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Respuesta a un chícharo matemático y dos caramelitos

Publicado en: Para Pensar...
En este artículo: Cuba, Educación, Estudios, Matemática
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Arturo Presa, Sarah Duyos, Jorge Ramírez y el profesor Néstor del Prado.

Pues bien llegamos al tiempo de la respuesta. El chícharo fue el primer ejercicio del segundo día de la XVIII Olimpiada de Matemática realizada en julio de 1976 en Austria. Tuve el honor de ser el profesor acompañante y jefe de la delegación de los tres concursantes cubanos. Dos varones y una hembra. Sarah María Duyos, y Jorge Ramírez de la Vocacional Lenin; y Arturo Presa del IPU Cuqui Bosch de Santiago de Cuba. Mi sincero homenaje a estos tres excelentes estudiantes de entonces.

No pocos se quedaron con la variante más elemental de la descomposición en 988 números 2, es verdad que el producto es muy grande, pero el problema requiere que se demuestre que sea máximo. Para sorpresa mía Oro y Pioneer quedaron atrapados en esta variante. Las calculadoras científicas en las computadoras nos permiten ir por el método directo de cálculo, pero no siempre ese método nos asegura la unicidad de la respuesta; hay que apelar a los razonamientos y la aplicación de la teoría matemática. Hubo algunos que intentaron aplicar Matemática Superior, pero fallaron al seleccionar el modelo. Isbel sí se acercó en el razonamiento.

La respuesta rigurosa sería la siguiente:

Supongamos que a(i)<= a(i+1), es decir es una sucesión monótona creciente.

  • Si a1=1 entonces a1+a2=a2+1 y a1*a2=a2; y a2+1>a2

a1+a2>a1*a2
No produce el máximo

  • Si ai-aj>=2 entonces ai-1>=aj+1.
    (ai-1)*(aj+1) = ai*aj + (ai-aj) -1>= ai*aj +2-1>=ai*aj+1>ai*aj
    No produce el máximo
  • Si ai>=5 entonces 2*(ai-2)= ai+ (ai-5)+1>=ai+1>ai
    No produce el máximo

De 1, 2 y 3 llegamos a la conclusión que ai ={2,3,4} Pero 4=2*2 Por tanto nos quedaría 2 y 3.

2*k+3l = 1976

Pero 2+2+2=3+3, implicará que 2*2*2=8< 3*3=9. Es decir el 3 genera mayor producto que el 2.

Con k= 3 o 2, no hay solución; entonces la ecuación queda así: 2+3l=1976

Bastaría con despejar el valor de l

l = (1976-2)/3 = 658

Por tanto el valor máximo sería 2*3658 o lo que es igual 2*3^658

Escrito en notación exponencial sería aproximadamente

1.7652881309265063132182469752768e+314

En que 2+3*658 = 1976

Hubo excelentes respuestas, como la pormenorizada de Sofía Albizu-Campos con su tributo a la exhaustividad y a la inducción matemática. Por cierto para quien no lo haya descubierto Sofía fue la ganadora de la medalla de Oro en la reciente Olimpiada Centroamericana de Matemática realizada en El Salvador. Ella obtuvo el Oro perfecto, al ser la única que alcanzó todos los puntos en disputa.

Muy buenas las respuestas de RT, de FerminRH, Dick y Luís Bérriz.

Hubo otra respuesta que recibí directamente del amigo Ricardo Bringas del CIGB y “exleninista” de clase superior. Por su sencillez la reproduzco:

Hola Nestor,

Sobre el problema de hoy la respuesta es 2*3^658.

La forma más sencilla que encuentro de explicarlo es la siguiente:

Está claro que como 1976=2*988, el máx. seria al menos 2^988.

Ahora, como 2*2*2<3*3, sustituyendo 2^987 por 3^658 se obtiene la respuesta.

Con ningún otro entero mayor que 3 se obtendría un producto mayor ya que

Por ejemplo, 4 se pudiera siempre sustituir por 2*2, 5 es menor que 2*3,

6 es menor que 3*3, 7 que 3*2*2  y así sucesivamente.

Esta es la forma más sencilla que he encontrado de explicarlo al gran público.

Saludos

Bringas

Bringas me informó además que su hija también estuvo entre los tres concursantes que se ganaron el derecho a participar, pero el presupuesto solo permitió la participación de Sofía, afortunadamente con actuación perfecta.  Sofía me escribió este mensaje:

Profe

Sí, el resto del equipo como le había comentado éramos los tres de la Lenin, Juliet

Bringas, Alex Sierra y yo. Solo fue el Cuba1 y estábamos muy entusiasmados por ir los tres porque con seguridad hubiéramos podido alcanzar la Copa El Salvador y quién sabe si hacerle competencia a México por el primer lugar por equipo. Fue triste que ellos no pudieran ir.

Saludos

Sofi

Mi reconocimiento también para Juliet Bringas y  Alex Sierra. Me gustaría mucho que piensen y publiquen sus respuestas.

Ojalá algunos con poder de decisión hagan algo por cambiar esta situación para tiempos futuros.

II

Como pudieron comprobar era un caramelito, matemáticamente se trataba de una sucesión geométrica de razón igual a 2. Por tanto el día antes al 20 llegó a cubrir la mitad. Creo que nadie cayó en la trampita.

III

En cuanto a la expresión del gran Eliseo Diego,

“Y no es por azar que nacemos en un sitio y no en otro, sino para dar testimonio”.

 Si la analizamos con lógica descartesiana podríamos reprobarla, ya que no nacemos en un sitio para dar testimonio, sino que al nacer en un sitio somos entes generadores de testimonio que es otra cosa. Pero como bien comentaron varios acertijandos, el poeta escribe con el don de la metáfora que  ilumina. Les sugiero leer los comentarios de Jose R Oro, de DML, de calle 12, de Pioneer,…

Efectivamente hay que leer más allá de las líneas. Eliseo con tal expresión nos invitó a creer en toda la carga humana que deja, aunque no siempre sea conocida y mucho menos reconocida, el paso por la vida. Hay miles de testimonios que por su grandeza, para bien o para mal no se pueden ignorar; hay millones que pasan inadvertidos, aunque en su localidad prístina o sucesiva son también dignas de divulgar.

Se han publicado 14 comentarios



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  • Jose R Oro dijo:

    Muy interesante la solución y excelentemente explicada por el Prof. Néstor del Prado Arza. Ese era un buen chícharo, y muy útil el leer la solución que me encanta, y la explicación que ofrece Ricardo Bringas excelente y clara. Pioneer, otros Cubadebatientes y yo, tenemos que prepararnos mucho más para darle duro al próximo chícharo.
    La línea de Eliseo Diego lleva una tremenda introspección, ¿hemos hecho todo lo necesario en la vida?, ¿estamos aun en deuda con construir nuestro testimonio?
    ¡En espera del próximo reto de pensamiento del Prof. Néstor del Prado Arza!

  • Pepecito dijo:

    Compadre con el calor del verano ud nos va a calentar la cabeza con tantas ecuaciones matemática que seria propias de in concurso, creo que esta sección debe tener un ámbito creativo y no científico al alcance de todo el que lee esta sección que por demás gusta….Si quiere podemos ponernos en contacto para entregarle varios acertijo creativos y graciosos a la vez que desde la época de mis abuelos los ejercitábamos en las noches y personas que no sabían que los números irracionales existían eran capaces de resolverlos con solo una chispa picaresca. Por favor no haga que se nos apague el bombillito por alta temperatura.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Estimado Pepecito, entiendo su enfado, pero en muchas ocasiones me han conminado a poner ejercicios retadores; si hace un breve estudio comprobará que más del 80% están al alcance de la mayoría. Incluso siempre busco acompañar al acertijo difícil con otros suaves o semisuaves. Espero su comprensión. Por otra parte estaría muy feliz de recibir sus colaboraciones. Puede escribirme a
      nestor@gecyt.cu
      Gracias por su acalorado y caluroso comentario

  • madre dijo:

    Buen día, Profesor.
    Gracias a ud. en nombre de mi hijo, Alex Sierra. Me ha emocionado mucho leer sus comentarios al margen de la respuesta al ejercicio. Él no tiene acceso a Cubadebate, y yo apenas le comenté el problema. Sin sentarse a resolverlo, me dio la respuesta trivial del 2 a la 998. Cuando llegue a casa le diré que lo piense mejor, y le contaré que Sofi lo resolvió, para que se tome en serio el desafío en medio de este calor que invita a playa en estas vacaciones que tanto se merecen.
    Junto a los padres de Juliet, viví días de tensión y decepción profunda al constatar el desinterés, aunque escondido en una aparente ¨preocupación y ocupación¨ que no habían podido rendir frutos ¨por culpa de nuestras habituales limitaciones¨, de quienes tenían esta tarea en sus manos. Cierto es que estaban bastante limitados, pero no hicieron más allá de lo previsto. No actuaron como si en ello les fuera la vida, no buscaron alternativas. Pero encuentro peor que no exista el debido apoyo institucional a estos muchachos. Que se destine tan poco dinero para viajar a estos eventos, en contraste digamos, con los eventos deportivos (pese a que ellos TAMBIÉN SON CAMPEONES) o en el festival de la juventud y los estudiantes. La propia UJC hubiera podido ayudar con presupuesto, que al final estos también son jóvenes haciendo lucir de gala a su Patria. O utilizar el presupuesto del MES lamentablemente no empleado en viajar por el equipo sUrPRise, puesto que se les negó la posibilidad de competir que tan dignamente se ganaron, al negarles la visa. Esto requería que la orientación viniera ¨de arriba¨, como si se tratara de dos ministerios tan ajenos o estuvieran ubicados en países diferentes. Tampoco podía contarse con asientos de Cubana de Aviación, de cortesía tal vez, para sus jóvenes coterráneos, y había que viajar por Copa, con el agravante de tener que comprar los pasajes a última hora, cuando se habían encarecido considerablemente, ¨gracias¨ al enredo de nuestras disposiciones contables que no permiten asentar con tres meses de antelación un gasto que luego se materializará… o eso nos explicaron. En tiempos de mayores carestías económicas que las actuales, Cuba viajaba orgullosa a las IMO con equipo completo.
    Por esos días escribí cartas iracundas y frustradas a muchas instancias. Pero la competencia pasó y nuestros muchachos no asistieron. Como única respuesta, una reunión en el MINED para explicarnos por qué no podía ser. Es obvio que no entiendo, con tantas posibilidades que a mi juicio quedaron por explotar.
    Tal y como le dije a los funcionarios que me atendieron, a esas alturas, el único consuelo sería que el año próximo no tuvieran que darle las mismas explicaciones a otros padres entristecidos por la desilusión de sus hijos. ¿Estaré pidiendo demasiado?
    Saludos,
    Raysa.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Acabo de recibir un mensaje del amigo Bringas en que me recuerda algunos hechos y rectifica un recuerdo mío. La rectificación consiste en que él no era de La Lenin, sino de los Camilitos, pero estuvo internado en La Lenin en la etapa de preparación intensiva para la IMO de 1977 en Yugoslavia. En esa preparación fuimos entrenadores Recio, Davidson Reguera y yo. De Pedrosa me recuerdo perfectamente, un joven mulato delgado de gran capacidad analítica ¡Excelente persona! Es una pena que en os Camilitos no se haya seguido aquella tradición matemática.
    De Carlos de Armas, además de recordarlo de aquellos tiempos, luego tuvimos la dicha de compartir la vida profesional, incluyendo un tiempo como profesor del CENSAI, centro que dirigí por 15 años.
    No pierdo las esperanzas de recibir algún comentario de Sarah y de Jorge. Si alguien sabe la manera de contacta con Arturo Presa le agradeceré que me lo diga.
    Gracias a Bringas

  • raysa dijo:

    A redacción de Cubadebate:
    Buen día. Publiqué un comentario a este artículo recientemente y no veo que haya salido. Si por alguna razón que no imagino fue vetado por el equipo de trabajo de Cubadebate, les pido que aún sin publicarlo (que no me interesa demasiado) se lo envíen al profesor Néstor del Prado, pues hacérselo llegar era mi única intención, pero no cuento con otra vía que no sea esta para ello.
    Saludos y gracias anticipadas.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Estimada Raysa, madre de Alex Sierra, estudiante ganador que no pudo viajar a El Salvador, como habrá podido apreciar su comentario base fue publicado íntegramente. Yo lo he leído con calma y considero que es muy respetuoso, valiente y merecedor de consideración por parte de las autoridades del Mined y otras instituciones de nuestro país. Tengo la esperanza que este asunto sea sometido a un análisis más profundo para encontrar soluciones. Alejado a cualquier tipo de demagogia, si se hubiese hecho una colecta popular, yo como muchos otros hubiésemos estado dispuesto a dar un aporte financiero modesto, para que Juliet y Alex hubiesen asistido, no se trataba de un lugar tan alejado de Cuba. El talento científico hay que desarrollarlo desde edades tempranas.
      Dele un fuerte abrazo a su hijo Alex de mi parte, que no se desanime, que tiene mucha vida por delante para seguir cosechando éxitos personales y colectivos, de la Patria que sus bisabuelos, abuelos y padres no pedimos de hinojo, sino le ganamos de pié.

  • irraco dijo:

    Estimado Profesor

    Conocí a Sarah Duyos cuando cuando estudié en la URSS. Muy capaz, de recia personalidad. Inspiraba respeto y admiración. Que hace ella hoy en día?

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Estimado irraco, no me siento autorizado para dar los datos que me pide. Te sugiero intentar contactarla en FB. Hiciste una valoración justa de Sarah, ojalá ella la lea, aunque siempre fue poco amiga de los halagos.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      irraco, no tengo la dirección de Sarah, me comunico con ella por FB. Es una prestigiosa actuaria, especialidad superior de la estadística matemática. Intente comunicarse por esa vía, seguramente podrán compartir.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Queridos acertijandos, acabo de recibir una maravillosa respuesta de Sarah María Duyos, la muchachita de aquella delegación de IMO 1976 en Austria. Me dice que no sabe cuán parecida está a su respuesta juvenil de 1976. Yo le respondí que según recuerdo es parecida, pero esta con mayor rigor. A Sofía le ruego la analice, para que vea por qué me recuerdas tanto a la Sarita de La Lenin, ella entonces en grado 13, y Sofía todavía en 10mo grado. También me gustaría que Juliet y Alex la analicen. Sarah es una destacada actuaria, especialidad matemática de alta jerarquía.
    Bien ahí les dejo, con el perdón de Pepecito, la demostración de Sarita, con una pequeña cura en acentos, ya que lo escribió en txt. Espero que los cambios de formato no originen desastre.
    Sea x1 * x2 * … * xm el producto máximo de naturales que suman 1976.
    1. Probemos que si algún xi es par, xi = 2n, n >= 3, entonces sustituyendo xi por 2 ^ n el producto aumenta. Evidentemente, la suma de los factores en 2 ^ n es 2n y la suma de los factores continua siendo 1976.
    Por inducción. Para n = 3, 2n < 2 ^ n se traduce a 6 < 8, cierto. Para n + 1, ya sabemos que 2n < 2 ^ n y como 2 < 2 ^ n, sumando ambas desigualdades obtenemos 2n + 2 = 2(n+1) = 3, entonces sustituyendo xi por (2 ^ n) * 1, el producto aumenta. Evidentemente, la suma de los factores en (2 ^ n) * 1 es 2n + 1 y la suma de los factores continua siendo 1976.
    Por inducción. Para n = 3, 2n + 1 < (2 ^ n) * 1 se traduce a 7 < 9, cierto. Para n + 1, ya sabemos que 2n + 1 < (2 ^ n)*1 y como
    2 < (2 ^ n) * 1, sumando ambas desigualdades obtenemos 2n + 3 = 2(n+1) + 1 < (2 ^ n + 2 ^ n)*1 = (2 ^ (n + 1)) * 1.
    Luego cualquier factor impar mayor o igual que 7 queda eliminado.
    3. Los puntos 1 y 2 implican que los factores en x1 * x2 * … * xm deben ser naturales entre 1 y 5.
    a) xi = 1 no haría sentido, el producto aumenta si usamos (xj + 1) con j i en lugar de xi * xj. La suma de los factores se mantendría y el producto aumenta.
    b) xi = 4 puede ser sustituido por 2 ^ 2. Esto no cambiaría el valor del producto o la suma de los factores. El uso de factores 4 puede reducirse al uso de factores 2.
    c) xi = 5 implica que debe haber otro factor impar, puesto que la suma de todos los factores es 1976, par.
    Si el segundo impar es 5, tendríamos 5 x 5, con producto 25 y suma 10. Podríamos sustituir 5 x 5 por 2 x 2 x 2 x 2 x 2, que resulta 32 (aumentando el producto) y la suma continúa siendo 10.
    Si el segundo impar es 3, tendríamos 5 x 3, con producto 15 y suma 8. Podríamos sustituir 5 x 3 por 2 x 2 x 2 x 3, que resulta 24 (aumentando el producto) y la suma continúa siendo 10. Luego eliminamos la posibilidad de tener un factor 5.
    d) Analicemos los factores 2. De tener 3 de ellos, tendríamos 2 x 2 x 2 = 8, con suma 6. Podríamos sustituirlos por 3 x 3 = 9 y suma 6.
    El producto se incrementaría, manteniendo la suma de los factores. Luego de haber factores 2, tendríamos que tener menos de 3.
    4. Así pues, solo tenemos factores 2 o 3 y el factor 2 aparece 1 o 2 veces. Puesto 1976 = 3 *658 + 2, la respuesta seria 658 múltiplos de 3 y un factor 2.
    Gracias Sarah María, por tu participación. Me falta Jorge Ramírez y ojalá que se enganche Arturo Presa.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    !Alegría infinita! Me acaba de llegar la respuesta de Jorge Ramírez, otro de los tres estudiantes olímpicos matemáticos de 1976. En breve publicaré su respuesta. Aprovecho para anunciar que el lunes 24 tendrán un acertijo Moncadista con otros dos.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    !Otra gran alegría! Ya la joven Sofía y la muchachita olímpica de 1976 están en comunicación bilateral. Gracias Sarita por tu decisión de propiciar esa amistad. Sofía aprovecha ese regalo que te ha dado la vida y tu talento. Me siento feliz de haber sido puente humano de esa relación.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    La respuesta de Jorge fue manuscrita y pasada a pdf, por tanto o puedo pegarla y ahora me falta tiempo para escribirla. Les digo que fue muy ingeniosa se enfocó a la relación entre serie aritmética y serie geométrica; llegó a una función parabólico y desde ahí comenzó a excluir variantes y quedarse con el 2 y el 3; llegando sin dificultades a la correcta: 2*3^658.
    Gracias Jorge por tu participación. En un próximo chícharo, tal vez finales de agosto o inicio de septiembre volvamos a interactuar. En esa ocasión narraré la anécdota de tu costumbre de escribir con dos tipos de caligrafía

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Es Director de formación y difusión del conocimiento de GECYT (Empresa de Gestión del conocimiento y la Tecnología).

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