los felices a la infelicidad.
    El colmo de la felicidad es que te diga adiós para siempre.
    El colmo de la felicidad está en ambicionar la felicidad ajena.
    El colmo de la felicidad está en poner la tuya en manos ajenas.
    El colmo de la felicidad sería que fuera totalmente plena para todos.
    El colmo de la felicidad está en el amor.
    Haciendo el bien alcanzarás el colmo de la felicidad.
    El colmo de la felicidad está en el trabajo creador.
    El colmo de la felicidad lo alcanzaremos el día en que Soberana-1 esté al alcance de todo nuestro pueblo y de otros pueblos del mundo.
    El colmo de la felicidad lo alcanzaremos el día en que el Bloqueo Económico, Comercial y Financiero contra Cuba quede como un mal recuerdo del pasado.
    El colmo de la felicidad está en compartir lo que tenemos.

    • Jose R Oro dijo:

      Tremendo Leandro!!!

      • Leandro dijo:

        Gracias estimado Oro, valoro mucho su apreciación.

  • MarI a Teresa Castro dijo:

    el colmo de la felicidad:
    1-que llegue el día del cobro de la jubilación y me paguen doble
    2-Que me despierte cuando me estén pagando
    Y me encuentre con mi perrito arriba de la cama

  • Cuba.devate dijo:

    Este año nuestra mayor organización de masa más grande no se va poder celebrar como años anteriores la mejor forma este a la de aserlo es quedándose en casa para poder salir de esta pandemia

  • pedro dijo:

    El colmo de una persona infeliz es vivir en Felicidad de Yateras y llamarse Felicita

  • Alvy Singer dijo:

    Hola a todos

    1.Los únicos números de 1 cifra q son felices son el 1 y el 7.Hay varias formas d demostrar esto.
    Antes definamos la función invariante digital perfecta en el sistema decimal con potencia 2 como cada iteración q se hace con el número para saber si es feliz.
    Esta función la vamos a denotar como

    G r (A), donde A es un número entero positivo y
    r es el número d la iteración de la función inavariante digital perfecta

    Es sabido como propiedad d los números felices q

    Gr(A) =m, donde m y r es un entero positivo.O sea va a llegar un momento en las iteraciones donde la función Gr(A) no van a superar el número 162 q es un número d 3 cifras.O sea si un número de 1 cifra fuera feliz su última iteración sería 100 o 10.

    Por lo tanto ya q keremos saber cuales son los números enteros positivos de una cifra q son felices el problema podría resolverse de atrás para alante y plantear las ecuaciones diofanticas siguientes:

    x^2 + y^2 + z^2 = 100

    Y la ecuación

    x^2 + y^2 + z^2 = 10 ; donde x,y y z son las cifras resultante de la penúltima iteración para saber si el número es feliz.Estas ecuaciones las voy a utilizar para obtener todos los los números felices menores q 162

    La manera d buscar estas soluciones es bastante trabajosa.

    Otra mejor opción es esta,q considero es la más práctica para buscar cuales son los números felices de 1 cifra:
    Primero enumeremos cuales son los números enteros positivos d 1 cifra

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Ya sabemos gracias al profe q 1 y 7 son números felices x eso no los demuestro.Solo keda demostrar si los restantes números d 1 cifra son o no números felices en el sistema decimal

    Antes hay q saber algunas propiedades d las iteraciones de la función invariante digital perfecta Gr(A) en el sistema decimal con base 2:
    La 1era es esta

    Las permutaciones d las cifras no cambia la felicidad del número

    La segunda es esta

    Gr(A) tiene 2 soluciones para la r-ésima iteración o es 1 (y x lo tanto el número es feliz) o cae en el bucle 4->16->37->58->89->145->42->20->4.Evidente si cae en una d las permutaciones d algún número d este bucle el número tampoco es feliz.

    La 3era

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número feliz entonces A es feliz.

    La 4ta (resultado de la anterior)

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número infeliz entonces A es infeliz.

    La 5ta

    Ningún número de 2 cifras q tnga el número 5 en algún dígito es feliz.

    Terminado lo anterior analicemos cada número de 1 cifra menos el 1 y el 7 xq ya sabemos q son felices.
    2 3 4 5 6 8 9
    Podemos descartar el 4 xq cae en el bucle x ende tampoco hay q analizar el 2 xq 2^2=4, tampoco el 5 x el teorema 5to.
    O sea solo nos keda analizar

    3 6 8 9

    El 3 tampoco hay q analizarlo xq por el teorema 3 y 4 me dice q si analizo el 9 ya es suficiente
    O sea me kedan x analizar el

    6 8 9
    Para 6
    6->36->45, pero vemos q 45 esde 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 6 es un número infeliz

    Para 8
    8->64-> 52 pero vemos q 52 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 8 es un número infeliz

    Para 9
    9->81-> 65 pero vemos q 65 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 9 es un número infeliz

    Lqqd, solo hay 2 números de una cifra felices el 1 y el 7.

    Ejercicio 2

    Como los números perfectos tienen una densidad aritmética mucho menor q los números felices.Sería mejor buscar los números perfectos de 2 cifras y ver si son felices

    La fórmula para los números perfectos es

    P(n)=2^(n-1)(2^n-1)

    donde 2^n-1 son números primos.Ahora keremos saber si hay números perfectos de 2 cifras para eso hacemos los siguiente.

    Cant de cifras=[LogP(n)] + 1=2

    , entiéndase por Log logaritomo en base 10 o logaritmo vulgar y la función [ ] como la función parte entera.Esta es la ecuación para saber si la expresión P(n) da un un número perfecto d 2 cifras.Haciendo un cambio d base en el logaritmo a base 2 y despejando nos kedan las siguientes inecuaciones(no pongo los pasos intermedios x razones obvias)

    2^(7.67-n) >= 2^n-1>= 2^(4.33 - n)

    De estas inecuaciones obtenemos q

    Trabajamos 1ero con
    2^n-1>=2^(4.33-n) como 2^n siempre es positivo dividimos los 2 miembros de la desigualdad entre 2^n

    1-(1/2)^n>= 2^(4.33-2n),pero 1-(1/2)^n siempre es menor q 1 entonces
    2^(4.33-2n)2.165

    Ahora resolvemos la otra inecuación

    2^(7.67-n) >= 2^n-1
    Y obtenemos esto n2.165 y n68->100->1

    Luego el único número perfecto de 2 cifras es feliz también.Lqqd

    • Alvy Singer dijo:

      En un rato sigo con las otras...

  • Alvy Singer dijo:

    Escribo denuevo mi respuesta xq cubadebate me kita caracteres

    Hola a todos

    1. Los únicos números de 1 cifra q son felices son el 1 y el 7. Hay varias formas d demostrar esto.
    Antes definamos la función invariante digital perfecta en el sistema decimal con potencia 2 como cada iteración q se hace con el número para saber si es feliz.
    Esta función la vamos a denotar como

    G r (A), donde A es un número entero positivo y
    r es el número d la iteración de la función inavariante digital perfecta

    Es sabido como propiedad d los números felices q

    Gr(A) = m, donde m y r es un entero positivo.O sea va a llegar un momento en las iteraciones donde la función Gr(A) no van a superar el número 162 q es un número d 3 cifras.O sea si un número de 1 cifra fuera feliz su última iteración sería 100 o 10.

    Por lo tanto ya q keremos saber cuales son los números enteros positivos de una cifra q son felices el problema podría resolverse de atrás para alante y plantear las ecuaciones diofanticas siguientes:

    x^2 + y^2 + z^2 = 100

    Y la ecuación

    x^2 + y^2 + z^2 = 10 ; donde x,y y z son las cifras resultante de la penúltima iteración para saber si el número es feliz. Estas ecuaciones las voy a utilizar para obtener todos los los números felices menores q 162

    La manera d buscar estas soluciones es bastante trabajosa.

    Otra mejor opción es esta,q considero es la más práctica para buscar cuales son los números felices de 1 cifra:

    Primero enumeremos cuales son los números enteros positivos d 1 cifra

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Ya sabemos gracias al profe q 1 y 7 son números felices x eso no los demuestro.Solo keda demostrar si los restantes números d 1 cifra son o no números felices en el sistema decimal

    Antes hay q saber algunas propiedades d las iteraciones de la función invariante digital perfecta Gr(A) en el sistema decimal con base 2:
    La 1era es esta

    Las permutaciones d las cifras no cambia la felicidad del número

    La segunda es esta

    Gr(A) tiene 2 soluciones para la r-ésima iteración o es 1 (y x lo tanto el número es feliz) o cae en el bucle 4->16->37->58->89->145->42->20->4.Evidente si cae en una d las permutaciones d algún número d este bucle el número tampoco es feliz.

    La 3era

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número feliz entonces A es feliz.

    La 4ta (resultado de la anterior)

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número infeliz entonces A es infeliz.

    La 5ta

    Ningún número de 2 cifras q tnga el número 5 en algún dígito es feliz.

    Terminado lo anterior analicemos cada número de 1 cifra menos el 1 y el 7 xq ya sabemos q son felices.

    2 3 4 5 6 8 9

    Podemos descartar el 4 xq cae en el bucle x ende tampoco hay q analizar el 2 xq 2^2 = 4, tampoco el 5 x el teorema 5to.
    O sea solo nos keda analizar

    3 6 8 9

    El 3 tampoco hay q analizarlo xq por el teorema 3 y 4 me dice q si analizo el 9 ya es suficiente
    O sea me kedan x analizar el

    6 8 9
    Para 6
    6 -> 36 -> 45, pero vemos q 45 esde 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 6 es un número infeliz

    Para 8
    8 -> 64 -> 52 pero vemos q 52 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 8 es un número infeliz

    Para 9
    9 -> 81 -> 65 pero vemos q 65 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 9 es un número infeliz

    Lqqd, solo hay 2 números de una cifra felices el 1 y el 7.

    Ejercicio 2

    Como los números perfectos tienen una densidad aritmética mucho menor q los números felices. Sería mejor buscar los números perfectos de 2 cifras y ver si son felices

    La fórmula para los números perfectos es

    P(n) = 2^(n-1)(2^n-1)

    donde 2^n-1 son números primos. Ahora keremos saber si hay números perfectos de 2 cifras para eso hacemos los siguiente.

    Cant de cifras = [LogP(n)] + 1= 2

    , entiéndase por Log logaritomo en base 10 o logaritmo vulgar y la función [ ] como la función parte entera. Esta es la ecuación para saber si la expresión P(n) da un un número perfecto d 2 cifras. Haciendo un cambio d base en el logaritmo a base 2 y despejando nos kedan las siguientes inecuaciones(no pongo los pasos intermedios x razones obvias)

    2^(7.67-n) > = 2^n-1 > = 2^(4.33 - n)

    De estas inecuaciones obtenemos q

    Trabajamos 1ero con
    2^n-1>=2^(4.33-n) como 2^n siempre es positivo dividimos los 2 miembros de la desigualdad entre 2^n

    1-(1/2)^n >= 2^(4.33-2n),pero 1-(1/2)^n siempre es menor q 1 entonces
    2^(4.33-2n) 2.165

    Ahora resolvemos la otra inecuación

    2^(7.67-n) >= 2^n-1
    Y obtenemos esto n 2.165 y n 68->100->1

    Luego el único número perfecto de 2 cifras es feliz también.Lqqd

  • Alvy Singer dijo:

    Hola a todos

    1. Los únicos números de 1 cifra q son felices son el 1 y el 7. Hay varias formas d demostrar esto.
    Antes definamos la función invariante digital perfecta en el sistema decimal con potencia 2 como cada iteración q se hace con el número para saber si es feliz.
    Esta función la vamos a denotar como

    G r (A), donde A es un número entero positivo y
    r es el número d la iteración de la función inavariante digital perfecta

    Es sabido como propiedad d los números felices q

    Gr(A) = m, donde m y r es un entero positivo.O sea va a llegar un momento en las iteraciones donde la función Gr(A) no van a superar el número 162 q es un número d 3 cifras.O sea si un número de 1 cifra fuera feliz su última iteración sería 100 o 10.

    Por lo tanto ya q keremos saber cuales son los números enteros positivos de una cifra q son felices el problema podría resolverse de atrás para alante y plantear las ecuaciones diofanticas siguientes:

    x^2 + y^2 + z^2 = 100

    Y la ecuación

    x^2 + y^2 + z^2 = 10 ; donde x,y y z son las cifras resultante de la penúltima iteración para saber si el número es feliz. Estas ecuaciones las voy a utilizar para obtener todos los los números felices menores q 162

    La manera d buscar estas soluciones es bastante trabajosa.

    Otra mejor opción es esta,q considero es la más práctica para buscar cuales son los números felices de 1 cifra:

    Primero enumeremos cuales son los números enteros positivos d 1 cifra

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Ya sabemos gracias al profe q 1 y 7 son números felices x eso no los demuestro.Solo keda demostrar si los restantes números d 1 cifra son o no números felices en el sistema decimal

    Antes hay q saber algunas propiedades d las iteraciones de la función invariante digital perfecta Gr(A) en el sistema decimal con base 2:
    La 1era es esta

    Las permutaciones d las cifras no cambia la felicidad del número

    La segunda es esta

    Gr(A) tiene 2 soluciones para la r-ésima iteración o es 1 (y x lo tanto el número es feliz) o cae en el bucle 4->16->37->58->89->145->42->20->4.Evidente si cae en una d las permutaciones d algún número d este bucle el número tampoco es feliz.

    La 3era

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número feliz entonces A es feliz.

    La 4ta (resultado de la anterior)

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número infeliz entonces A es infeliz.

    La 5ta

    Ningún número de 2 cifras q tnga el número 5 en algún dígito es feliz.

    Terminado lo anterior analicemos cada número de 1 cifra menos el 1 y el 7 xq ya sabemos q son felices.

    2 3 4 5 6 8 9

    Podemos descartar el 4 xq cae en el bucle x ende tampoco hay q analizar el 2 xq 2^2 = 4, tampoco el 5 x el teorema 5to.
    O sea solo nos keda analizar

    3 6 8 9

    El 3 tampoco hay q analizarlo xq por el teorema 3 y 4 me dice q si analizo el 9 ya es suficiente
    O sea me kedan x analizar el

    6 8 9
    Para 6
    6 -> 36 -> 45, pero vemos q 45 esde 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 6 es un número infeliz

    Para 8
    8 -> 64 -> 52 pero vemos q 52 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 8 es un número infeliz

    Para 9
    9 -> 81 -> 65 pero vemos q 65 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 9 es un número infeliz

    Lqqd, solo hay 2 números de una cifra felices el 1 y el 7.

    Ejercicio 2

    Como los números perfectos tienen una densidad aritmética mucho menor q los números felices. Sería mejor buscar los números perfectos de 2 cifras y ver si son felices

    La fórmula para los números perfectos es

    P(n) = 2^(n-1)(2^n-1)

    donde 2^n-1 son números primos. Ahora keremos saber si hay números perfectos de 2 cifras para eso hacemos los siguiente.

    Cant de cifras = [LogP(n)] + 1= 2

    , entiéndase por Log logaritomo en base 10 o logaritmo vulgar y la función [ ] como la función parte entera. Esta es la ecuación para saber si la expresión P(n) da un un número perfecto d 2 cifras. Haciendo un cambio d base en el logaritmo a base 2 y despejando nos kedan las siguientes inecuaciones(no pongo los pasos intermedios x razones obvias)

    2^(7.67-n) > = 2^n-1 > = 2^(4.33 - n)

    De estas inecuaciones obtenemos q

    Trabajamos 1ero con
    2^n-1>=2^(4.33-n) como 2^n siempre es positivo dividimos los 2 miembros de la desigualdad entre 2^n

    1-(1/2)^n >= 2^(4.33-2n),pero 1-(1/2)^n siempre es menor q 1 entonces

    2^(4.33-2n) 2.165

    Ahora resolvemos la otra inecuación

    2^(7.67-n) >= 2^n-1

    Y obtenemos esto n 2.165 y

    n 68->100->1

    Luego el único número perfecto de 2 cifras es feliz también.Lqqd

  • Alvy Singer dijo:

    Hola a todos

    1. Los únicos números de 1 cifra q son felices son el 1 y el 7. Hay varias formas d demostrar esto.
    Antes definamos la función invariante digital perfecta en el sistema decimal con potencia 2 como cada iteración q se hace con el número para saber si es feliz.
    Esta función la vamos a denotar como

    G r (A), donde A es un número entero positivo y
    r es el número d la iteración de la función inavariante digital perfecta

    Es sabido como propiedad d los números felices q

    Gr(A) = m, donde m y r es un entero positivo.O sea va a llegar un momento en las iteraciones donde la función Gr(A) no van a superar el número 162 q es un número d 3 cifras.O sea si un número de 1 cifra fuera feliz su última iteración sería 100 o 10.

    Por lo tanto ya q keremos saber cuales son los números enteros positivos de una cifra q son felices el problema podría resolverse de atrás para alante y plantear las ecuaciones diofanticas siguientes:

    x^2 + y^2 + z^2 = 100

    Y la ecuación

    x^2 + y^2 + z^2 = 10 ; donde x,y y z son las cifras resultante de la penúltima iteración para saber si el número es feliz. Estas ecuaciones las voy a utilizar para obtener todos los los números felices menores q 162

    La manera d buscar estas soluciones es bastante trabajosa.

    Otra mejor opción es esta,q considero es la más práctica para buscar cuales son los números felices de 1 cifra:

    Primero enumeremos cuales son los números enteros positivos d 1 cifra

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Ya sabemos gracias al profe q 1 y 7 son números felices x eso no los demuestro. Solo keda demostrar si los restantes números d 1 cifra son o no números felices en el sistema decimal

    Antes hay q saber algunas propiedades d las iteraciones de la función invariante digital perfecta Gr(A) en el sistema decimal con base 2:
    La 1era es esta

    Las permutaciones d las cifras no cambia la felicidad del número

    La segunda es esta

    Gr(A) tiene 2 soluciones para la r-ésima iteración o es 1 (y x lo tanto el número es feliz) o cae en el bucle 4->16->37->58->89->145->42->20->4. Evidente si cae en una d las permutaciones d algún número d este bucle el número tampoco es feliz.

    La 3era

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número feliz entonces A es feliz.

    La 4ta (resultado de la anterior)

    Si una iteración de la función invariante digital perfecta Gr(A) decimal de potencia 2 da como resultado un número infeliz entonces A es infeliz.

    La 5ta

    Ningún número de 2 cifras q tnga el número 5 en algún dígito es feliz.

    Terminado lo anterior analicemos cada número de 1 cifra menos el 1 y el 7 xq ya sabemos q son felices.

    2 3 4 5 6 8 9

    Podemos descartar el 4 xq cae en el bucle x ende tampoco hay q analizar el 2 xq 2^2 = 4, tampoco el 5 x el teorema 5to.
    O sea solo nos keda analizar

    3 6 8 9

    El 3 tampoco hay q analizarlo xq por el teorema 3 y 4 me dice q si analizo el 9 ya es suficiente
    O sea me kedan x analizar el

    6 8 9
    Para 6
    6 -> 36 -> 45, pero vemos q 45 esde 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 6 es un número infeliz

    Para 8
    8 -> 64 -> 52 pero vemos q 52 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 8 es un número infeliz

    Para 9
    9 -> 81 -> 65 pero vemos q 65 es de 2 cifras y tiene un dígito igual a 5...luego por el teorema 5to 9 es un número infeliz

    Lqqd, solo hay 2 números de una cifra felices el 1 y el 7.

    Ejercicio 2

    Como los números perfectos tienen una densidad aritmética mucho menor q los números felices. Sería mejor buscar los números perfectos de 2 cifras y ver si son felices

    La fórmula para los números perfectos es

    P(n) = 2^(n-1)(2^n-1)

    donde 2^n-1 son números primos. Ahora keremos saber si hay números perfectos de 2 cifras para eso hacemos los siguiente.

    Cant de cifras = [LogP(n)] + 1= 2

    , entiéndase por Log logaritomo en base 10 o logaritmo vulgar y la función [ ] como la función parte entera. Esta es la ecuación para saber si la expresión P(n) da un un número perfecto d 2 cifras. Haciendo un cambio d base en el logaritmo a base 2 y despejando nos kedan las siguientes inecuaciones(no pongo los pasos intermedios x razones obvias)

    2^(7.67-n) > = 2^n-1 > = 2^(4.33 - n)

    De estas inecuaciones obtenemos q

    Trabajamos 1ero con
    2^n-1>=2^(4.33-n) como 2^n siempre es positivo dividimos los 2 miembros de la desigualdad entre 2^n

    1-(1/2)^n >= 2^(4.33-2n),pero 1-(1/2)^n siempre es menor q 1 entonces

    2^(4.33-2n) menor q 1

    Donde obtenemos n mayor q 2.165

    Ahora resolvemos la otra inecuación

    2^(7.67-n) >= 2^n-1

    Y obtenemos esto n menor 3.835

    Luego n estará en el intervalo

    n mayor q 2.165 y

    n menor q 3.835,

    pero como n es entero positivo la única q podría satisfacer la inecuación es si n fuera igual a 3.

    Primero vemos si 2^n-1 es primo lo cual es cierto ya q es el 7. Luego existe solo un número perfecto de 2 cifras y sustituyendo 3 en P (n) obtenemos esto

    2^2(2^3-1) = 28,

    ese sería el número perfecto de 2 cifras q habría q ver si es feliz

    Para eso procedemos a aplicar iteraciones de la función invariante digital perfecta en base decimal de potencia 2

    28->68->100->1

    Luego el único número perfecto de 2 cifras es feliz también. Lqqd

  • Alvy Singer dijo:

    Ejercicio 3

    akí hay muchas aristas x donde cortar en dependencia de q se entienda del problema...mas tarde daré otras posibles interpretaciones a la vista sería aplicar el teorema número 1 q plantee q la felidad del número no cambia con las permutaciones de las cifras
    Si 129 es feliz y se trata d hallar las permutaciones posibles tomando números de 3 cifras sería hallar

    el factorial de 3= 6 osea hay 5 permutaciones de los dígitos 1 2 y 9 además de 129 tenemos

    192
    219
    291
    912
    921
    Ahora eso sería d lo q se ve evidente en la pregunta...mas tarde daré otra interpretación.

    Ejercicio 4

    Para hacer este ejercicio anoto primero todos los números felices de 2 dígitos q son estos
    10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97

    Los cuales voy a separar los primos q son

    13,19,23,31,79,97

    Si plateamos la ecuación del problema tenemos esto

    a + b = 2*p - 2

    Donde a y b son números felices y p es un primo feliz si veo la cant de primos sabre q obtendré 6 ecuaciones,cada una con soluciones o no para el conjunto d los números felices

    1. para p =13

    a + b = 24

    2. para p =19

    a + b = 36

    3. para p =23

    a + b = 44

    4. para p =31

    a + b = 60

    5. para p =79

    a + b = 156

    6. para p =97

    a + b = 192

    Vamos a empezar resolviendo cada una d las ecuaciones pero sin olvidar q los números a y b son números de 2 cifras entre 10 y 97 incluyendo los extremos del intervalo.
    Pasemos a resolver la 1era ecuación

    1. para p =13

    a + b = 24

    Sabemos q
    b es menor igual q 97
    Luego

    a + b =24,lo cual siempre es cierto xq a>=10, ahora también sabemos q a y b se permutan y no va afectar el resultado xq la suma es conmutativa. Entonces tenemos 2 intervalos para a y para b para no repetir soluciones. Esos intervalos para esta ecuación son

    12 <= a <=14 con 10 <= b <=12, con eso garantizamos no repetir soluciones innnecesarias.

    El paso anterior es crucial pues reduce grandemente el itervalo en el q se van a buscar las respuestas y evita cálculos innecesarios. Explicaré el procedimiento par la 1era ecuación, pero eso mismo hay q hacer con las demás ecuaciones

    Para 1. Tengo la ecuación

    1. para p =13

    a + b = 24, donde 12 <= a <=14 con 10 <= b <=12, pero además a y b son números felices, puedo elegir con cuál d los intervalos voy a trabajar con el de a o con el de b,siempre trabajaré con el q menos números felices tenga.

    En este caso los dos tienen la misma cantidad de números felices y es 1. A conveniencia voy a trabajar con 10 <= b <=12, q el número feliz q hay en ese intervalo es el 10

    Sustituyo b=10 en la 1era ecuación para p= 13, para obtener el valor de a pero a también tiene q ser un número feliz

    10 + a = 24, luego a = 14 pero 14 no es un número feliz luego para la ecuación no.1 no hay soluciones

    Ahora pasamos a la otra ecuación

    2. para p =19

    a + b = 36, ahora 18 <= a <=26 con 10 <= b <=18 (repito estos intervalos es para no repetir soluciones por la propiedad conmutativa d la suma),además ,buscamos cuál d los intervalos tiene menos números felices,akí pasa lo mismo hay la misma cantidad,entonces escojo cualkiera a conveniencia escogí 18 <= a <=26 en ese intervalo

    a podía ser igual a 10 o a igual a 13

    Para a= 10 obtenemos b=26 pero no es un número feliz,x lo cual desechamos esa solución
    Ahora para a= 13 obtenemos b= 23 el cual si es un número feliz.

    Esta ecuación

    2. para p =19

    a + b = 36 tiene solución en el conjunto d los números felices en a=13,b =23 y p = 19

    Pasamos a la 3era ecuación

    3. para p =23

    a + b = 44

    Con 22 <= a <=34 con 10 <= b <=22, escojo el intervalo de b donde hay solo 3 números felices
    b puede tomar 10, 13 o 19

    Para b=10, la ecuación 3 nos dá un número infeliz,x ende no sirve, para b=13 a = 31 el cual si es un número feliz

    Una solucion para 3 sería a= 31,b=13 y p= 23.
    Nos keda todavía probar con b = 19 haber si hay soluciones y vemos q no xq nos dá a= 25 y no es un número feliz

    Para la ecuación 4

    4. para p =31

    a + b = 60 donde,30 <= a <=50 con 10 <= b <= 30,el intervalo q menos números felices tiene es en 30 <= a <=50 donde a puede ser

    31, 32, 44 o 49.
    Luego de probar con cada valor de a y ver si al sustituur y despejar b nos dá un número feliz
    Solo nos dá para a=32 un número feliz q es b = 28.
    La solucion para 4 es a= 32,b= 28 y p = 31

    Para la ecuación 5.

    5. para p =79

    a + b = 156 con 78 <= a <=97 con 59<= b <=78,el intervalo q menos números felices tiene es para b donde solo hay 2

    68 y 70

    Para b= 68 nos da un número infeliz, pero para b= 70 nos da a = 86 q es un número feliz. Luego la solución para la ecuación 5 es a= 86 ,b = 70 y p =79.

    Para la ecuación 6 no hay soluciones ya q el intervalo de 95 <= b <=96, no hay números felices. Resumiendo las posibles soluciones al problema en formato (a,b,p),donde a y b son los números felices y p es un número feliz primo son
    (a, b, p)
    (13, 23, 19)
    (31, 13, 23)
    (32, 28, 31)
    (86, 70, 79)

    Ahora según los datos q nos dice el problema solo hay un primo feliz y los demás solo son números felices. Por lo tanto las posibles soluciones serían solo 2

    (32, 28, 31),
    (86, 70, 79)

    • Alvy Singer dijo:

      Los intervalos para a y para b son para también garantizar q sean números de 2 cifras,además de evitar repetir soluciones.

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Director del Sello Editorial Academia de la Empresa de Gestión del Conocimiento y la Tecnología (GECYT).

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