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Respuesta a “Segundo chícharo matemático y dos caramelitos”

Publicado en: Para Pensar...
En este artículo: Cuba, Educación, Entretenimiento, Matemática
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creatividad

Me sigue estimulando comprobar que algunos intentan darle solución a los chícharos matemáticos, aunque la mayoría prefieran endulzarse con los caramelitos. Les diré que el chícharo fue uno de los problemas de la XVIII Olimpiada Internacional de Matemática de 1976, en Austria. Naveguemos por cada inciso. Repetiré el enunciado por si alguien no lo había visto con anterioridad.

El chícharo

Una caja rectangular puede llenarse completamente con cubos unitarios (de volumen igual a uno); pero si utilizamos cubos de volumen igual a dos, y lo colocamos con sus lados paralelos a los lados de la caja, entonces se llenaría en un 40%.

Determine todas las dimensiones posibles de la caja.

Como dato auxiliar: ∛2 ≈1,259921

Como ya he dicho, en esa olimpiada participé como profesor acompañante de la delegación cubana.

R: (2; 3; 5) y (2; 5; 6) son las dos posibles dimensiones de la caja rectangular que cumple con los datos planteados. Avizoro debate con algunos acertijandos que han dado más soluciones o incluso que han afirmado sin demostración consistente que son infinitas las soluciones.

Ahora viene algo emocionante. Obtuve por vía directa la solución de dos personas. . Las soluciones de ambas tienen una base similar. Relevantes; ellas son: Sarah María Duyos, destacada matemática que participó en dos olimpiadas internacionales de matemática (1974 y 1976) y Sofía Albizu Campos, ganadora de Oro en la Olimpiada Centroamericana y Caribeña, del Salvador; y Bronce en la 4ta Olimpiada de Geometría Iraní, en el presente año A continuación publico la de Sofía, estudiante de 11no grado en el IPVCE V.I. Lenin.

Solución de Sofía Albizu Campos Rodríguez

Sean x, y, z las dimensiones de la caja rectangular. Como puede llenarse completamente de cubos unitarios, se concluye que x, y, z son números naturales. Sean ∛2l, ∛2m y ∛2n las dimensiones del ortoedro formado con los cubitos de volumen igual 2 dentro de la caja original al intentar llenarla. Tenemos que l=[x/∛2], m=[y/∛2] y n=[z/∛2] ([a] es la parte entera del número a). Luego se desean hallar valores para x, y, z tal que:

2lmn=2[x/∛2] [y/∛2] [z/∛2]=2xyz/5

Es decir: [x/∛2] [y/∛2] [z/∛2]=x/∛5*y/∛5*z/∛5

Supongamos que existe k natural tal que en esta ecuación x=y=z=k y MI>MD, entonces podemos decir que [k/∛2] > k/∛5 (esto se cumple para k=4,5,6,7). Probaremos entonces que para cualquier n>k se cumple que [n/∛2] > n/∛5. Sea n=k+4, tenemos que [(k+4)/∛2] = [(k/∛2)+(4/∛2)] ≥ [k/∛2]+[4/∛2] > (k/∛5) + (4/∛5) = (k+4)/∛5, por lo que se cumple para todo n≡k(4), pero como esto se cumple para cuatro valores consecutivos de k, se cumple para todo n. Llamaremos a esta demostración (*).

Por tanto si x≥y≥z≥4, MI>MD y no se puede cumplir la igualdad. Digamos entonces que z1, porque ∛2>1 y en caso de que z=1 no cabría ningún cubito de volumen igual a 2. Tenemos 2 casos:

a) z=2

Debemos resolver la ecuación [x/∛2] [y/∛2] = 2/5xy

Con una demostración similar a (*) comprobamos que para x≥4 excepto para x=5 se cumple que [x/∛2] > √2x/√5. Diferenciemos 3 casos más:

Para y=5 nos queda la ecuación [x/∛2] = 2x/3. Con una demostración tipo (*) comprobamos que para x≥7, MI>MD. Además como el MI es entero, el MD también debe serlo y por tanto x es múltiplo de 3. Luego nos quedan los posibles valores de x=3,6 que cumplen con la igualdad y nos dan las soluciones (x,y,z)=(2;3;5),(2;5;6).

Para y=3 nos queda la ecuación [x/∛2] = 3x/5. Pero 3x/5<2x/3<[x/∛2] para x≥7, por lo demostrado en el caso anterior. Luego basta comprobar las excepciones anteriores, pero en este caso x debe ser múltiplo de 5 y nos queda como única solución x=5 que es la misma que la anterior. Para y=2 tenemos la ecuación [x/∛2] = 4x/5, pero ∛2≈1,2599>5/4=1,25; por lo que [x/∛2] ≤ x/∛2 < 4x/5 y la igualdad nunca se cumplirá. b) z=3 Debemos resolver la ecuación [x/∛2] [y/∛2] = 3/10xy Como [x/∛2] > √2x/√5 > √3x/√10 para x≥4 menos para x=5 por lo comprobado en el caso a, nos basta analizar las mismas excepciones.
Para y=5 nos queda [x/∛2] = x/2, pero aquí por una demostración similar a (*) comprobamos que MI>MD para x≥3, teniendo el caso de igualdad en x=2, que es una de las soluciones anteriores. Para y=3, [x/∛2] = 9x/20, pero 9x/20 < x/2 < [x/∛2] para x≥3 como ya habíamos visto y evidentemente x=2 no cumple. No es necesario probar y=2, porque sería igual que el caso z=2 y y=3.

Luego (x,y,z)=(2;3;5),(2;5;6).son las únicas soluciones.

Solución de hace 41 años

La solución acordada por el tribunal de profesores en la 18 IMO de 1976 fue en esencia similar. A continuación aparece:

Supongamos que a1<=a2<=a3 son las medidas de la caja. Estos son números naturales, ya que se llenan con cubos unitarios. Denotemos bj= [aj/1.259…]

Entonces tendremos (a1/b1)*(a2/b2)*(a3/b3)= 5 (1) Se trabaja con una tabla con valores de a de b y de a/b Si a1>2 se contradice (1), entonces a1=2

Si a2=2 se llegaría a que 5/4=6 se llega a una contradicción con (1)

Quedarían entonces los siguientes casos

(i) a1=2 ; a2=3 entonces a3/b3=5/3 válido solamente para a3=5

(ii) a1=2; a2=4 entonces a3/b3= 15/8 lo que es imposible

(iii) a1=2; a2=5 a3/b3=3/2 válido solamente para a3=6

De aquí se concluye que la solución es: (2; 3; 5) y (2; 5; 6).

Una respuesta pensada y trabajada que espero sea comentada es la de barca++.
Con franqueza digo que no he analizado a fondo su respuesta en cuanto a la formalidad matemática, pero evidentemente llegó a las dos ternas de dimensiones posibles de la caja. Dado que la pregunta es general y no específica en asignar valores de las dimensiones de la base y la altura de la caja, es que considero que barca++ solucionó el problema. En definitiva él puede decir que (5,3,2) es lo mismo que (2,3,5) por la asignación que otorgó a cada lado del paralelepípedo recto rectangular o en lenguaje menos matemático “la caja”.
@ugusto llegó a una de las soluciones por tanteo, merece reconocimiento. Algo parecido hizo hlg9780.

Qué pena que David Estévez no haya respondido

LB razonó con excelente didactismo, pero llego a conclusiones que no son correctas.

Abrimos el posible debate.

Los dos caramelitos

Qué algoritmo o procedimiento aritmético aplicarías para partiendo del miembro izquierdo llegar al miembro derecho

8(operadores aritméticos)2 =>16106……… 5 (operadores aritméticos)4 =>2091

9(operadores aritméticos)6 =>54153…….. 7(operadores aritméticos)5 =>35122

Tal vez usar la palabra algoritmo le complicó la vida a quienes intentaron resolver este senillo ejercicio matemático que telegrafiaba su solución. Geólogo solucionó un caso y dijo muy bien que los restantes eran similares. El caso de admirar es el de Reyes que además de solucionar explícitamente los 4 casos, escribió un algoritmo válido para los casos plateados. Oiga amigo Reyes, y eso que afirma no ser matemático ni programador. Vaya modestia.

El otro caramelito:

Si tienes en una orilla del río a un león, una cabra y un mazo de lechugas. Cómo podrías trasladar a la otra orilla, en un bote que solo admite a un elemento junto a ti, a estos tres, sin que se corra el riesgo que el león se coma a la cabra o la cabra se coma las lechugas. Ah, el león no come lechuga.

Vamos a ver si algún acertijando me sorprende con una respuesta que no sea la clásica.

Como esperaba muchos dieron una respuesta clásica, felicitaciones; pero no pocos acudieron a mi llamado y soltaron las riendas de la creatividad dando respuestas muy buenas. Así sugiero leer las de Harry Potter; de fan a sus artículos; Gina; Marga; kolosso, que involucró a Víctor Mesa que ahora es el jefe de los leones. Pero las más destacadas creo que son las siguientes:

@ugusto dijo:

– la respuesta corta es en el caso de que yo me como la cabra y no me tengo que preocupar más por quien se come a quien y los voy pasando de 1 en 1.
Pero, esto trae la duda de que si el león me come a mí, quien me cuida a mí, o si la cabra es asesina o las lechugas son mutantes, o si tengo hambre y me como a cualquiera de los 3 elementos restantes. Por esto es que creo necesario caracterizar a los personajes del acertijo:

El león: de circo y sin dientes ni garras, este toma leche de cabra.

La cabra: ruina (en celo), le sirve un cabrón como un león, le da lo mismo.

La lechuga: transgénica y fertilizada con productos tóxicos y cancerígenos, sola valla, quien se come eso.

Yo: domador de circo y ecologista.

Ariel Núñez Morera dijo:

¿Sorpresas quieres para el “caramelito” de la cabra y el león? ¿Algo diferente a los viajes iterativos de una orilla a la otra? Ahí va una en la cuerda de “fan-a-tus-artículos”:

-Un bozal para cada animalito (excepto el barquero, claro) y ¡a navegar todos juntos!

(Para aquellos que prefieran jaulas, verificar primero la carga máxima admisible :)

Nos vemos pronto con un nuevo acertijo de calcular con figuras y una interpretación creativa.

Se han publicado 15 comentarios



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  • ary2808 dijo:

    muy interesante tu articulo me he reído con las respuestas graciosas un saludo a todos

  • barca++ dijo:

    AHHHHHHH SI?????, usted estubo relacionado a la preseleccion?
    Un pequenho dato soy preseleccion y medalla de oro en los cursos del 2014 al 2016, esos 3 cursos. Le suenan los nombres: Enech Gracia?, Nelson, Eduardo(mi entrenador), etc?, Mario Diaz?, etc, yo por desgracia nunca pude ir a una IMO, en mis anhos solo iba uno, y simpre fui CUB 2 :(, pero fui a una Centro: Nicaragua, cogi plata, y a una Ibero: Puerto Rico q coji mencion. Saludos, actualmente soy parte de los elabrodarores de problemas para el concurso nacional, le invito a q vea los 2 ultimos, y el de este anho, ahi hay problemas mios. :)

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      barca++, te ruego me escribas la dirección para entrar y poder ver los ejercicios propuestos y en especial los tuyos. Gracias

      • barca++ dijo:

        Uff me confundi los cursos fueron: 2012-2013, 2013-2014, 2014-2015, tengo mala nocion del tiempo

  • barca++ dijo:

    Con respecto a mi solucion, deje bien claro q la ultima parte “creia” q era cierta, de todas formas no la demostre y es mas de la mitad de la solucion original, sinceramente los ejercicion con parte entera me dan dolor de cabeza, ademas el profe Nestor me tenia dormido con tantos ejercicios faciles jejejejejejjeje. Un saludo a todos.
    PD: No vuelvana poner otra IMO, porque pienso buscarlas todas hoy mismo, tratar de hacerlas y sino miro la solucion jajajajjajajjajaj.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Amigo barca++, ya sospechaba que eras parte del movimiento de los concursos de matemática, no solo por tus respuestas certeras, sino por tus airadas protestas frente a los problemas sencillos que por razones obvias debo poner. Yo te llevo una pila de años, pero me siento feliz teniendo amigos muchos más jóvenes. Yo estoy desvinculado de los concursos y olimpiadas matemáticas desde hace mucho tiempo, pero no me he olvidado de aquellos tiempos ni tampoco he perdido el entusiasmo para apoyarlo en lo que pueda hacer. En relación con la utilización de ejercicios de las IMO, tal vez acuda otras veces, pero confío en que no te vayas por el camino facilista de ir a buscar la solución. Yo casi siempre escribo que “Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada de otro, sobre todo sin entenderla”. Pero en tu caso como en el de David Estévez y otros más, nunca esperaré una copia ciega de la solución; lo que espero es una recreada o hasta una significativamente diferente. No conozco a las personas que mencionas. Si no tienes inconveniente, me gustaría que me escribieras a mi dirección: nestor@gecyt.cu
      Será un placer tenerte como colaborador chicharero.
      Gracias anticipadas.

  • rolando dijo:

    cojo la cabra : la monto y la llevo y viro
    cojo al leon:lo monto, lo llevo, saco al leon y al mismo instante monto la cabra y viro
    cojo la planta al mismo instante q saco la cabra , monto la planta y la llevo
    despues viro cojo la cabra y la llevo jajjajajajjajajaj

  • Olennys dijo:

    La respuesta de cruzar de una orilla del río a un león, una cabra y un mazo de lechugas a la otra es un dilema si se hace en cuba, aqui hasta los leones son VEGETARIANOS, quien le da la solucion con un Leon CUBANO? Quien es el valiente.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      olennys, !bravo por tu aporte del león vegetariano! ¿Ya tienes un respuesta? Yo creo que Ariel Núñez Morera ya dio una sin querer. El buen humor es parte consustancial a la creatividad. Gracias

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Como a la hora de enviar mi respuesta, no contaba con la solución aportada por David Estévez, escribí y se resalto la pena de que él no hubiera respondido el chícharo matemático. Por tanto es correcto que les informe que sí respondió y por cierto buena respuesta que tal vez en otro momento comente.
    Gracias David Estévez por mantenerte firme en la participación. Ojalá tú y barca++ se conocieran, si es que no se conocen ya.

    • David Estevez dijo:

      El profe me da demasiado merito jeje. Confieso que una vez que leí la respuesta de barca++ quede completamente sesgado por su razonamiento, que por demás es corectisimo. Así que, solo por aportar algo nuevo, preferí exponer una idea un poco mas ‘gráfica’ del asunto, pero que no vale como demostración.

      Las demostraciones presentadas son brillantes, en particular la segunda creo que es ‘hermosa’. Los matemáticos, por razones que es difícil explicar, siempre nos sentimos obligados a encontrar soluciones estéticas, y aunque solo las encontramos en raras ocasiones, hacen que el esfuerzo valga la pena. Así que cuando vean a un matemático que continua trabajando sobre un problema que ya tiene resuelto, no piensen que esta loco…Hay que hacerle caso al brillante Bertrand Russell (celebre matemático y premio nobel de Literatura!!!) cuando dijo: “Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema”.

      Salu2 matematicos

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Algunas personas se han comunicado conmigo solicitando la solución aportada por Sarah María Duyos, la entonces muchacha de la Vocacional Lenin que asistió a la IMO 1976 en Austria. En un próximo comentario publicaré su respuesta.

  • Ariel Vina Rodriguez dijo:

    Profe, ayúdeme con esto: mi español debe de estar fallando.
    Cuál es el problema con una caja de dimensiones 3 x 3 x 5 con 9 cubitos de a dos dentro? Los cubitos ocupan 9 x 2 = 18 que son 40% de los 45 de la caja. Poniendo 4 abajo con lado aproximado 2,5 caben en los 3 x 3 del fondo. Ponemos 4 mas encima y el restante en una esquinita solo, siempre con los lados paralelos a los de la caja. Tendrán una altura cercana a 4, que también caben en la altura de 5 de la caja. Luego? Me inclino a proponer cajas de tamaño a x b x 5c, con n= (a x b x c) cubos de a dos dentro, donde a, b y c son enteros con a>1, b>2, c>0 pero me falta estudiar combinaciones que podrían fallar porque uno de los lados no fuera suficientemente largo.

    • barca++ dijo:

      Amigo Ariel, el profe Nestor me ha enviado a darte mi opinion, observa que es posible poner 9 cubos: 8 en las 1ras dos plantas, y uno en la tercera, lo que pasa amigo mio, es que todavia hay espacio disponible para 3 mas, en la ultima planta, y en el ejercicio, se trata de rellenar hasta que no se posible colocar mas, simepre a favor de ahorrar espacio, o sea se colocan de forma optima, colocar el noveno cubo en el centro de la ultima planta para q no quepan mas, es solo algo q haces a proposito, pero lo que se busca es el maximo posible de cubos q puedan ser colocados de alguna forma.
      Espero que entiedas mi punto de vista.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Le doy las gracias a barca++ por su asistencia. En esta semana estuve tiempo completo en el evento Tecnogest’2017. Ya Leysi Rubio escribirá algo sobre dicho evento.
    Les diré que visitando la UH con un colega mexicano que fue conferencista invitado a Tecnogest, tuve la dicha de conocer a barca++. Le pude dar un abrazo y efectivamente le pedí que le respondiera al acertijando angustiado. Eta son las cosas maravillosas que las redes sociales propician: pasar del intercambio con el dueño de un Nick indescifrable al contacto humano con un ser de carne, hueso y cardiocerebro.
    Gracias una vez más a barca++ por cumplir con mi solicitud. Recuerda el compromiso que me hiciste en mejorar la calidad de tu redacción y ortografía.

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Es Director de formación y difusión del conocimiento de GECYT (Empresa de Gestión del conocimiento y la Tecnología).

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