Calculando con el prisma octagonal, y con la amistad no lineal
Vamos a pasar a la geometría espacial, en que hay que demostrar conocimientos y creatividad especial. Y para seguir explorando las propiedades numéricas, trataremos sobre la amistad no lineal entre dos números.
I
Acertijo: “PRISMA OCTAGONAL” a lo RARJ
Un hombre tiene una caja
Cúbica, de un metro de lado:
1 ¿Cuánto es que suman los grados
De los ángulos de la caja?
2 ¿Qué da? Si las puntas rebajas
Para un OCTÁGONO hacer.
3 Pá forrarla con papel
¿Cuánto papel necesitas?
4 ¿Qué espacio habrá en la cajita?
5 ¿Cuál es la profesión de él?
Explica tus respuestas.
II
Se dice que existen números que profesan amistad cuadrática.
Para que eso suceda debe cumplirse que la suma de los dígitos del cuadrado de un número, tenga como resultado al otro y viceversa.
Preguntas
a ¿El 13 y el 16 tienen amistad cuadrática?
b ¿Puedes hallar otro par de números que lo cumplan?
c ¿Existirá la amistad cúbica entre dos números; puedes poner un ejemplo?
Explica tus respuestas
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
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1. ¿Cuánto suman los grados de los ángulos de la caja?
La caja es un cubo, que tiene 8 vértices. En cada vértice, hay 3 ángulos rectos (de 90° cada uno), formados por las tres aristas que confluyen.
Ángulos en un vértice: 3×90°=270°3×90°=270°.
Total para los 8 vértices: 8×270°=2160°8×270°=2160°.
Respuesta: La suma de los ángulos de la caja es 2160°.
2. ¿Qué ocurre si cortas las puntas para formar un octágono?
Si cortamos las esquinas del cubo (truncamiento), obtenemos caras octagonales en lugar de cuadradas.
Cada corte genera una nueva cara octagonal en lugar de la punta original.
El cubo original tenía 6 caras cuadradas, pero al truncar, cada cara cuadrada se convierte en un octágono, y aparecen nuevas caras triangulares donde estaban los vértices (8 en total, una por cada vértice del cubo).
Respuesta: Se forma un poliedro con caras octagonales y triangulares (un cubo truncado).
3. ¿Cuánto papel necesitas para forrarla?
Esto se refiere al área superficial del cubo.
Cada cara del cubo tiene 1 m×1 m=1 m^2
El cubo tiene 6 caras, así que:
Respuesta: Necesitas 6 m^2 de papel para forrarla.
4. ¿Qué espacio habrá en la cajita?
Esto pregunta por el volumen del cubo.
Volumen=lado^3=1 m×1 m×1 m=1 m^3
Volumen=lado^3=1m×1m×1m=1m^3
II) a) Calculamos 13^2=169→ Suma de dígitos: 1+6+9=16 (coincide con el segundo número).
Calculamos 16^2=256→ Suma de dígitos: 2+5+6=13 (coincide con el primer número).
Respuesta: Sí, el par (13,16) cumple con la amistad cuadrática.
b): Hallar otro par de números con amistad cuadrática
No encontré otro par además de (13,16) (podrían ser únicos).
c) No encontré amistad cúbica. Solo los pares (1.1) (18.18) (26.26) Que cumplen la auto-amistad.
Respuesta I:
1)La caja tiene 8 puntos de intersección. Cada punto de intersección cuenta con 3 direcciones que forman 3 ángulos de 90. Aquí se aplica el principio de multiplicación:
8x3x90=2160
3)Aquí me están pidiendo el área del cubo. Para ello calculo el área de una cara y luego lo multiplico por la cantidad de caras que son 6
1mX1mX6=6m^2
4)Aquí me piden el volumen del cubo que es:
lado^3=1mX1mX1m=1m^3
Respuesta II:
a) El 13 y el 16 tienen amistad cuadrática ya que 13*13=169 y la suma de sus dígitos es 1+6+9=16 y 16*16=256 y la suma de sus dígitos es 2+5+6=13.
b) El mayor número de 2 dígitos que se puede elevar al cuadrado es 99*99=9801. Aquí pongo todos los números igual a 9 sería 9999. Sumo sus dígitos y me da 36. Es decir que los números que estamos buscando son menores de 36.
El mayor número de 3 dígitos que se puede elevar al cuadrado es 999*999=998001. Aquí pongo todos los números igual a 9 sería 999999. Sumo sus dígitos y me da 54. Es decir que los números de 3 dígitos que estamos buscando son menores que 54. Aquí esto se contradice por lo que descarto todos los números de 3 dígitos.
Aquí hay muchos cálculos y yo se los dejo a la computadora y me dice que el 13 y el 16 son los únicos que tienen amistad cuadrática.
int cuadradoI=i*i;
int cuadradoJ=j*j;
if (sumaDigitos(cuadradoI)==j&&sumaDigitos(cuadradoJ)==i){
numerosCuadraticos[count++]=i;
numerosCuadraticos[count++]=j;
}
Este código lo que hace es que calcula el cuadrado entre dos números y verifica que la suma de los dígitos de los cuadrados de un número sea igual al otro, si esto se cumple agrego estos números a mi lista de números con amistad cuadrática
c) El 19 y el 28 tienen amistad cúbica ya que 19*19*19=6859 y la suma de sus dígitos es 6+8+5+9=28 y 28*28*28=21952 y la suma de sus dígitos es 2+1+9+5+2=19. para ello utilicé el mismo código y solo cambié
int cuadradoI=i*i*i;
int cuadradoJ=j*j*j;
Respuesta I:
1)La caja tiene 8 puntos de intersección. Cada punto de intersección cuenta con 3 direcciones que forman 3 ángulos de 90. Aquí se aplica el principio de multiplicación:
8x3x90=2160
3)Aquí me están pidiendo el área del cubo. Para ello calculo el área de una cara y luego lo multiplico por la cantidad de caras que son 6
1mX1mX6=6m^2
4)Aquí me piden el volumen del cubo que es:
lado^3=1mX1mX1m=1m^3
Respuesta II:
a) El 13 y el 16 tienen amistad cuadrática ya que 13*13=169 y la suma de sus dígitos es 1+6+9=16 y 16*16=256 y la suma de sus dígitos es 2+5+6=13.
b) El mayor número de 2 dígitos que se puede elevar al cuadrado es 99*99=9801. Aquí pongo todos los números igual a 9 sería 9999. Sumo sus dígitos y me da 36. Es decir que los números que estamos buscando son menores de 36.
El mayor número de 3 dígitos que se puede elevar al cuadrado es 999*999=998001. Aquí pongo todos los números igual a 9 sería 999999. Sumo sus dígitos y me da 54. Es decir que los números de 3 dígitos que estamos buscando son menores que 54. Aquí esto se contradice por lo que descarto todos los números de 3 dígitos.
Aquí hay muchos cálculos y yo se los dejo a la computadora y me dice que el 13 y el 16 son los únicos que tienen amistad cuadrática.
int cuadradoI=i*i;
int cuadradoJ=j*j;
if (sumaDigitos(cuadradoI)==j&&sumaDigitos(cuadradoJ)==i){
numerosCuadraticos[count++]=i;
numerosCuadraticos[count++]=j;
}
Este código lo que hace es que calcula el cuadrado entre dos números y verifica que la suma de los dígitos de los cuadrados de un número sea igual al otro, si esto se cumple agrego estos números a mi lista de números con amistad cuadrática
c) El 19 y el 28 tienen amistad cúbica ya que 19*19*19=6859 y la suma de sus dígitos es 6+8+5+9=28 y 28*28*28=21952 y la suma de sus dígitos es 2+1+9+5+2=19. para ello utilicé el mismo código y solo cambié
int cuadradoI=i*i*i;
int cuadradoJ=j*j*j;
la suma de los angulos es 2160 y si rebajas 2890
II. a) Sí la tienen 13x13=169, 1+6+9=16, 16x16=256, 2+5+6=13
c) Sí existe 19 y 28 19x19x19=6859, 6+8+5+9=28, 28x28x28=21952, 2+1+9+5+2=19
Respuesta I:
1)La caja tiene 8 puntos de intersección. Cada punto de intersección cuenta con 3 direcciones que forman 3 ángulos de 90. Aquí se aplica el principio de multiplicación:
8x3x90=2160
3)Aquí me están pidiendo el área del cubo. Para ello calculo el área de una cara y luego lo multiplico por la cantidad de caras que son 6
1mX1mX6=6m^2
4)Aquí me piden el volumen del cubo que es:
lado^3=1mX1mX1m=1m^3
Respuesta II:
a) El 13 y el 16 tienen amistad cuadrática ya que 13*13=169 y la suma de sus dígitos es 1+6+9=16 y 16*16=256 y la suma de sus dígitos es 2+5+6=13.
b) El mayor número de 2 dígitos que se puede elevar al cuadrado es 99*99=9801. Aquí pongo todos los números igual a 9 sería 9999. Sumo sus dígitos y me da 36. Es decir que los números que estamos buscando son menores de 36.
El mayor número de 3 dígitos que se puede elevar al cuadrado es 999*999=998001. Aquí pongo todos los números igual a 9 sería 999999. Sumo sus dígitos y me da 54. Es decir que los números de 3 dígitos que estamos buscando son menores que 54. Aquí esto se contradice por lo que descarto todos los números de 3 dígitos.
Aquí hay muchos cálculos y yo se los dejo a la computadora y me dice que el 13 y el 16 son los únicos que tienen amistad cuadrática.
int cuadradoI=i*i;
int cuadradoJ=j*j;
if (sumaDigitos(cuadradoI)==j&&sumaDigitos(cuadradoJ)==i){
numerosCuadraticos[count++]=i;
numerosCuadraticos[count++]=j;
}
Este código lo que hace es que calcula el cuadrado entre dos números y verifica que la suma de los dígitos de los cuadrados de un número sea igual al otro, si esto se cumple agrego estos números a mi lista de números con amistad cuadrática
c) El 19 y el 28 tienen amistad cúbica ya que 19*19*19=6859 y la suma de sus dígitos es 6+8+5+9=28 y 28*28*28=21952 y la suma de sus dígitos es 2+1+9+5+2=19. para ello utilicé el mismo código y solo cambié
int cuadradoI=i*i*i;
int cuadradoJ=j*j*j;