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La solución a la pregunta: ¿Cuántos triángulos hay?

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trinagulos

Para los impacientes o alérgicos a la matemática. Hay 44 triángulos.

En la solución de este problema se combina fundamentalmente el pensamiento lógico con la visión geométrica. La lógica permite pensar de manera deductiva e inductiva. Posibilita pensar cómo se generan los triángulos a partir de diagonales en los cuadrados. Se puede deducir la formación de cuatro clase de triángulos isósceles (dos lados iguales) rectos, dependiendo de la dimensión de su lado desigual y mayor, que coincide con la hipotenusa o su base. Salta a la vista y a la mente la simetría de la figura.

La visión geométrica nos ayuda a percatarnos de que del cuadrado mayor o madre, se generan 12 triángulos, 4 de ellos con hipotenusa coincidiendo con las diagonales de dicho cuadrado; y 8 con hipotenusa coincidiendo con los lados del cuadrado mayor, cuatro con vértice recto en el punto medio de los lados, y cuatro con el vértice recto en el punto central del cuadrado mayor.

Por otra parte de cada uno de los cuatro cuadrados interiores se generan 8 triángulos, 4 de ellos con hipotenusa coincidiendo con la longitud de su lado; y los otros cuatros con hipotenusa coincidiendo en las diagonales del cuadrado interior. Como hay simetría total suman 32= 8×4

Entonces viene el número final 12+32= 44. Esta es la respuesta correcta, a la que la mayoría llegó. La mayor confusión se produjo en afirmar que eran 48 triángulos, sin percatarse que estaban contando doble 4 triángulos.

Como ya dije en un comentario, algunos foristas explicaron otros algoritmos, que los interesados pueden buscar y analizar.

Quedo a la disposición de ustedes para seguir aprendiendo matemática sin sufrir demasiado.

Se han publicado 23 comentarios



Este sitio se reserva el derecho de la publicación de los comentarios. No se harán visibles aquellos que sean denigrantes, ofensivos, difamatorios, que estén fuera de contexto o atenten contra la dignidad de una persona o grupo social. Recomendamos brevedad en sus planteamientos.

  • Alpizar dijo:

    Wooo! :D
    Ahora lo que esperamos es la seccion donde salga a cada rato un problema de estos … gracias de nuevo al autor …

  • Eduardo dijo:

    La figura de la respuesta no es la misma de la propuesta.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Hola Eduardo, es cierto que a la figura de la portada le falta el lado del fondo del cuadrado mayor, pero si va al documento amplio comprobará que está bien. Al parecer al editarlo se comieron ese segmento, yo me di cuenta desde el principio pero no quise ser pedante.
      Gracias por su observación

    • Heriberto dijo:

      Por qué no? Es la misma!

  • Alejandro K dijo:

    Espero que se mantenga esta sección. Estos ejercicios son retadores y genera muchos seguidores.

  • Bayern forever dijo:

    CON EL MAYOR RESPETO, DISCREPO LA RESPUESTA PUES ERAN 52.

    • !!! dijo:

      Con el mayor respeto, está usted errado…forever!

  • Henry. dijo:

    Pues calcule mal, dije que tenia 40. UUfffffff, sigo mal en las matematicas.

  • Cibermax dijo:

    Jeje, no fallé al decir que eran 44. salu2

  • Marta dijo:

    Pq 12? no será 16?

  • Yuniel dijo:

    Yo no multiplique, los conté, pase trabajo pero me dió 44. Salu2

  • liuber dijo:

    Bueno mis querido lectores le tengo una adivinanza:
    Hay perros en un cajón
    cada perro en un rincón
    cada perro ve tres perros
    cuantos perros son.

    • Is dijo:

      4 perros

    • Is dijo:

      pues creo que hay 4 perros

  • Guillermo dijo:

    son 36

  • Meneleo dijo:

    Bah!! eso es una tonteria!! Lo dificil es dibujar a lapiz esa figura con un solo trazado y SIN LEVANTAR EL LAPIZ!!! Quien lo hace??? Aver que dicen la logica matematica y sus algoritmos …

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Hola Meneleo, ya tengo previsto incursionar en ese apasionante contenido de “dibujar en un solo trazo”. Ojalá nos encontremos en ese divertimento instructivo.

  • Roxas dijo:

    Contamos los triangulos que se forman por

    1 triangulo – 16
    2 triangulos – 16
    3 trianquilos – 0
    4 triangulos – 8
    8 trianguilos – 4

    Total – 44!!!

  • marlonmarrero dijo:

    Correcto

  • ANDYFG dijo:

    Por qué algunos se molestan en aplicar algoritmos, teoremas o usar alguna calculadora científica para darle solución a algo como esto, Simplemente hay que saber qué cosa es un triángulo y buena vista algo tan simple como eso. saludos. Por cierto mi respuesta fue 44.

  • rccc dijo:

    Aprovechar este escenario de ocasión para rendirle tributo emocionado a mis profesores todos y particularmente a dos de matemáticas: Ana Olga, en la secundaria y Sofía, en la Universidad. A ella oí por primera vez en mis 20 años de entonces, el término matemático “sólido por revolución”. Puso en la pizarra una línea curva sobre un sistema de ejes cartesianos, algo parecido a una oreja, desde un punto de origen (0; y) hasta (0:-y) e inmediatamente nos indicó que le diésemos vueltas continuas al dibujo y dijéramos la configuración resultante que veíamos conformada. Desde luego que todo ese ejercicio de “movimiento circular con centro en el eje y” solo ocurriría en nuestras mentes. Ahí aprendimos matemáticamente a ver conformarse una especie de figura parecida a un corazón en 3D, poniendo mentalmente a mover circularmente una figura plana en 2D.
    Si los 44 triángulos de la figura en 2D que nos muestran, la situáramos con un borde en el eje y dándole vueltas, entonces la cantidad de triángulos sería = ∞, porque infinitas son las veces en que la figura puede replicarse en el marco de los 360º si tenemos en cuenta que se convierte en una variable intervalo y como un cuerpo (la figura) solo puede ocupar un lugar en el espacio y el intervalo es infinito, entonces el resultado sería cantidad de triángulos = 44 x ∞.
    Aquellos profesores de matemáticas nos enseñaron a pensar; o mejor: “a razonar” que es aplicable a todas las intervenciones humanas, de cualquier naturaleza. No recuerdo haber oído nunca más algo relacionado con el término referido, con la excepción de las pocas veces que alguna vez yo mismo lo haya mencionado durante estos casi 67 años que voy a cumplir, pero puedo dar fe de cuanto lo hemos aplicado en los procesos de razonamientos que hemos enfrascado a lo largo de toda nuestra vida.
    Y como de rendir tributo se trata este comentario, quiero con igual emoción hacerlo también hoy, con un paradigma del pensamiento y de la utilidad del razonamiento, que en breve cumplirá 90. Gracias por existir, Comandante en Jefe. Felicidades a Ud. y a nosotros por tenerlo a Ud.

  • Yennys dijo:

    yo los fui contando

  • Rolando dijo:

    Estimado colega,

    El método de conteo, expuesto en mi comentario bajo el seudónimo “Rolando” al acertijo “¿Cuántos triángulos hay?” de Cubadebate, es bastante general y permite resolver de manera unificada un grupo de problemas, incluido también el acertijo “Problema viral en las redes: ¿Cuántos cuadrados hay aquí?” de Cubadebate.
    Para ilustrar, planteo los siguientes cinco problemas.

    Problema 1. Acertijo “¿Cuántos triángulos hay?” de Cubadebate.
    Problema 2. Acertijo “Problema viral en las redes: ¿Cuántos cuadrados hay aquí?” de Cubadebate.
    Problema 3. ¿Cuántos triángulos cotiene una estrella de cinco puntas?
    Problema 4. ¿Cuántos triángulos cotiene un pentágono con sus cinco diagonales?
    Problema 5. ¿Cuántos triángulos cotiene un pentágono con cuatro diagonales?

    Note que este tipo de problemas no depende del carácter geométrico de las figuras, como el hecho de ser un triángulo isósceles de ángulo recto en que se apoya su solución al problema 1. Si bien esta solución es loable por su simplicidad ante ese problema concreto, padece de la debilidad de no ser generalizable. Estos tipos de problemas dependen de la disposición relativa de las figuras, no de su forma, y el “método de conteo” aprovecha esta circunstancia.

    Problema 1 – Solución.

    Denotemos por
    a1, a2, a3, a4, a5
    las cinco rectas verticales que contienen algún vértice del dibujo, contando de izquierda a derecha, y por
    b1, b2, b3, b4, b5
    las cinco rectas horizontales que contienen algún vértice, contando en orden ascendente.
    Denotemos por ij el vértice donde se intersectan las rectas ai y bj.
    Denotemos por ijxy el segmento que une los vértices ij y xy.
    Sean
    N=Número de triángulos del dibujo
    Nij=Número de triángulos con vértice ij
    Nijxy=Número de triángulos con lado ijxy

    Entonces
    Propiedad I) Suma_en_ij_de_{Nij} = 3N
    porque cada triángulo es contado tres veces en la suma.
    Propiedad II) Suma_en_xy_de_{Nijxy} = 2Nij
    porque cada triángulo con vértice ij es contado dos veces en la suma.

    La propiedad I y un razonamiento de simetría muestran que:

    3N = 4(N11+N22+N13) + N33

    La propiedad II y un razonamiento de simetría muestran que:

    2N11 = N1122+N1133+N1144+N1155+2(N1113+N1115)
    2N22 = N2211+N2233+N2244+N2255+2N2213
    2N33 = 4(N3311+N3322+N3313)
    2N13 = N1333+N1353+2(N1311+N1322+N1331)

    Además Nijxy=Nxyij.

    Dados dos vértices ij, xy, es muy fácil contar Nijxy.

    Contando se obtiene:

    N1122=2,N1133=4,N1144=0,N1155=2,N1113=3,N1115=3,N2233=2,N2244=0,N2255=0,N1311=3,N1322=2,N1333=6,N1331=4,N1353=2

    Por tanto:

    N11=1+2+1+6=10,N22=1+2+1=4,N33=2(4+2+6)=24,N13=3+1+3+2+4=13

    3N=4(10+4+13)+24=4*27+24

    N=44

    Respuesta al problema 1: Hay 44 triángulos en el dibujo.

    Problema 2 – Solución.

    Denotemos por
    a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7
    las siete rectas verticales que contienen algún vértice del dibujo, contando de izquierda a derecha, y por
    b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9
    las nueve rectas horizontales que contienen algún vértice, contando en orden ascendente.
    Denotemos por ij el vértice donde se intersectan las rectas ai y bj.
    Sean
    N=Número de cuadrados del dibujo
    Nij=Número de cuadrados con vértice ij

    Entonces
    Propiedad A) Suma_en_ij_de_{Nij} = 4N
    porque cada cuadrado es contado cuatro veces en la suma.

    La propiedad A y un razonamiento de simetría muestran que:

    4N = 4(N11+N13+N21+N23+N32+N33+N34) + 2(N15+N25+N41+N42+N43+N44) + N45

    Dado un vértice ij, es muy fácil contar Nij.

    Contando se obtiene:

    N11=4,N13=4,N15=4,N21=4,N23=6,N25=6,N32=2,N33=2,N34=2,N41=4,N42=2,N43=10,N44=2,N45=8

    Por tanto:

    4N=4(4+4+4+6+2+2+2)+2(4+6+4+2+10+2)+8

    N=40

    Respuesta al problema 2: Hay 40 cuadrados en el dibujo.

    Problema 3 – Solución.

    Numeremos consecutivamente las cinco puntas de la estrella del 1 al 5 en el sentido de las agujas del reloj.
    Nombremos mediante a,b,c,d,e los cinco vértices interiores, en el sentido de las agujas dle reloj, tales que a y e son adyacentes a 1.

    Denotemos por ij el segmento que une los vértices i y j.
    Sean
    N=Número de triángulos de la estrella
    Ni=Número de triángulos con vértice i
    Nij=Número de triángulos con lado ij

    Entonces
    Propiedad I) Suma_en_i_de_{Ni} = 3N
    porque cada triángulo es contado tres veces en la suma.
    Propiedad II) Suma_en_j_de_{Nij} = 2Ni
    porque cada triángulo con vértice i es contado dos veces en la suma.

    La propiedad I y un razonamiento de simetría muestran que:

    3N = 5(N1+Na)

    La propiedad II muestra que:

    2N1 = N1a+N1b+N13+N1e+N1d+N14 = 1+1+1+1+1+1 = 6, N1=3
    2Na = Na1+Na2+Nab+Na3+Nae+Na5 = 1+1+1+1+1+1 = 6, Na=3

    Por tanto: N=10

    Respuesta al problema 3: Hay 10 trángulos en una estrella de cinco puntas.

    Problema 4 – Solución.

    Numeremos consecutivamente los cinco vértices del pentágono del 1 al 5 en el sentido de las agujas del reloj.
    Nombremos mediante a,b,c,d,e los cinco vértices interiores del dibujo, en el sentido de las agujas dle reloj, tal que a y e son adyacentes a 1.

    Denotemos por ij el segmento que une los vértices i y j.
    Sean
    N=Número de triángulos de la estrella
    Ni=Número de triángulos con vértice i
    Nij=Número de triángulos con lado ij

    Entonces
    Propiedad I) Suma_en_i_de_{Ni} = 3N
    porque cada triángulo es contado tres veces en la suma.
    Propiedad II) Suma_en_j_de_{Nij} = 2Ni
    porque cada triángulo con vértice i es contado dos veces en la suma.

    La propiedad I y un razonamiento de simetría muestran que:

    3N = 5(N1+Na)

    La propiedad II y un razonamiento de simetría muestran que:

    2N1 = 2(N12+N1a+N1b+N13) = 2(6+3+2+4), N1=15
    2Na = 2(Na1+Nae+Na5) = 2(3+1+2), Na=6

    Por tanto: N=35

    Respuesta al problema 4: Hay 35 trángulos en un pentágono con cinco diagonales.

    Problema 5 – Solución larga.

    Numeremos consecutivamente los cinco vértices del pentágono del 1 al 5 en el sentido de las agujas del reloj.
    Nombremos mediante a,b,c los tres vértices interiores del dibujo, de manera que a y c sean adyacentes a 1.

    Denotemos por ij el segmento que une los vértices i y j.
    Sean
    N=Número de triángulos de la estrella
    Ni=Número de triángulos con vértice i
    Nij=Número de triángulos con lado ij

    Entonces
    Propiedad I) Suma_en_i_de_{Ni} = 3N
    porque cada triángulo es contado tres veces en la suma.
    Propiedad II) Suma_en_j_de_{Nij} = 2Ni
    porque cada triángulo con vértice i es contado dos veces en la suma.

    La propiedad I y un razonamiento de simetría muestran que:

    3N = N1 + Nb + 2(N2+N3+Na)

    La propiedad II y razonamientos de simetría muestran que:

    2N1 = 2(N12+N1a+n13) = 2(3+2+4), N1=9
    2Nb = 2(Nba+Nb2+Nb3) = 2(1+1+3), Nb=5
    2N2 = N21+N2a+N2b+N24+N23 = 3+2+1+2+4 = 12, N2=6
    2N3 = N32+N3a+N31+N3b+N3c+N35+N34 = 4+3+4+3+2+2+6, N3=12
    2Na = Na1+Na2+Na3+Nab+Na4 = 2+2+3+1+2, Na=5

    Por tanto:

    3N=9+5+2(6+12+5)

    N=20

    Respuesta al problema 5: Hay 20 trángulos en un pentágono con cuatro diagonales.

    Problema 5 – Solución corta.

    Podemos aprovechar la solución del problema 4.

    Sean
    N=Número de triángulos del pentágono con cuatro diagonales
    N0=Número de triángulos del pentágono con sus cinco diagonales

    Salvo N0, conservemos las notaciones del problema 4.
    Asumamos que la diagonal excluida es 13.
    Entonces:

    N = N0 – (Número de triángulos con un lado en 13)
    = N0 – 2(N1a+N1b) – N13 – Nab
    = 35 – 2(3+2) – 4 – 1
    = 20

    Respuesta al problema 5: Hay 20 trángulos en un pentágono con cuatro diagonales.

    De un apasionado a este tipo de problemas,
    Rolando

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Es Director de formación y difusión del conocimiento de GECYT (Empresa de Gestión del conocimiento y la Tecnología).

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