Me sigue estimulando comprobar que algunos intentan darle solución a los chícharos matemáticos, aunque la mayoría prefieran endulzarse con los caramelitos. Les diré que el chícharo fue uno de los problemas de la XVIII Olimpiada Internacional de Matemática de 1976, en Austria. Naveguemos por cada inciso. Repetiré el enunciado por si alguien no lo había visto con anterioridad.
El chícharo
Una caja rectangular puede llenarse completamente con cubos unitarios (de volumen igual a uno); pero si utilizamos cubos de volumen igual a dos, y lo colocamos con sus lados paralelos a los lados de la caja, entonces se llenaría en un 40%.
Determine todas las dimensiones posibles de la caja.
Como dato auxiliar: ∛2 ≈1,259921
Como ya he dicho, en esa olimpiada participé como profesor acompañante de la delegación cubana.
R: (2; 3; 5) y (2; 5; 6) son las dos posibles dimensiones de la caja rectangular que cumple con los datos planteados. Avizoro debate con algunos acertijandos que han dado más soluciones o incluso que han afirmado sin demostración consistente que son infinitas las soluciones.
Ahora viene algo emocionante. Obtuve por vía directa la solución de dos personas. . Las soluciones de ambas tienen una base similar. Relevantes; ellas son: Sarah María Duyos, destacada matemática que participó en dos olimpiadas internacionales de matemática (1974 y 1976) y Sofía Albizu Campos, ganadora de Oro en la Olimpiada Centroamericana y Caribeña, del Salvador; y Bronce en la 4ta Olimpiada de Geometría Iraní, en el presente año A continuación publico la de Sofía, estudiante de 11no grado en el IPVCE V.I. Lenin.
Solución de Sofía Albizu Campos Rodríguez
Sean x, y, z las dimensiones de la caja rectangular. Como puede llenarse completamente de cubos unitarios, se concluye que x, y, z son números naturales. Sean ∛2l, ∛2m y ∛2n las dimensiones del ortoedro formado con los cubitos de volumen igual 2 dentro de la caja original al intentar llenarla. Tenemos que l=[x/∛2], m=[y/∛2] y n=[z/∛2] ([a] es la parte entera del número a). Luego se desean hallar valores para x, y, z tal que:
2lmn=2[x/∛2] [y/∛2] [z/∛2]=2xyz/5
Es decir: [x/∛2] [y/∛2] [z/∛2]=x/∛5*y/∛5*z/∛5
Supongamos que existe k natural tal que en esta ecuación x=y=z=k y MI>MD, entonces podemos decir que [k/∛2] > k/∛5 (esto se cumple para k=4,5,6,7). Probaremos entonces que para cualquier n>k se cumple que [n/∛2] > n/∛5. Sea n=k+4, tenemos que [(k+4)/∛2] = [(k/∛2)+(4/∛2)] ≥ [k/∛2]+[4/∛2] > (k/∛5) + (4/∛5) = (k+4)/∛5, por lo que se cumple para todo n≡k(4), pero como esto se cumple para cuatro valores consecutivos de k, se cumple para todo n. Llamaremos a esta demostración (*).
Por tanto si x≥y≥z≥4, MI>MD y no se puede cumplir la igualdad. Digamos entonces que z1, porque ∛2>1 y en caso de que z=1 no cabría ningún cubito de volumen igual a 2. Tenemos 2 casos:
a) z=2
Debemos resolver la ecuación [x/∛2] [y/∛2] = 2/5xy
Con una demostración similar a (*) comprobamos que para x≥4 excepto para x=5 se cumple que [x/∛2] > √2x/√5. Diferenciemos 3 casos más:
Para y=5 nos queda la ecuación [x/∛2] = 2x/3. Con una demostración tipo (*) comprobamos que para x≥7, MI>MD. Además como el MI es entero, el MD también debe serlo y por tanto x es múltiplo de 3. Luego nos quedan los posibles valores de x=3,6 que cumplen con la igualdad y nos dan las soluciones (x,y,z)=(2;3;5),(2;5;6).
Para y=3 nos queda la ecuación [x/∛2] = 3x/5. Pero 3x/5<2x/3<[x/∛2] para x≥7, por lo demostrado en el caso anterior. Luego basta comprobar las excepciones anteriores, pero en este caso x debe ser múltiplo de 5 y nos queda como única solución x=5 que es la misma que la anterior. Para y=2 tenemos la ecuación [x/∛2] = 4x/5, pero ∛2≈1,2599>5/4=1,25; por lo que [x/∛2] ≤ x/∛2 < 4x/5 y la igualdad nunca se cumplirá. b) z=3 Debemos resolver la ecuación [x/∛2] [y/∛2] = 3/10xy Como [x/∛2] > √2x/√5 > √3x/√10 para x≥4 menos para x=5 por lo comprobado en el caso a, nos basta analizar las mismas excepciones.
Para y=5 nos queda [x/∛2] = x/2, pero aquí por una demostración similar a (*) comprobamos que MI>MD para x≥3, teniendo el caso de igualdad en x=2, que es una de las soluciones anteriores. Para y=3, [x/∛2] = 9x/20, pero 9x/20 < x/2 < [x/∛2] para x≥3 como ya habíamos visto y evidentemente x=2 no cumple. No es necesario probar y=2, porque sería igual que el caso z=2 y y=3.
Luego (x,y,z)=(2;3;5),(2;5;6).son las únicas soluciones.
Solución de hace 41 años
La solución acordada por el tribunal de profesores en la 18 IMO de 1976 fue en esencia similar. A continuación aparece:
Supongamos que a1<=a2<=a3 son las medidas de la caja. Estos son números naturales, ya que se llenan con cubos unitarios. Denotemos bj= [aj/1.259…]
Entonces tendremos (a1/b1)*(a2/b2)*(a3/b3)= 5 (1) Se trabaja con una tabla con valores de a de b y de a/b Si a1>2 se contradice (1), entonces a1=2
Si a2=2 se llegaría a que 5/4=6 se llega a una contradicción con (1)
Quedarían entonces los siguientes casos
(i) a1=2 ; a2=3 entonces a3/b3=5/3 válido solamente para a3=5
(ii) a1=2; a2=4 entonces a3/b3= 15/8 lo que es imposible
(iii) a1=2; a2=5 a3/b3=3/2 válido solamente para a3=6
De aquí se concluye que la solución es: (2; 3; 5) y (2; 5; 6).
Una respuesta pensada y trabajada que espero sea comentada es la de barca++.
Con franqueza digo que no he analizado a fondo su respuesta en cuanto a la formalidad matemática, pero evidentemente llegó a las dos ternas de dimensiones posibles de la caja. Dado que la pregunta es general y no específica en asignar valores de las dimensiones de la base y la altura de la caja, es que considero que barca++ solucionó el problema. En definitiva él puede decir que (5,3,2) es lo mismo que (2,3,5) por la asignación que otorgó a cada lado del paralelepípedo recto rectangular o en lenguaje menos matemático “la caja”.
@ugusto llegó a una de las soluciones por tanteo, merece reconocimiento. Algo parecido hizo hlg9780.
Qué pena que David Estévez no haya respondido
LB razonó con excelente didactismo, pero llego a conclusiones que no son correctas.
Abrimos el posible debate.
Los dos caramelitos
Qué algoritmo o procedimiento aritmético aplicarías para partiendo del miembro izquierdo llegar al miembro derecho
8(operadores aritméticos)2 =>16106……… 5 (operadores aritméticos)4 =>2091
9(operadores aritméticos)6 =>54153…….. 7(operadores aritméticos)5 =>35122
Tal vez usar la palabra algoritmo le complicó la vida a quienes intentaron resolver este senillo ejercicio matemático que telegrafiaba su solución. Geólogo solucionó un caso y dijo muy bien que los restantes eran similares. El caso de admirar es el de Reyes que además de solucionar explícitamente los 4 casos, escribió un algoritmo válido para los casos plateados. Oiga amigo Reyes, y eso que afirma no ser matemático ni programador. Vaya modestia.
El otro caramelito:
Si tienes en una orilla del río a un león, una cabra y un mazo de lechugas. Cómo podrías trasladar a la otra orilla, en un bote que solo admite a un elemento junto a ti, a estos tres, sin que se corra el riesgo que el león se coma a la cabra o la cabra se coma las lechugas. Ah, el león no come lechuga.
Vamos a ver si algún acertijando me sorprende con una respuesta que no sea la clásica.
Como esperaba muchos dieron una respuesta clásica, felicitaciones; pero no pocos acudieron a mi llamado y soltaron las riendas de la creatividad dando respuestas muy buenas. Así sugiero leer las de Harry Potter; de fan a sus artículos; Gina; Marga; kolosso, que involucró a Víctor Mesa que ahora es el jefe de los leones. Pero las más destacadas creo que son las siguientes:
@ugusto dijo:
– la respuesta corta es en el caso de que yo me como la cabra y no me tengo que preocupar más por quien se come a quien y los voy pasando de 1 en 1.
Pero, esto trae la duda de que si el león me come a mí, quien me cuida a mí, o si la cabra es asesina o las lechugas son mutantes, o si tengo hambre y me como a cualquiera de los 3 elementos restantes. Por esto es que creo necesario caracterizar a los personajes del acertijo:
El león: de circo y sin dientes ni garras, este toma leche de cabra.
La cabra: ruina (en celo), le sirve un cabrón como un león, le da lo mismo.
La lechuga: transgénica y fertilizada con productos tóxicos y cancerígenos, sola valla, quien se come eso.
Yo: domador de circo y ecologista.
Ariel Núñez Morera dijo:
¿Sorpresas quieres para el “caramelito” de la cabra y el león? ¿Algo diferente a los viajes iterativos de una orilla a la otra? Ahí va una en la cuerda de “fan-a-tus-artículos”:
-Un bozal para cada animalito (excepto el barquero, claro) y ¡a navegar todos juntos!
(Para aquellos que prefieran jaulas, verificar primero la carga máxima admisible :)
Nos vemos pronto con un nuevo acertijo de calcular con figuras y una interpretación creativa.