Segundo chícharo matemático y dos caramelitos
Como hemos prometido volvemos con otro chícharo para el deleite de los amantes de la matemática que me retan a tirar más duro, y dos caramelitos para endulzar la vida de los no matemáticos.
El chícharo
I
Una caja rectangular puede llenarse completamente con cubos unitarios (de volumen igual a uno); pero si utilizamos cubos de volumen igual a dos, y lo colocamos con sus lados paralelos a los lados de la caja, entonces se llenaría en un 40%.
Determine todas las dimensiones posibles de la caja.
Como dato auxiliar: 2 ≈1,259921
Los dos caramelitos
II
Qué algoritmo o procedimiento aritmético aplicarías para partiendo del miembro izquierdo llegar al miembro derecho
8 (operadores aritméticos) 2 =>16106……… 5 (operadores aritméticos)4 =>2091
9 (operadores aritméticos) 6 =>54153…….. 7 (operadores aritméticos) 5 =>35122
III
Si tienes en una orilla del río a un león, una cabra y un mazo de lechugas. Cómo podrías trasladar a la otra orilla, en un bote que solo admite a un elemento junto a ti, a estos tres, sin que se corra el riesgo que el león se coma a la cabra o la cabra se coma las lechugas. Ah, el león no come lechuga.
Vamos a ver si algún acertijando me sorprende con una respuesta que no sea la clásica.
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Ahora, manos y mente a la obra!
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RESP AL CHICHARO.
SI, 2 ≈1,259921, ENTONCES LOS LADOS DE LA CAJA SON, 0.63 DE ALTO Y ANCHO Y 0.83 DE LARGO.
Para el chícharo:
Si k veces cubitos de volumen 2 hacen el 40% de la caja rectangular, puede deducirse de la ecuación 2k=4/10Volumen, que el producto del largo por el ancho por la altura de la caja es un múltiplo de 5.
Empezando por el primer múltiplo de 5 que puede descomponerse en 3 factores diferentes de 1, que es 20, todas las siguientes combinaciones podrían ser posibles dimensiones de la caja. Ejemplos: 2,2,4; 2,4,5; 3,3,5; 2,5,5; …
El segundo no lo comprendo y para el tercero trataré mañana (ya hoy no tengo tiempo) de escribirle algo de TV, je,je,je... Saludos cordiales.
Me emociona responder este acertijo que me hacía mi padre cuando niña, solo que con el cambio de los personajes: un pastor, un lobo, un chivo y una col. Pretendí sorprenderlo con alguna historia diferente, pero no hallo otra solución que la clásica:
paso primero la cabra, la dejo en la otra orilla y regreso por el león, al cruzar dejo al león y vuelvo con la cabra, dejo la cabra y cruzo con el mazo de lechuga, dejo el mazo de lechuga con el león y regreso por la cabra.
Ah, el primer trío en mi respuesta del chícharo es: 2,2,5, se me fue el 4 y no me percaté. Saludosssss
Revisa mejor, es q ninguna de las soluciones, da el 40 %.
Hasta donde llegan mis poquísimos conocimientos matemáticos, 4 cubos de volumen igual 2 hacen un volumen de 8 unidades cúbicas y que yo sepa 8 es el 40% de 20 que sería el volumen de la caja cuyos lados miden 2, 2 y 5 unidades. Por favor, como se aprecia que usted es bien ducho en la materia, sáqueme del error….
Hasta donde llegan mis poquísimos conocimientos matemáticos, 4 cubos de volumen igual 2 hacen un volumen de 8 unidades cúbicas y que yo sepa 8 es el 40% de 20 que sería el volumen de la caja cuyos lados miden 2, 2 y 5 unidades. Por favor, como se aprecia que usted es bien ducho en la materia, sáqueme del error….
I – Las dimensiones de la caja son 2, 3 y 5 unidades, para largo, ancho y alto indistintamente, que tendría un volumen de 30unidades3, por lo que le cabrían 30 cubos de 1 unidad3, Al llenar la caja con cubos de 1.259921 unidades por cada lado, en esta solamente cabrían 6 cubos, los que multiplicados por el área que ocupan cada uno, 2unidades3, serian 12unidades3, lo que representa el 40% del volumen total de la caja.
Nota: la solución la logre por el método del tanteo, porque no conozco una formula o ecuación para plantearme el problema, o no la he descubierto todavía.
II – No sé si entendí bien la pregunta, pero allá va mi respuesta.
Multiplicación de los valores numéricos y despejar el resultado hacia el lado opuesto de la ecuación dividiendo, esto me daría el valor mínimo del algoritmo, luego, para determinar el algoritmo pudiera utilizar cualquier operación matemática sencilla con cualquier número, siempre y cuando el resultado de esta sea igual o mayor que el valor mínimo del algoritmo antes calculado.
III – la respuesta clásica de este acertijo es:
Cruzar a través del rio…
1. Voy con la cabra
2. Vengo solo
3. Voy con el león
4. Vengo con la cabra
5. Voy con el mazo de lechuga
6. Vengo solo
7. Voy con la cabra….. y felices los 4
– la respuesta corta es en el caso de que yo me como la cabra y no me tengo que preocupar más por quien se come a quien y los voy pasando de 1 en 1.
Pero, esto trae la duda de que si el león me come a mí, quien me cuida a mí, o si la cabra es asesina o las lechugas son mutantes, o si tengo hambre y me como a cualquiera de los 3 elementos restantes. Por esto es que creo necesario caracterizar a los personajes del acertijo:
El león: de circo y sin dientes ni garras, este toma leche de cabra.
La cabra: ruina (en celo), le sirve un cabrón como un león, le da lo mismo.
La lechuga: transgénica y fertilizada con productos tóxicos y cancerígenos, sola valla, quien se come eso.
Yo: domador de circo y ecologista.
Muy sencillo....enseñas al León a remar y le pides a la cabra que se coma la lechuga...y entonces cuando el León se la cepille a la cabra y a ti mismo...se va en el bote al otro lado del rio a podrir como el majá...
Me llama la atención que el segundo inciso ha sido casi ignorado. Solo Rosa Fipa dijo que no lo entendía, y aprovecho para esclarecerlo.
Los operadores aritméticos a utilizar serían suma, resta y multiplicación, en el orden que garantice reproducir el número de la derecha de la flecha en subgrupos de dígitos, no como un número total. Vamos a ver si ahora lo intentan, o lo que pasa que entre el chícharo y el del bote se produjo un efecto eclipse del II.
Para el segundo acertijo
Solo resolveré el primero pues los otros salen igual.
Tenemos 8 (operadores...) 2=>16106
Sería:
8X2=16
8+2=10
8-2=6
Luego se forma el número 16106
Bueno, me monto con la lechuga, amarro la cabra al bote para arrastrarla con el, y asi obligo al leon a ir nadando detras de la cabra tratando de alcanzarla... En cuanto a los chicharos matematicos,...bien gracias, ya les dije que las matematicas son mi pesadilla...
¿Sorpresas quieres para el "caramelito" de la cabra y el león? ¿Algo diferente a los viajes iterativos de una orilla a la otra? Ahí va una en la cuerda de "fan-a-tus-artículos":
Un bozal para cada animalito (excepto el barquero, claro) y ¡a navegar todos juntos!
(Para aquellos que prefieran jaulas, verificar primero la carga máxima admisible :)
Voy con la II.
Los operadores son " * + -" (multiplicación, suma y resta)
1. 8 * 2 = 16, 8 + 2 = 10, 8 - 2 = 6, colocándo los dígitos de los resultados de forma consecutiva obtenemos 16106 a partir de 8 y 2. Así en los suiguientes 3 casos.
Que me perdonen los especialistas, no soy ni matemático ni programador,pero intantaré armar un algoritmo.
Dado a y b naturales,con a>b,la solución sería:
(a - b) + (a + b) * 10^[1 + ENTERO((a - b) / 10)] +
+(a * b) * 10^[2 + ENTERO((a - b) / 10) + ENTERO((a + b) / 10)]
ya los 3 elementos estan en una orilla y no se han comido entre ellos, no dice que estan en jaulas.., entonces los paso 1 a 1 a la otra orilla en el orden que quiera....
Solución:
Este chícharo tiene infinitas soluciones.
La solución inferior es una caja con 30 cubos con volumen unitario situados en 5x3x2, donde caben 6 cubos con un volumen igual a 2, situados en 3x2x1. De esta forma, como el volumen del cubo mayor es el doble que el menor unitario, el volumen ocupado por los cubos mayores es de 12 unidades volumétricas, lo que significa 40% del volumen ocupado por los cubos menores, o lo que es lo mismo, de la caja de 5x3x2 unidades.
Si se cumple para una caja con un volumen de 5x3x2 se cumple para una caja 5x3x2xN donde N es cualquier número entero positivo, y los cubos grandes que caben en dichas cajas ocuparían un volumen de 3x2x1xN, y como N puede valer desde 1 hasta infinito, la solución al problema es infinita.
Demostración:
Se dice que una pelota es redonda que viene en caja cuadrada, pero realmente debería decirse que una pelota es redonda que viene en caja cúbica.
Vamos a imaginarnos una pelota de beisbol metida en una cajita con aristas igual a la unidad y por lo tanto un volumen igual a la unidad.
Vamos a imaginarnos una pelota de softbol metida en una cajita con un volumen igual al doble de la cajita de la pelota de beisbol, o sea, con una arista igual a la raíz cúbica de 2.
Según el problema planteado como chícharo, la caja que contiene las pelotas de beisbol tiene unas dimensiones de:
Largo: a1
Ancho: b1
Alto: c1
El espacio ocupado por las pelotas de softbol es:
Largo: 1.259921a2
Ancho: 1,259921b2
Alto: 1,259921c2
Por lo tanto: a2 x b2 x c2 = (a1 x b1 x c1)/5
Esta es la primera condición que se debe cumplir, o sea, la cantidad de pelotas de softbol debe ser la quinta parte de las pelotas de beisbol.
Las otras condiciones son las siguientes:
El largo de las pelotas de softbol tiene que ser inferior al largo de las pelotas de beisbol.
El ancho de las pelotas de softbol tiene que ser inferior al ancho de las pelotas de beisbol.
El alto de las pelotas de softbol tiene que ser inferior al alto de las pelotas de beisbol.
Siempre y cuando se cumplan estas condiciones, serán soluciones al problema planteado.
LB, me ha dejado usted impresionado con su respuesta y mucho me gustaría que ampliara la tesis de la infinitud de las soluciones. Al ponerle 4 dimensiones al cubo está pensando en un hypercubo o algo por el estilo. Excelente la analogía con las pelotas y las cajas.
Estoy seguro que muchos deben estar disfrutando y analizando su respuesta. Espero su nuevo comentario antes de que me toque escribir la respuesta. Gracias
Claro, encuentras una solucion para 3 diemciones, y pegas un N al final, cosa facil, de todas fromas el problema como tal no esta resuelto.
Queda claro que cualquier solución valida debe tener un volumen múltiplo de 30, pero en general, al 'apilar' soluciones de tipo 2x3x5 (que es la solución mínima) no siempre se obtiene una solución valida. Se debe tener en cuenta que cuando apilamos las soluciones también se acumulan las holguras, lo cual puede provocar que se puedan poner mas cubos de volumen 2 y por lo tanto se pierda la proporción (esto pasara siempre que el volumen de la caja no aumente en un múltiplo de 30). Por ejemplo esto es lo que pasa si apilamos dos soluciones (2x3x5) en la dirección de la componente 2 o de la componente 5 (por eso las soluciones 4x3x5 y 2x3x10 no son validas); no ocurre así en la dirección de la componente 3, lo que provoca que la solución (2x6x5) si sea valida.
Mi intuición me dice que no hay mas soluciones y por el momento veo como mas acertada la demostración de barca++, aunque no se ve del todo redonda, puede que se pueda pulir un poco, sobre todo en la segunda parte
la mas Fácil, pongo a león a dar remos, si y que sea Víctor Mesa, entonces cruza el león con la lechuga, deja la lechuga y regresa, me subo con VM32, lo dejo del otro lado y viro y busco el chivo, esa es la otra solución posible no, me han dicho que VM32 no es vegetariano así que no se debe comer las lechugas. Jajajajaja.
Envié una respuesta el sábado 28, pero parece que no se recibió. Por eso la envío de nuevo.
Aunque los problemas matemáticos son muy serios, estoy de acuerdo con el calificativo de chícharos y caramelos. Cuando me jubile, voy a dedicar más tiempo en la solución de los chícharos, pues me gusta el puré San Germán, pero no me gustan los dulces porque producen caries.
Muy original y divertido lo de la cuarta dimensión y el hypercubo, pero mis limitaciones no me permiten trasladarme al hyperespacio. Solo tengo un pequeño diccionario que dice:
LLENAR: Ocupar por completo con algo un espacio vacío.
Como el enunciado del problema dice:
Una caja rectangular puede llenarse completamente con cubos unitarios (de volumen igual a uno); pero si utilizamos cubos de volumen igual a dos, y lo colocamos con sus lados paralelos a los lados de la caja, entonces se llenaría en un 40%.
Determine todas las dimensiones posibles de la caja.
Según mi opinión, en el enunciado, donde dice: … puede llenarse completamente con… debería decir: …puede llenarse con…. y donde dice: …se llenaría en un 40% debería decir: …se ocuparía su espacio en un 40%.
De esta forma, el enunciado quedaría de la siguiente forma: Una caja rectangular puede llenarse con cubos unitarios (de volumen igual a uno); pero si utilizamos cubos de volumen igual a dos, y lo colocamos con sus lados paralelos a los lados de la caja, entonces se ocuparía el espacio de dicha caja rectangular en un 40%.
En este caso, se están creando dos condiciones:
1. Que el volumen ocupado por los cubos de volumen duplo es el 40 por ciento del volumen ocupado por los cubos de volumen unitario, o sea, que los cubos de volumen duplo ocupan el 40% del total de la caja.
2. Que todos los cubos de volumen duplo que se introduzcan en la caja, caben en la misma, o sea, que ninguno sobrepasa las dimensiones de la misma.
La condición 1 se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:
Sea V1 = a1.b1.c1 el volumen de la caja rectangular donde:
a1 es la cantidad de cubos unitarios en el largo de la caja rectangular
b1 es la cantidad de cubos unitarios en el ancho de la caja rectangular
c1 es la cantidad de cubos unitarios en el alto de la caja rectangular
Sea V2 = (1,26a2)(1,26b2)(1,26c2) el volumen ocupado por los cubos duplos donde:
a2 es la cantidad de cubos duplos en el largo de la caja rectangular
b2 es la cantidad de cubos duplos en el ancho de la caja rectangular
c2 es la cantidad de cubos duplos en el alto de la caja rectangular
donde para simplificar hemos puesto el valor de 1,26 a la raíz cúbica de 2.
Entonces, (1,26a2)(1,26b2)(1,26c2) = 40% a1.b1.c1
O sea, a1.b1.c1 = 5a2.b2.c2
donde a1.b1.c1 es la cantidad de cubos unitarios que contiene la caja rectangular y a2.b2.c2 es la cantidad de cubos duplos que contiene la misma caja.
Dicho de otra manera, la primera condición se cumple si la cantidad de cubos duplos que contiene la caja es igual a la quinta parte de los cubos unitarios que la conformaron.
La segunda condición se cumple si:
(1,26a2) es menor que a1
(1,26b2) es menor que b1
(1,26c2) es menor que c1
De aquí salió que la primera solución, con el valor más bajo de 30 unidades conformada por una caja de 5 unidades de largo, 3 de ancho y 2 de alto, donde le caben 6 cubos duplos colocados en 3 de largo, 2 de ancho y 1 de alto.
6 cubos duplos ocupan el 40% del espacio ocupado por 30 cubos unitarios.
Como hay solamente dos condiciones que cumplir, es evidente que si en una caja de 30 cubos unitario se carga con 6 cubos duplos y se ocupa un espacio del 40%, cualquier caja que sea múltiplo de 30 se puede cargar con el mismo múltiplo de cubos duplos y se mantiene el mismo porciento de espacio ocupado, dicho de otra forma:
6N cubos duplos ocupan el 40% del espacio ocupado por 30N cubos unitarios, donde N no es una cuarta dimensión, sino cualquier número entero positivo.
Ahora bien, si el enunciado del problema fuera diferente, por ejemplo:
Una caja rectangular puede llenarse con cubos unitarios (de volumen igual a uno); pero si utilizamos cubos duplos (de volumen igual a dos), para cargar la caja con la máxima cantidad posible, entonces se ocuparía el espacio de dicha caja rectangular en un 40%.
De esta forma se introduce una nueva condición que si se introduce un cubo duplo más, quedaría fuera de las medidas de la caja rectangular. Esta condición se puede expresar por:
El largo de la caja menos el largo ocupado por los cubos duplos sea menor que el tamaño de una arista del cubo duplo, o sea menor que 1,26.
a1 - (1,26a2) es menor que 1,26
El ancho de la caja menos el ancho ocupado por los cubos duplos sea menor que el tamaño de una arista del cubo duplo, o sea menor que 1,26.
b1- (1,26b2) es menor que 1,26
El alto de la caja menos el alto ocupado por los cubos duplos sea menor que el tamaño de una arista del cubo duplo, o sea menor que 1,26.
c1 - (1,26c2) es menor que 1,26.
Para que se cumpla esta condición, ya el número N no puede tener cualquier valor sino debe ser tal que al multiplicar el espacio vacío por él no produzca un espacio donde quepa un nuevo cubo duplo, pues no se cumpliría la condición del 40% del espacio ocupado.
Si la caja más pequeña tiene las dimensiones de largo=5, ancho=3 y alto=2m, y caben 3 cubos duplos en el largo, 2 en el ancho y uno en el alto, entonces,
Largo (5-3,78)N = 1,22N tiene que ser menor que 1,26. Esto se cumple si y solo si N=1
Ancho (3-2,52)N = 0,48N tiene que ser menor que 1,26. Esto se cumple si N=1 o N=2. Para N mayor que 2 no se cumple.
Alto (2-1,26)N = 0,74N tiene que ser menor que 1,26. Esto se cumple si y solo si N=1
En este caso, la respuesta al problema es que pueden haber dos cajas que cumplan con las condiciones propuestas una de ellas es la de un largo igual a 5 con un ancho igual a 3 y un alto igual a 2, donde es llenado por 30 cubos unitarios y donde caben como máximo 6 cubos duplos. Y la segunda caja puede tiene un largo de 5, un ancho de 6 y un alto de 2, donde se llena con 60 cubos unitarios y donde caben como máximo 12 cubos duplos.
Perdonen pero no pude explicarme en menos espacio.
No entiendan nada de matemática sorry