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Respuesta a la paradoja del cumpleaños y otra buena nueva

Publicado en: Para Pensar...
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creatividadComo pudieron comprobar, en este acertijo subimos un poco la varilla de salto matemático. Y como casi siempre incluimos una suave y relajante en la que casi todos pudieron participar con éxito.

Veamos la respuesta de cada caso.

I

Si se juntan 60 personas en una actividad cualquiera, sucederá que dos de ellas habrán nacido el mismo día y el mismo mes.

¿Considera cierta esta afirmación? ¿Por qué?

R: La afirmación no es cierta, porque puede suceder que no haya dos personas que cumplan  años el mismo día. Ah, pero sí es cierto que es altamente probable que existan, ya que la probabilidad es aproximadamente de 99,41%.

Comencemos interpretando el enunciado. Nos estamos refiriendo a que cumplen años el mismo día de un año, que puede o no ser bisiesto. Para asociarlo con el número de identidad permanente, quiere decir que los dígitos con ordinal 3-4-5-6, de izquierda a derecha  coinciden.  Aunque se suele llamar paradoja del cumpleaños, en rigor no es una paradoja (contradicción lógica), más bien es una verdad matemática que contradice la intuición común.  Yo acostumbro en las presentaciones de los libros de la Editorial que dirijo a realizar un concurso en que premio a quienes cumplan años el día de la presentación. En la mayoría de los casos hay más de 60 personas, y hasta hoy siempre ha coincidido que al menos dos personas cumplen años el mismo día. Para no dejar el premio vacante, si nadie cumple en ese día, busco la fecha más cercana por defecto o por exceso.

El amigo Pioneer envió una excelente respuesta, incluyendo las dos interpretaciones, la egocéntrica y la somos todos. En este caso nosotros nos referimos a la segunda, la de todos incluidos.

Si usted entrase en una habitación con 60 personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted,  es mucho más baja. Esto es debido a que ahora sólo hay 60 pares posibles. El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 60 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas. Esta es la diferencia entre las dos interpretaciones.

Para calcular la probabilidad aproximada que en un lugar de n personas, al menos dos cumplan años el mismo día, desechando los años bisiestos y los gemelos, y asumimos que existen 365 cumpleaños que tienen la misma probabilidad. El artificio matemático es calcular primero la probabilidad de que n cumpleaños sean diferentes. Esta probabilidad es dada por

porque la segunda persona no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera personas no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), etc. Usando notación factorial, puede ser escrita como

para n ≤  365, y 0 para n > 365.

Ahora, 1 – p es la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día de cumpleaños.

Ya David nos regaló una tablita con algunos pares de datos.

Si n= 60, entonces la probabilidad es de 0,994122661 o del 99,41% aproximadamente, lo que al decir de algunos matemáticos es para aceptar la apuesta sin pensarlo mucho. Lean lo que nos dijo LOR. “Tuve un profesor que apostaba 100 pesos que al menos dos personas en un grupo de 40 habrían nacido el mismo día y el mismo mes. Tal vez se arriesgaba un poco pero casi siempre ganaba”.

II

RE + MI = FA

DO + SI = MI

LA + SI = SOL

Respuesta: S = 1, R = 2, A = 3, D = 4, M = 5, I = 6, E = 7, F = 8, L = 9, O = 0

Comprobación:

  • RE(27) + MI(56) = FA(83)
  • DO(40) + SI(16) = MI(56)
  • LA(93) + SI(16) = SOL(109)

Ya sé que algunos se decepcionaron esperando una relación verdadera entre las notas musicales y la Matemática, lo hice para captar a los alérgicos. También aconsejé escuchar a Radio Enciclopedia, pero como me dijo la creativa Tati, ni con CMBF lo logró y entonces experimentaría con Radio Reloj.

Pues bien no conozco otro algoritmo de cálculo humano que no sea el aplicado por luis..Sojo, por Jorge o por barca++ que se obstinó de hacer cálculos elementales pero que estaba por el buen camino.

El método consistía en trabajar con las ecuaciones (2) y (3) de las que se podían despejar las variables O, S y L, aplicando propiedades aritméticas sencillas.

De la (2) se concluye que O=0, note que si O+I =I, entonces O=0.

De la (3) se obtiene que S=1 y que L=9. Gracias a que el término de la derecha tiene tres dígitos.

Luego se comprueban las alternativas para A e I y de ahí en lo adelante es mucho más fácil.

Algunos tienen más habilidades en descartar alternativas y llegan más rápido.

III

No es más grande quien más espacio ocupa, sino quien más vacío deja cuando se va.

Esta era la respuesta que tenía tipificada, pero como estimulé la creatividad, surgieron algunas muy buenas. Se enfocaron en lo cualitativo frente a lo cuantitativo, o en la optimización.

Aquí escribo algunas con una pequeña cura ortográfica.

Quien en menos espacio logra cosas más grande

Quien más lo aprovecha

Quien distribuye bien su espacio.

Al tanto de sus comentarios, dudas, reproches, mejoras, sugerencias.

Se han publicado 4 comentarios



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  • Victor dijo:

    Primero quiero felicitar esta iniciativa, pues siembra esas ganas de descubrir y activar el ingenio que tanto hace falta en la sociedad cubana de hoy. Ahora, yo me dedique a la resolución del segundo problema y asumí que RE era R·E, pues es costumbre en libro y demás omitir el signo de multiplicación en estos casos, la verdad es que no me imaginé que era una unión para formar un número, bueno…..les cuento que el sistema de 3 ecuaciones y 10 variables (tuve que asumir varios valores iniciales para algunas variables) que empecé a resolver me dio la respuesta muy parecida a la que se muestra…con la excepciona de que una de las variables me dio un número complejo (a+bj) …cosa que no tiene sentido en este contexto je je je je je pero me divertí mucho así que gracias al creador de esta idea..

  • Jose R Oro dijo:

    Estimado Prof. Néstor del Prado Arza. Muchos saludos ante todo, creo que el alternar preguntas más exigentes desde el punto de vista matemático, con otras que no lo son tanto, es muy bueno, así la columna esta, como dijera el gran Silvio Rodríguez “al alcance de todos los bolsillos”, se motiva la participación y el reto a pensar se extiende a muchos. Lo felicito por ello, por llegar a la mayoría y no perder el rigor, ni diluir el nivel de raciocinio.
    Recientemente se mencionó a Ya. I. Perelman, solo quería rememorar que este insigne científico y divulgador de la Ciencia soviético, nacido en la entonces parte rusa de Polonia, murió de hambre en 1942, durante el salvaje bloqueo de los nazis a la ciudad de Leningrado (San Petersburgo), y muy modestamente honrar su memoria.

  • Orlando dijo:

    Como pudieron comprobar, en este acertijo subimos un poco la varilla de salto matemático. Y como casi siempre incluimos una suave y relajante en la que casi todos pudieron participar con éxito.

    Veamos la respuesta de cada caso.

    I

    Si se juntan 60 personas en una actividad cualquiera, sucederá que dos de ellas habrán nacido el mismo día y el mismo mes.

    ¿Considera cierta esta afirmación? ¿Por qué?

    R: La afirmación no es cierta…

    ……
    Obvio que es falsa. El año tiene 365 días. Hay suficiente espacio para acumular cumpñaños. 60 días son sólo dos meses
    No se requería tanto rigor para demostrarlo

  • Maritere dijo:

    Excelente su espacio, siempre lo sigo y algo aprendo, pero que va definitivamente lo mio no son las Matemáticas.
    Gracias por dedicarnos su tiempo y por todo lo que nos transmite

Se han publicado 4 comentarios



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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Es Director de formación y difusión del conocimiento de GECYT (Empresa de Gestión del conocimiento y la Tecnología).

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