La Matemática enriquecida por la décima poética
La columna Para Pensar… de Cubadebate cumplió un año de fundada el pasado mes de marzo, y quiero que entre todos le dediquemos un cumpleaño feliz. Para ello vamos a enfrentarnos a un acertijo matemático y a promover la décima poética. El de la alianza Universidad-Empresa sería el próximo.
I
Dos hermanos llamados Rafael y Antonio tienen 8 y 9 hijos respectivamente. Antonio desea repartir 40 monedas a sus 9 hijos, de manera que a cada uno le toque una cantidad par de monedas. En tanto Rafael desea repartir 39 monedas en cantidad impar a sus 8 hijos.
a) ¿Cómo podría Antonio resolver el problema?
b) ¿Cómo podría Rafael resolver el problema?
Si explica su respuesta será mucho mejor.
II
Para la promoción de la décima, por primera vez voy a cometer la osadía-ya con tantos años en mi mochila- de escribir estas cuatro estrofas que pongo a vuestra consideración. Espero que muchos de ustedes se animen a escribir al menos una estrofa en homenaje al primer año de Para Pensar…
Décima. En poesía es una estrofa constituida por 10 versos octosílabos la estructura de rimas de la décima es abbaaccddc.
Seguramente RARJ estará dispuesto a dar sus orientaciones técnicas, y en particular a detectar mis irrespetos a Espinela, sobre todo en la métrica octosílaba.
-1-
Esta columna ya tiene
Un año de haber nacido,
Y ustedes la han recibido
Como algo que se quiere,
Como algo con relieve
Que nos compromete a todos
A seguir con buenos modos
Desarrollando el pensar
Para juntos disfrutar,
Y nunca quedarnos solos.
-2-
Si tuviera que escoger
A unos cuantos destacados,
Tendrían que ser mencionados
Por constancia y brillantez:
RARJ, Oro, Benjamin, Arnaldo, David; sin desmerecer
A Rosa Fipa, Pioneer, Rene, Sachiel, Barca++, hectico, en fin
A muchos más acertijandos, pues sin
Su aliento y valía, estaríamos
Llegando, casi sin percatarnos
A un indeseado fin.
-3-
Pero si ustedes lo quieren
Habrá columna para rato,
Siempre con el mejor trato
Con ustedes y los que vienen.
Es decir aquellos que tienen
Mucho bueno que aportar,
Y así podremos labrar
Amor por la Matemática,
Sin descuidar la temática
De pensar, para crear.
-4-
Vamos ya a finalizar
Estas décimas atrevidas,
Que ojalá sean recibidas
Con generosidad al juzgar.
Si decidimos saltar
A un sitio más relevante,
Y sin resultar pedante
Tenemos que proponernos
Con Cubadebate, movernos
Marchando siempre adelante.
Recuerden que: “Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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Bueno este es parecido al anterior, empecemos con Antonio que tiene 9 hijos, 40 monedas y quiere que a todos le toquen pares.
primero ver cuantas combinaciones existen, recuerdo de alguna clase de complejidad de algoritmo una formulita para determinar combinaciones y permutaciones. bueno vamos a ver como llegamos. números pares entre 2 y 40,
[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38]
si tenemos 9 posiciones posibles y los números pueden repetirse pues la cosa es seria, y sería 9^19, posibilidades, este número es una burrada vamos a recortar un poco.
excluyo el 40 porque implicaría que los restantes 8 cogieran 0, que no es par, violando la regla, también podemos eliminar otros tantos números, cuya suma implicaría que fuera mayor de 40, por ejemplo si a uno le toca 38, no hay manera posible en que a los restantes 8 les toque un numero entero, positivo y par cuya suma total sea igual a 40, por tanto podemos descartar los 8 mayores número que cumplen con esta regla.
quedando las posibilidades en:
[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24]
si aplicamos
9^12
todavía un número muy grande, pero mas manejable, ademas hay combinaciones que no cumplen con la regla de la suma total = 40. bueno ahora en Python, ejecutamos
import numpy as np
from itertools import combinations_with_replacement
values = np.arange(2, 26, 2, np.int32)
# utilizando la biblioteca para sacar
# todas las combinaciones
todas_comb = combinations_with_replacement(values.tolist(), 9)
# descartando las que no cumplen con la regla == 40
resul = []
for i, comb in enumerate(todas_comb):
comb_np = np.array(comb)
# sumando la posible combinacion
if np.sum(comb_np) == 40:
print(comb_np.tolist())
resul.append(comb_np)
print(len(resul))
le tomó a mi ordenador 0.157ms resolverlo y a mi 30 min entre búsqueda y escritura
esto da como resultado 54 combinaciones de grupos de numeros, es decir situaciones en donde no se repiten los resultados solo por alterar el orden de los números, aquí pongo lo 4 primeros y los 4 últimos
[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 24]
[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 22]
[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 20]
[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 8, 18]
.
.
.
[2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 8]
[2, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6]
[4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8]
[4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6]
con Rafael el análisis es similar, solo que para números impares,así que lo doy por resuelto también, Feliz cumpleaños, y gracias por el reto
saludos
si pero no diste respuesta
CAM: Creo que es muy buena tu respuesta, me gustó mucho, amen del criterio del profe.
Pensé similar a ti pero lo hice utilizando aritmética, con una hoja+boli, sin llegar a matrices; por eso comento desde tu comentario.
Pero para los 8 hijos de RAFAEL a repartir 39 en partes impares y siguiendo nuestros razonamientos no llego a respuesta Ejemplo: [5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, x], x sería 4 que es par. Uf se complica todo. Pues 8 numeros impares nunca podrá dar un número impar(39).
Profe Nestor: Muchas felicidades a la columna y muchas gracias por las "vitaminas celebrales". La semana anterior estube un curso de Planificación Estratégica impartido por el profe Adalberto, fue genial.
Saludos a todos.
disculpen la respuesta incompleta. pues no he tenido mucho tiempo.para el caso de Rafael no he encontatrado respuesta en el subconjunto de los enteros,positivos e impares entre 1 y 39.
saludos
El problema puede tener varias soluciones, pues la distribución puede ser desigual, la única condición es que reciban un número de monedas pares (en el caso de Antonio). Una soluci´pon sería darle 6 monedas a sus dos hijos mayores y 4 a cada uno del resto, es decir: 2*6+7*4 =40. Otras serían: 1*8+8*4 =40 ,3*6+5*4+1*2=40.. Hay varias soluciones
Bueno en el caso de Rafael y antonio......
el rafa, debe darle una cantidad de 5 monedas a todos sus chamaquito, pero a dos de ellos les dara en vez de 5, 7 monedas y ahí temina su historia.
Antonio....debe darle 4 monedas a cada uno de sus hijos, con excepción de dos de ellos que recibiran 6, terminando la historia de sus 40 monedas.
No se aclara en el texto si la repartición en ambos casos era a partes iguales.
saludos.
La verdad me parece que hay muchas formas de hacerlo ya que solo te dice que cada uno tengo una cantidad par no que sea la misma y puedes repartirla de estas formas:
2+2+4+4+4+4+4+4+12=40 o 4+4+4+4+4+4+4+4+8=40
ya el otro es mas dificil y al menos yo no pude encotrar la combinacion.
No necesariamente debe ser a partes iguales.
Aprovecho para destacar que hoy es el Día de nuestro Idioma. Por tanto espero contribución en la creación de buenas décimas poéticas
a) a 5 chicos le da 4 monedas, a 3 le da 6 monedas y a 1 le da 2 monedas. 5*4+3*6+1*2=40.
Dr. del Prado:
Estoy pensando en el problema que propuso hoy, después le respondo. En tanto, quisiera proponerle lo siguiente:
A veces, sin calculadora, se nos hace tedioso calcular multiplicaciones como, por ejemplo:
98x93. Hay una forma de abreviar este producto que yo lo usaba cuando no existían calculadoras y que me lo enseñó ¡un cobrador de ómnibus, “un conductor”! antes de 1959:
1.‒ 100-98=2; 100-93=7
2.‒ 2x7=14
3.‒ 98+93=191
4.‒ 191-100=91
5.‒ Ahora se “pegan” ambos resultados 14 y 91: 9114, o lo que es lo mismo, sumar 9100+14
Y efectivamente, 98x93=9114. Explicado parece engorroso, pero son cálculos que se hacen muy fáciles mentalmente.
El método es el mismo siempre que tengamos números grandes, con cualquier cantidad de cifras. Ejemplo: 985x954
1.‒ 1000-985=15; y 1000-954=46
2.‒ 15x46=690
3.‒ 985+954=1939
4.‒ 1939-1000=939
5.‒ Resultado 939690 (985x954), o lo que es lo mismo, sumar 939000+690
El método es el mismo y válido aunque los números sean pequeños, pero entonces ya no vale la pena el método. Digamos, multiplicar 25x17 (=425)
1.‒ 100-25=75; 100-17=83
2.‒ 75x83=6225 (se puede hacer mentalmente, pero se pierde tiempo y es engorroso, sin contar que uno se puede equivocar)
3.‒ 25+17=42
4.‒ 42-100=-58
5.‒ Ahora se “pegan” ambos resultados -58 y 6225, o lo que es lo mismo, sumar
-5800+6225=425 (tampoco conviene hacerlo mentalmente)
Le propongo que le pida a sus seguidores en Cubadebate demostrar algebraicamente que este método es válido para números de dos cifras.
Antonio puede hacer una distribución de 4 monedas a 7 hijos y 6 monedas para los 2 últimos, y para dar solución a problema de Rafael, Antonio puede dar una moneda a Rafael para que él hace una distribución de 5 monedas a cada hijo
Gracias profesor a Ud por la constancia de elaborar un problema de manera periódica y posteriormente leerse las decenas y decenas de comentarios. Independientemente de los resultados y que a veces podamos dar o no con la solución, al final aprendemos todos y pasamos un rato agradable que nos permite desviar un tanto la atención de las preocupaciones de nuestra vida diaria.
Salud y larga vida profe.
Antonio le daría 4 monedas a cada hijo, y las restantes 4 monedas las guardaría en el banco local al 5% de interés, y en cerca de 25 años, les daría dos monedas mas a cada hijo.
Rafael le daría 3 monedas a cada hijo y las restantes 15 monedas las usaría en una vacacion en la playa, que cueste 1 moneda y dos tercios por persona. Creo que las monedas son morrocotas de oro
Mi capacidad poética y para correr los 110 metros con vallas en los Centroamericanos son muy parecidas, pero sentí la necesidad de producir algo por respeto a RARJ, Benjamín y a la reciente incorporación al Olimpo de los bardos, el Prof. Néstor del Prado Arza
Mi bohío en la nevada
es todo afán y pasión
en cerebro y corazón
cruje la décima amada.
“Para Pensar” se tornó
en ciclópea cofradía,
Néstor con su energía
de genio, la maduró
y al leerla juraría
que la patria palpitó
Un año completo pasó
“Para Pensar” ya camina
en ciencia como en doctrina
creció y se fortaleció.
RARJ bien describió
con tremenda disciplina
para la rima y el verso
a Cuba la soberana,
que es la más hermana
en el inmenso universo
Continuidad y cambios
son la ilación perentoria
sin sacrificar la historia
auge y desarrollo amplios
“Para Pensar” y sus sabios
del progreso la probeta
¡Viva la mente inquieta!
¡Dios salve a los pensadores!
Néstor del Prado es poeta
y científico de los mejores.
Pense erroneamente que era darle una igual cantidad de monedas pares o impares a cada hijo. Lo lamento.
Hola profe, interesante su acertijo:
Creo que para el inciso b, no existe solución, para el caso de Antonio, podría ser:
1.- Entregar a dos de sus hijos 6 y a los otros 4.
2.- Entregar a uno de sus hijos 8 y a los restantes 4.
si usted quiere disfrutar,
reflexionar y aprender,
vas a tener que extender;
su pensamiento lateral.
El profe que es brillante,
en la parte de pensar,
se defiende a la par;
en la décima, que bien;
una año, y quiero también
a Néstor Felicitar....
Mi amigo Nestor del prado
noto que no es un poeta
porque hay alguna cuarteta
que la rima le ha faltado,
si pone un poco de cuidado
lo puede Ud mejorar,
si eso lo puede lograr
en su nuevo turno al bate,
seguirá en Cubadebate
su espacio ´´Para Pensa´´
s
Amigo Emilio H D
Como es muy escaso mi conocimiento acerca de esto, para argumentar mi intervención cito textos del profesor Néstor: "Décima. En poesía es una estrofa constituida por 10 versos octosílabos la estructura de rimas de la décima es abbaaccddc. Seguramente RARJ estará dispuesto a dar sus orientaciones técnicas, y en particular a detectar mis irrespetos a Espinela, sobre todo en la métrica octosílaba."
El profesor asumió la libertad en su composición en cuanto a irrespetos, señalando entre otros la métrica octosílaba. Muy a pesar mío observo que su quinto verso es nonasílabo.
Parece que en estas cosas, a cualquiera se le va un borrón!,je,je,je.
Vea usted:
Mi amigo Nestor del prado
noto que no es un poeta
porque hay alguna cuarteta
que la rima le ha faltado,
si pone un poco de cuidado
si-po-neun-po-co-de-cui-da-
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 .
do
9
Mis saludos y respetos.
I.
Qué manera de tener hijos esos hermanos, la madre de Rafael y Antonio cómo se las arreglará en los cumpleaños de estos 17 nietos… Pues bien, como matemáticamente hay varias soluciones yo simplemente voy a pensar como quizás lo haría la madre de Rafael y Antonio, buenos regalos solamente para los primogénitos de cada uno, así que Antonio reparte 4 a los demás y 8 al primogénito y Rafael 18 a su primer hijo y solo 3 para los demás… y chirín chirán que para este segundo reto si hay que quemar neuronas y ahí voy:
II.
Columna Para Pensar
ese nombre sugestivo
me estimula y hasta vivo
creando para aportar
mi respuesta al descifrar
acertijos, situaciones
y unirme con mil razones
a este triunfo bien logrado
y extender a Néstor Prado
muchas felicitaciones.
Columna tan adorada
que estimula el pensamiento
en este sitio te encuentro.
me creces estimulada
y hasta me haces algo osada
pues me animas a inventar
y me impulsas a crear
también en literatura
por primera vez, !qué dura
la obra al improvisar!
Hoy no me quedó otra opción que el tanteo, eso sin contar que comencé el análisis creyendo que Rafael entregaría una cantidad par y Antonio impar cuando era lo contrario, como dirían mis profesores de Matemática: '' Aquel que no sabe extraer los datos del problema, no lo resolverá bien''
Después de tantear:
Antonio entregará: 4,4,4,4,4,4,4,4,8 o 4,4,4,4,4,4,4, 6,6,
Rafael, realmente me rindo por ahora, sólo por ahora, creo que tendrá que pedir un préstamo.
Qué cosas pasan, en mi respuesta anterior dejé a Rafael con una cantidad par para su primogénito y él si que no tiene manera de resolver el problema… Y es que el profesor Néstor me hizo olvidar que soy de profesión matemática para incursionar en esto:
Ahora sigo estimulada,
vivo la improvisación,
la espinela da razón
para levitar alada
y volar ilusionada
con la rima que me doma
al dar el verso que asoma
y que con esfuerzo doy
con mucha alegría hoy
el Día de Nuestro Idioma.
Primera respuesta, que veo que no salió
I.
Qué manera de tener hijos esos hermanos, la madre de Rafael y Antonio cómo se las arreglará en los cumpleaños de estos 17 nietos… Pues bien, como matemáticamente hay varias soluciones yo simplemente voy a pensar como quizás lo haría la madre de Rafael y Antonio, buenos regalos solamente para los primogénitos de cada uno, así que Antonio reparte 4 a los demás y 8 al primogénito y Rafael 18 a su primer hijo y solo 3 para los demás… y chirín chirán que para este segundo reto si hay que quemar neuronas y ahí voy:
II.
Columna Para Pensar
ese nombre sugestivo
me estimula y hasta vivo
creando para aportar
mi respuesta al descifrar
acertijos, situaciones
y unirme con mil razones
a este triunfo bien logrado
y extender a Néstor Prado
muchas felicitaciones.
Columna tan adorada
que estimula el pensamiento
en este sitio te encuentro.
me creces estimulada
y hasta me haces algo osada
pues me animas a inventar
y me impulsas a crear
también en literatura
por primera vez, !qué dura
la obra al improvisar!
a) Rapartir 40 monedas entre 9 hijos en cantidad pares:
A 8 hijos se le da 4 monedas y a uno se le da 8 monedas. 8*4+8=40
b) Rapartir 39 monedas entre 8 hijos en cantidad impares:
Imposible. La suma de dos numeros impares siempre sera un numero par. 8 numeros impares nunca sumaran 39
En difícil situación
nos ha metido Rafael,
pues pienso que ni él
tomará determinación,
de entregar una porción
impar a su extensa prole.
Convenzamos de que enrole
a su hermano con alguna
moneda de su fortuna;
y así, al toro embole.
Pues mi método es algo básico...
simplemente divido 40/9 = 4.44, significa entonces que debe dar a cada hijo, 4 monedas
9x4= 36... las otras 4 restates, pues se divide en numeros pares, 2 y 2... y se le da a dos hijos .. Quedando entonces 7 hijos con 4 monedas y 2 de ellos con 6
Con Rafael la cosa está más complicada porque, al ser 8 hijos, cualquier multiplicación o división por 8 es un número par, con lo cual, al restarle a 39, el resultado será impar y ese número no podrá repartirlo nunca de manera que se cumpla la condición del ejercicio..
Si reparte, por ejemplo, 1 o 3 monedas, le quedarán para seguir repartiendo 31 o 15 respectivamente.... y la única manera que tendría de cumplir la condición, es que a un número impar se le sume uno par, y no hay forma de dividir un numero impar, en dos pares.
Que lío, intento enviar el comentario y nada... deja ver...
Pues mi método es algo básico...
simplemente divido 40/9 = 4.44, significa entonces que debe dar a cada hijo, 4 monedas
9x4= 36... las otras 4 restates, pues se divide en numeros pares, 2 y 2... y se le da a dos hijos .. Quedando entonces 7 hijos con 4 monedas y 2 de ellos con 6
Con Rafael la cosa está más complicada porque, al ser 8 hijos, cualquier multiplicación o división por 8 es un número par, con lo cual, al restarle a 39, el resultado será impar y ese número no podrá repartirlo nunca de manera que se cumpla la condición del ejercicio..
Si reparte, por ejemplo, 1 o 3 monedas, le quedarán para seguir repartiendo 31 o 15 respectivamente.... y la única manera que tendría de cumplir la condición, es que a un número impar se le sume uno par, y no hay forma de dividir un numero impar, en dos pares.
Sea “h” el número de hijos, y “r” y “a” Rafael y Antonio. A los 3 primeros hijos, Rafael les da 1 moneda. Después, a hr4 3 monedas, a hr5 5 monedas, a hr6 7 monedas, a hr7 9 monedas y a hr8 le da 12 monedas, lo que da un total de 39 monedas. A hr8 hay que retirarle una moneda después. Antonio, por su parte, le da a sus hijos las monedas de la siguiente forma: a los 4 primeros les da 2 monedas a cada uno, a ha5 y ha6 4 monedas, a ha7 6 monedas, a ha8 8 monedas, y a ha9 9 monedas, luego hay darle una de más para que sea un número par de monedas, que es la que le sobra a hr8, y con ello entregó las 40 monedas.
Este problema puede tener más soluciones. Es el problema clásico de la repartición de cosas entre personas o animales o cosas de tal forma qu resulta una fracción que no es entera. Hay un viejo problema de este tipo sobre caballos, un padre, dos hermanos y un sabio que presta un caballo.
La décima no es mi fuerte, pero voy a intentar mañana.
Buenas Profe y bueno este acertijo.Antonio para repartir 40 mnds. en cantidades pares a 9 hijos puede ser: 2-6 Monedas-7-4 monedas=9 y12+28=40.El co.Rafael seria ....no me quedan neuronas para ayudarlo,he probado variantes y no me resultan o me sobra un hijo o me faltan monedas.La Decima excelente.
Estamos hablando de monedas, entonces son números naturales mayores que cero
a) Puede tener varias soluciones. Serían 9 números pares que sumados den 40
(2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 8, 8)
2+2+2+4+4+4+6+8+8=40
b) En este caso no tiene solución con números naturales
La suma de una serie de números pares da un número par
La suma de un número par de números impares da como resultado un número par
Aquí tendríamos 8 números impares
(2a+1) + (2b+1) + (2c+1) + (2d+1) + (2e+1) + (2f+1) + (2g+1) + (2h+1)
que se convierten en una suma de 9 números pares
2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f + 2g + 2h + 8
y da como resultado un número par.
39 podría repartirse en 9 números impares, o en 7 o en 5. Pero no en 8 números impares, porque 39 es un número impar. Y la suma de 8 números impares da un número par
Así que lo siento por los hijos de Rafael, porque creo que se van a quedar sin monedas. Pero no importa, estan en la familia y por ahora pueden salir con sus primos, los hijos de Antonio. No va a pasar mucho tiempo antes que la mujer de Rafael quede embarazada y tenga su noveno hijo y entonces sí pueden repartir las monedas...
Creo que el gen de la rima no lo pusieron en mi código, igual que el del baile, jaja. Lo intentaré, si puedo hacer aunque sea un verso lo enviaré después.
Saludos...
I
Esta sección del saber
con sus buenos acertijos
suma cada vez más hijos
con su sano proceder.
Se comparten las ideas
se ejercita el pensamiento
la lógica, el razonamiento
de manera inteligente
pone a funcionar la mente
y esparce conocimiento
II
Es muy bueno estimular
el interés de la gente
y siempre tener presente
que comunicar no es informar.
Aquí se logra tentar
el talento del lector
de matemático a escritor
con un toque divertido
que sabiamente ha conducido
nuestro amigo el profesor.
III
La matemática a veces
se nos tiende a complicar
para luego resultar
siendo lo que no parece.
Componer versos requiere
que baje una musa extraña
también un poco de maña
pero mejor lo dejamos
que si seguimos como vamos
nos vemos en Palmas y Cañas.
Saludos...
Bravo amigo Arnaldo
Allá va eso!!
Y ahí está Don Prado,
que sabe más por diáblico
que por ser viejo sábieco.
No todo está estudiado
ni en su rama detallado,
y aunque sepamos un poco
cómo rompernos el coco,
a veces las formuláricas
de sus travesúricas,
te hacen temblar un poco.
Pues mis décimas, no podían faltar jajajaja.
I
Décimas “para pensar”
Entre cifras y ecuaciones
Y complejas soluciones
No muy fáciles de hallar.
Pero hay que felicitar
Al gran genio creador
De este espacio encantador
Un cerebro iluminado,
Al profesor Nestor Prado
Nuestro Cacumen Mayor.
II
Alguna vez el problema
El cerebro me ha exprimido
Y me he dado por vencido
Al no saber el teorema;
El cacumen se me quema,
Se me retuerce la tripa,
Yo no sé si a Rosa Fipa
O a otros les pasa igual,
Que a veces pues al final
Uno acierta de chiripa.
III
Varios problemas sociales
También demandan respuestas
Y a veces salen propuestas
Muy serias y originales
Y las estrofas geniales
que RJ nos regala,
Alzan a un sitio que exhala
buena vibra por doquier
y se viste en su primer
aniversario, de gala
Hola a todos ... a ver si esta vez tengo más suerte y me mencionan que la vez pasada resolví el problema y no me dijeron nada en la respuesta ... jaja
Caso 1. Repartir 40 monedas entre 9 hijos de forma tal que todos toquen a una cantidad par.
Estamos de nuevo en el caso de una ecuación Diofántica …
Sean x1, x2, …, x9 la cantidad de monedas que se les dará a cada hijo. xi>=1, Naturales.
Como los xi son pares entonces tenemos:
x1 = 2 y1, x2 = 2 y2, …, x9 = 2 y9, tal que yi>= 1, naturales
De x1 + x2 + … + x9 = 40, tenemos:
2 y1 + 2 y2 + … + 2 y9 = 40
2 (y1 + y2 + … + y9) = 40
y1 + y2 + … + y9 = 20 … y con esta ecuación nos vamos a quedar, ya que de aquí sacamos todas las soluciones. Dándole valores naturales >= 1 a los yi de forma tal que sumen 20 obtendremos el vector (y1, y2, … , y9) y luego multiplicando por 2 cada componente obtendremos las xi.
Ejemplos:
yi = (1,1,1,1,1,1,1,1,12), luego xi = (2,2,2,2,2,2,2,2,24)
yi = (1,1,1,1,1,1,1,2,11), luego xi = (2,2,2,2,2,2,2,4,22)
…
etc.
Caso 2. Repartir 39 monedas entre 8 hijos de forma tal que todos toquen a una cantidad impar.
Esto es imposible ya que si sumas una cantidad par de números impares siempre dará par.
Para la demostración siendo riguroso usaremos el método de reducción al absurdo.
Demostración: Asumamos que existe al menos una solución. Sean x1, x2, …, x8 las cantidades que les toque a cada hijo. xi>=1, naturales.
Como los xi son impares tenemos:
x1 = 2 y1 + 1, x2 = 2 y2 + 1, … , x8 = 2 y8 +1, tal que los yi >=1, naturales
De: x1 + x2 + … + x8 = 39, tenemos:
2 y1 + 1 + 2 y2 + 1 + … + 2 y8 + 1 = 39
2 y1 + 2 y2 + … + 2 y8 + 8 = 39
2 (y1 + y2 + … + y8) = 31
y1 + y2 + … + y8 = 31/2, que no es un número natural, lo cual es imposible. Y con esta con esta contradicción queda demostrada que no existe solución alguna.
Profe, la décima se la debo
Alp, no se pierda mi respuesta que le haré un justo reconocimiento.
-1-
De la Décima le digo
Que es importante saber
Que el verso tiene que ser
Octosílabo, mi amigo.
Le revelo que yo sigo
La tonada espirituana,
Con ella mi mente hilvana
La métrica de los versos
Y por ella estoy inmerso
En la Décima Cubana.
-2-
Sus versos tienen valor,
El contenido lo indica,
Ya verá que si practica
Le salen mucho mejor.
Por su admirable labor
Lo quiero felicitar,
La sección “Para Pensar”
Ya cumple un año de vida
Y una ovasión merecida
Hoy le tenemos que dar.
-3-
Del acertijo en cuestión,
Lo de Antonio es un pastel
Pero para Rafael
No encuentro la solución.
Si por alguna razón
Esto le pasa en la vida
Dele a su esposa querida
Las monedas con que cuenta
Que ella, como madre, encuentra
La solución enseguida.
RARJ es usted un campeon! No solo de la decima, la recomendacion de darle las monedas a la madre es muy fina y profunda.
Profe tras mucho pensar llegue a la conclusión que Rafael para poder darle un número impar de monedas a sus 8 hijos lo que debería hacer es cambiar las monedas por alguna de mayor o menor denominación, esta es la única variante que encuentro.
Aunque en mi respuesta tal vez no aparezca, quiero decir que hay subterfugios realmente creativos y atinados en algunos escritos. Ese es el precio de apelar a la creatividad.