La geometría plana y la agilidad mental en acción
Peter Morejón es un destacado acertijando de los fundadores de nuestra columna Para Pensar, y nos propone un acertijo desde la geometría. Y RARJ propone un acertijo desde la agilidad mental.
I
Acertijo con triángulo, a lo Peter
Un triángulo rectángulo de lados a; b y c; tiene un área de 30 cm2 y su perímetro es 30 cm. Halla el valor de los lados.
Explica tu respuesta.
II
Acertijo Agilidad Mental, a lo RARJ.
Con mente y agilidad
Responde 1 ¿Cuál es el pez?
Que es pelotero Y 2 ¿Cuál es
La mitad de la mitad?
3 Si hay 8 en la cantidad
¿Cuánto va a haber en total?
4 Diga ¿Cuál es el final
Del cuento que lo entretiene?
5 Y desmenuce “quien tiene
Amigos, tiene un Central”.
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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Respuesta I:
Incógnitas: Lados a,b,c
Perímetro = 30->a+b+c=30
Área=30->a*b/2=30
Triángulo rectángulo->a^2+b^2=c^2
por lo que tengo el siguiente sistema a resolver:
(1)a+b+c=30
(2)a*b/2=30
(3)a^2+b^2=c^2
Aquí aplico tanteo y combinaciones porque la resolución de este sistema no es trivial para ello me baso en la segunda ecuación a*b/2=30 donde a*b=60 mis posibles combinaciones son:
12*5=60
10*6=60
15*4=60
20*3=60
De todas las combinaciones solo a=12 y b=5 junto con c=13 cumplen:
(1)a+b+c=30->12+5+13=30
(2)a*b/2=30->12*5=60 o 12*5/2=30
(3)a^2+b^2=c^2->12^2+5^2=13^2
144+25=169
169=169
Creo que faltó que a, b y c son naturales.
Partimos de que a, b y c son números naturales, siendo a y b catetos y c la hipotenusa.
Como el área es igual al perímetro, entonces:
1/2ab=a+b+c (1)
Además como es rectángulo:
c2=a2+b2 (2)
despejando c en (1)
c=1/2ab-a-b (3)
sustituyendo c en (2)
a2+b2=(1/2ab-a-b)2
a2+b2=1/4a2b2+a2+b2-a2b-ab2+2ab
1/4a2b2-a2b-ab2+2ab=0
a2b2-4a2b-4ab2+8ab=0
ab(ab-4a-4b+8)=0
Como a y b son lados de un triangulo por tanto ab es diferente de 0.
Sumando a ambos lados 8, obtenemos:
ab-4a-4b+16=8
(a-4)(b-4)=8.
Para a y b naturales solo hay dos soluciones:
a=6 y b=8 y por tanto c=10. No sirve.
a=5 y b=12 y por tanto c=13. lqqd (lo que quería demostrar) o meg (mataó el gallo).
Respuesta II:
2-1/4
3-2
5-La amistad es un sentimiento solo comparable con el amor, muchas veces estos sentimientos se confunden por la fuerza demoledora que tiene sobre nuestras vidas, mientras más amigos tengas esa fuerza demoledora que es capaz de traspasar fronteras de todo tipo se multiplica formando un central que es capaz de moler cañas de amistad y convertirla en pura azúcar de amor
la respuesta es a:13 b:12 c:5. el area del triangulo base por altura sobre 2 . base 5 altura 12 es igual a 60 entre 2 es 30 y perimetro 12+5+13¿30
Y resolví el problema del triangulo, sin consultar internet
Saludos profesor.
Un ejercicio interesante de geometría, no se plantea cual de los tres lados es la hipotenusa del triángulo (La imagen puede ser un engaño) , por tanto hay que calcular teniendo en cuenta que cualquiera de sus lados puede ser la hipotenusa. Claro, en este caso asumiendo cualquiera de sus lados como hipotenusa siempre da el mismo resultado, hipotenusa 13 cm, catetos 5cm y 12cm. Los cálculos son elementales solo expongo lo curioso, por lo menos para mi.
Punto I
Datos: triángulo rectángulo
Hipotenusa = a
Catetos = b y c
Área = c x b / 2= 30 cm2
Perímetro = a + b + c = 30 cm
Respuesta:
c x b = 60 buscando las combinaciones resulta :
6x10, 5x12, 4x15, 3x20, 2x30, 1x60
Sustituyendo en la fórmula del Perímetro y sabiendo que a2=b2+c2 concluimos que
a=13, b=12 y c=5
Nota:
Profe, en clases la hipotenusa siempre fue c, y los catetos b y c. En el ejercicio propuesto las letras están intercambiadas y se me armó tremendo troque para llegar al resultado, ja, ja.
I
Teniendo en cuenta la figura del triangulo rectangulo a>b>c y sabiendo que en este caso
a=hipotenusa
b=altura
c=base
A=área
A=b*c/2...despejando y sustituyendo b*c=60cm2;
si b=10 cm resulta que c=6 cm y en 30=a+b+c despejando a, resulta a=14cm
II
1-Javier "Pestano",receptor equipo Villa Clara
2-Un cuarto
3-5(cantidad de letras en la palabra "total")
5- Además de deseos y voluntad se necesita amistades que ayuden a llevar a buen término un emprendiendo.