Matemática en acción con números cortés, y un desmenuce de apotegma
Comenzamos agosto con un tipo de número muy especial llamado número cortés, en el que tendremos problemas con dificultades diversas, caramelos y chícharos. Y para balancear el sudor de las neuronas un desmenuce de un apotegma martiano.
I
Se dice que un número natural es cortés, cuando se puede expresar como una suma de dos o más números naturales consecutivos.
Supongamos que podemos utilizar los números naturales del 1 al 20
Vamos con las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el menor y cuál el mayor número cortés que se puede formar?
b. ¿Se pueden formar menor, igual, o mayor cantidad de números cortés pares que impares?
c. Próximamente arribaremos a una fecha significativa de nuestro historia, el 13 de agosto. ¿Es el número 13 un número cortés?
d. Determina si los años que tienes cumplido, se corresponde con un número cortés.
Si no quieres descubrir tu edad, ponte otra que te haga sentir mejor. Es tu decisión.
e. ¿Cuántos números cortés diferentes podemos formar, teniendo como fuente a esa lista de 20 números naturales?
Debes fundamentar tus respuestas.
II
Desmenuce el siguiente apotegma de nuestro José Martí:
“Triste cosa es no tener amigos, pero más triste es no tener enemigos.
Porque quien enemigos no tenga, es señal de que no tiene; ni talento que haga sombra; ni bienes que se le codicien; ni carácter que impresione; ni valor temido; ni honra de la que se murmure; ni ninguna cosa buena que se le envidie”.
Desmenuzar un apotegma es entrar en sus esencias, analizarlo, buscar o inventar otros similares que lo confirmen y otros que lo contradigan.
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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I.a. El menor de los números naturales del 0 al 20 es el 1 (si iniciamos en 1 entoces es el 3) y el mayor número cortés que se puede formar es el 20.
I.b. Se pueden formar mayor cantidad de números cortés impares que pares, ya que los números naturales pares 2, 4, 8, 16, 24, 48, 96, 192, 384, 728, ... (2^n, con iniciando en 1) no son posible formarlos ya que 2=1+1, 4=2+2=3+1, 8=4+4=5+3=6+2=7+1 no son consecutivos, igual que los otros múltiplos.
I.c. Si, el número 13 un número cortés.
I.d. 37=19+18, un número cortés.
I.e. Diecisiete (17) números cortés iniciando en 0 y dieciseis (16) números cortés iniciando hasta el 20
I. Justificando las respuestas.
1=0+1
3=1+2
5=2+3
6=1+2+3
7=3+4
9=2+3+4=4+5
10=1+2+3+4
11=5+6
12=3+4+5
13=6+7
14=2+3+4+5
15=1+2+3+4+5=4+5+6=7+8
17=8+9
18=3+4+5+6=5+6+7
19=9+10
20=2+3+4+5+6
Parte I
a)menor: 1+2=3
mayor: 1+2+...+20=210
b)Se ve que solo las potencias de 2 no son corteses. Al trabajar con conjuntos infinitos, la lógica cotidiana puede fallar, pero me parece que si a los naturales les quitamos ese conjunto, van a quedar más números impares que pares.
c) sí
6+7=13
d)
81=11+12+13+14+15+16
e)Hablando de números consecutivos:
En 2 números hay una pareja...1 cortés
En 3 números hay una 2 parejas y una terna...2+1=3 corteses
En 4 números hay 3 parejas, 2 ternas y 1 cuaterna...3+2+1=6 corteses
(...)
Con 20 números habrá 19+18+...+1=210-20=190 corteses
Hay una contradicción entre la primera oración de b) y el resultado de e). Estaré trabajando en darle solución...
Lo tengo: error al teclear. En el lugar del 75 va el 79. Con esto sí espero que el caso quede cerrado.
I.
a. Menor: 3; mayor: 20
b. Mayor cantidad de impares (9) que de pares (6)
c. 13 es un número cortés porque 6 + 7 = 13
d. 47 es un número cortés porque 23 + 24 = 47
e. Podemos formar 15 números diferentes si empezamos por 1. Como no me queda claro si el profesor acepta que usemos 0 como anterior a 1 para convertirlo en el primer cortés de la serie, dejo al 1 fuera, siendo los números: 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 17; 18; 19; 20
3 = 1+2
5 = 2+3
6 = 1+2+3
7 = 3+4
9 = 2+3+4
10 = 1+2+3+4
11 = 5+6
12 = 3+4+5
13 = 6+7
14 = 2+3+4+5
15 = 1+2+3+4+5; como mismo 4+5+6 = 15 y 7+8 = 15
17 = 8+9
18 = 5+6+7
19 = 9+10
20 = 2+3+4+5+6
II. Este pensamiento de Martí es de mis preferidos. Como siempre, dejando al descubierto una parte de la esencia humana – perfectible, afortunadamente – que refiere a compararse con el otro, y hacer amigos donde se encuentran afinidades, y encontrar enemigos o gente que no comulga con nuestra forma de ser y hasta es abiertamente combativo contra los diferentes. Habría menos conflicto en el mundo si, en vez de ir convirtiéndose uno en enemigo de alguien, o encontrándose contrarios a uno, los humanos fuéramos más respetuosos con las diferencias, como bien dijo Benito Juárez: el respeto al derecho ajeno, es la paz.
I.a. El menor de los números cortés naturales del 0 al 20 es el 1 (si iniciamos en 1 entonces es el 3) y el mayor número cortés natural que se puede formar es el 20.
I.b. Se pueden formar mayor cantidad de números cortés impares que pares, ya que los números naturales pares 2, 4, 8, 16, 24, 48, 96, 192, 384, 728, ... (2^n, con n iniciando en 1) no son posible formarlos ya que 2=1+1, 4=2+2=3+1, 8=4+4=5+3=6+2=7+1 no son consecutivos, igual que los otros múltiplos.
I.c. Si, el número 13 es un número cortés.
I.d. 37=19+18, un número cortés.
I.e. Diecisiete (17) números cortés iniciando en 0 y dieciseis (16) números cortés iniciando en 1 hasta el 20
Acertijandos, en el inciso e, hay que calcular todos los números de tipo cortés, con las diferentes combinaciones de esos 20 números. 20,2; 20,3;20,4;....20,19 y 20,20.
Ese es un chicharito.
Rectifique ese pensamiento no es de José Marti
Preunta I
a) El menor 3 = 1 + 2.
El mayor 1+ 2 + .. + 20 = 20 * 21 / 2 = 210
b) El numero cortez tendra la paridad de la cantiad de numeros impares en la secuencia.
Dicho directamente, si la secuencia empieza en par y tiene k elementos, el numero cortez sera:
par: k deja resto 1 en la div por 4
impar: k deja resto 2 en la div por 4
impar: k deja resto 3 en la div 4
par: k deja resto 0 en la div 4
Ahora si la secuencia empieza en impar seria:
impar: k deja resto 1 en la div por 4
impar: k deja resto 2 en la div por 4
par: k deja resto 3 en la div 4
par: k deja resto 0 en la div 4
Conclusion, hay la misma cantidad.
c) 13 = 6 + 7, es sin dudas un numero cortez
d) 25 = 12 + 13, es tambien cortez
e) El inicio y el final de la secuencia se puede elegir de Combinaciones(20, 2) formas distintas, dando un total de 20 * 19 / 2 = 190 numeros corteces.
-1-
De acuerdo con su relieve
El número menor cortés
En el inciso a) es el tres
Y el mayor: el diecinueve.
Los números pares deben
Formar menor cantidad.
El trece es cortés. Mi edad
Es cortés en el papel.
Y aquí catorce va a ser
En el e) la cantidad.
3=1+2, 5=2+3, 7=3+4, 9=4+5, 11=5+6, 13=6+7, 15=7+8, 17=8+9, 19=9+10
6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 12=3+4+5, 14=2+3+4+5, 18=3+4+5+6
-2-
Para el Punto II que tiene
La frase, va mi refrán:
“Cuando los amigos van,
Los enemigos ya vienen”.
Marthin Luther King sostiene
Que pa´ tener enemigos,
Tan solo basta, mi amigo,
Decir lo que piensas, y
Profesor, si esto es así
No faltarán enemigos.
A) El menor sería el formado por sólo dos números naturales menores e iguales a 20. En tal sentido, solo tendríamos una opción 1+2 = 3. El mayor sería el formado por la mayor cantidad de números, por lo que tendríamos a 1+2+…+20 = 20(20+1)/2 = 210.
B) Sí, en un contexto más general al del rango de números naturales del 1 al 20, es fácil demostrar que los números corteses son todos los números impares exceptuando al 1. En efecto, dado que por definición todo número cortés debe expresarse como la suma de al menos dos números naturales consecutivos, tendríamos (sin pérdida de generalidad en la elección de los números consecutivos):
C(n) = (2n + 1) + (2n + 2) = 2(2n + 1) + 1 = 2p + 1, el cual es impar para n >= 0 o p > 0. Ambos enteros.
Los números naturales impares (exceptuando al 1) pueden hacerse corresponder con los números naturales. Lo mismo ocurre con los pares, incluyendo al 1. De manera que existe la misma cantidad de números corteses y no corteses.
C) Sí, el 13 es un número cortés. Solo basta comprobar que 13 = 6 + 7.
D) Mi edad es 39. Y según lo demostrado en el punto B, es un número cortés. Se puede verificar que 39 = 19 + 20.
E) Para responder esta pregunta es importante tener en cuenta cómo construir a los números corteses. La manera más sencilla es tomando pares. Luego tríos. Cuartetos, etc hasta el mayor y único número compuesto por los 20 números naturales desde el 1 hasta el 20.
Los dúos o pares se construyen en forma de tuplas: (1, 2), (2,3), …, (19,20) teniéndose un total de 19.
Los tríos (1,2,3), (2,3,4), …, (18,19,20) contabilizan 18.
Y así sucesivamente hasta llegar hasta la única ocurrencia (1,2,3,…,20).
De manera que en total tendríamos 19(19+1)/2 = 190 números corteses formados con los primeros 20 números naturales.
II. Demenuze: Si la soledad es triste, entonces la ignorancia, estar estancado, no progresar, no mejorar, no analizar la contradicción, deambular en la vida sin sentido, ser inerte es peor que la tristeza, casi un estado depresivo, de melancolía, pena, y todo lo que pueda ser inferior.
Martí analiza que un ser aislado en lo social, sin quien lo apoye (amistades) ni quién le haga contra fuerza intelectual, moral, física, laboral, u otra (enemistades), es un ser oscuro u opaco (si se representara con colores para la felicidad), peor que triste.
Este apotegma me recuerda a la frase de Sócrates: la verdadera sabiduría está en reconocer la propia ignorancia. Relacionando ambos, opino que la felicidad está en reconocer tanto en amigos como en los enemigos las oportunidades de mejorar o progresar en el talento, bienes, valores, y honores; porque de lo contrario será un ser infeliz, triste, aislado y estancado.
Quizás un apotegma contradictorio es: Mejor sólo, que mal acompañado. Porque propicia la soledad y el aislamiento social, en cambio Martí propone la evolución social del ser, su dinamismo entre individuos acompañantes que puedan compartir o diferir en sus acciones o ideas.
Parte I con correcciones, evitando el innecesario salto al infinito y más...
a)
menor: 1+2=3
mayor: 1+2+...+20=210
b)
Es evidente que solo las potencias de 2 no son corteses. Del 1 al 210, estaríamos quitando 1,2,4,8,16,32,64 y 128: 7 pares y un impar. Pero también hay que quitar otros pares e impares que son menores que 210 y no se pueden formar sumando números consecutivos entre 1 y 20. Solo tiene sentido buscarlos a partir de 20+21=41 en adelante, estos son los que yo encontré:
PARES:
82,86,94,96,106,118,122,134,140
142,146,148,158,160,164,166,172,176
178,186,188,192,194,196,198,202,206
208
IMPARES: 41,43,47,53,59,61,67,71,73,75,83,89,97
101,103,107,109,111,113,123,127,129
131,137,139,141,149,151,157,159,163
167,173,177,179,181,183,185,191,193
197,199,201,203,205
Entre las potencias de 2 y estos, yo cuento 35 pares y 46 impares.
Luego, UTILIZANDO LOS NATURALES DEL 1 AL 20, podemos construir más corteses pares que impares.
c)Sí: 6+7=13
d)81=11+12+13+14+15+16
e)
Es verdad que hay 190=19+18+...+1 formas de construir números corteses sumando los naturales entre 1 y 20, pero no todos los obtenidos son DIFERENTES (ver enunciado).
Por ejemplo:
15= 1+2+3+4+5= 4+5+6= 7+8
Entonces a 190 hay que restarle bastantes repeticiones.
Existe un concepto que no conocía hasta ayer: la cortesía de un número. No es más que la cantidad de formas en que éste se puede obtener sumando consecutivos. La cortesía es igual al número de divisores impares de un número. Las potencias de 2 tienen cortesía 0 (números maleducados). Yo tuve que crearme mi propio concepto: la cortesía restringida (cr), en este caso restringida al conjunto de los números del 1 al 20. De las 190 posibilidades, cada número resta cr-1, por lo que interesa cualquier número con cr mayor que 1. Estos son los que yo encontré:
9, cr 2, resta 1
15, cr 3, resta 2
18, cr 2, resta 1
21, cr 3, resta 2
25, cr 2, resta 1
27, cr 3, resta 2
30, cr 3, resta 2
33, cr 3, resta 2
35, cr 3, resta 2
36, cr 2, resta 1
39, cr 3, resta 2
42, cr 3, resta 2
45, cr 4, resta 3
50, cr 2, resta 1
51, cr 2, resta 1
54, cr 3, resta 2
55, cr 2, resta 1
57, cr 2, resta 1
60, cr 2, resta 1
63, cr 3, resta 2
65, cr 2, resta 1
66, cr 2, resta 1
70, cr 3, resta 2
75, cr 3, resta 2
77, cr 2, resta 1
81, cr 2, resta 1
84, cr 2, resta 1
85, cr 2, resta 1
90, cr 3, resta 2
91, cr 2, resta 1
99, cr 3, resta 2
105, cr 4, resta 3
108, cr 2, resta 1
117, cr 2, resta 1
119, cr 2, resta 1
126, cr 2, resta 1
132, cr 2, resta 1
135, cr 3, resta 2
143, cr 2, resta 1
150, cr 2, resta 1
165, cr 2, resta 1
189, cr 2, resta 1
Total a restar: 61
190-61=129
129 es la cantidad de números corteses DIFERENTES que podemos formar sumando números consecutivos entre 1 y 20.
EXTRA
Se resuelve la contradicción que tuve antes entre los incisos b) y e):
210-35-46=129
Tengo un errorcito en el b), el 75 no va en la lista de impares. Esto no cambia la respuesta del b), pero lleva a una nueva revisión de la nota EXTRA, que ya no sería cierta a menos que aparezca otro error en mi respuesta o algo que he pasado por alto.
Lo tengo, fue un error al teclear. En el lugar del 75 va el 79. Con esto sí espero que el caso quede cerrado.
Realizando los siguientes cálculos:
1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10 … Σ 1 al 20 = 210
2+3=5, 2+3+4=9, 2+3+4+5=14 … Σ 2 al 20 = 209
Y asi sucesivamente hasta el 20, estos son los números corteses que obtuve:
3-5-6-7-9-10-11-12-13-14-15-17-18-19-20-21-22-23-24-25
26-27-28-29-30-31-33-34-35-36-37-38-39-40-42-44-45-46-48-49
50-51-52-54-55-56-57-58-60-62-63-65-66-68-69-70-72-74-75-77
78-80-81-84-85-87-88-90-91-92-93-95-98-99-100-102-104-105-108-110
112-114-115-116-117-119-120-124-125-126-130-132-133-135-136-138-143-144-145-147
150-152-153-154-155-156-161-162-165-168-169-170-171-174-175-180-182-184-187-189
190-195-200-204-207-209-210
Para un total de 127 números corteses.
NOTA: Un número cortes puede obtenerse por combinaciones diferentes. Si lo que se pide es esta cantidad de combinaciones entonces serían un total de 190.
Estimado profesor. Porque no nos motiva y nos pone un apotegma relacionado con el déficit de generación. Quién quita y alguien nos sorprenda con una solución impensable. Gracias.
e-) Realizando los siguientes cálculos:
1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10 … Σ 1 al 20 = 210
2+3=5, 2+3+4=9, 2+3+4+5=14 … Σ 2 al 20 = 209
Y asi sucesivamente hasta el 20, estos son los números corteses que obtuve:
3-5-6-7-9-10-11-12-13-14-15-17-18-19-20-21-22-23-24-25
26-27-28-29-30-31-33-34-35-36-37-38-39-40-42-44-45-46-48-49
50-51-52-54-55-56-57-58-60-62-63-65-66-68-69-70-72-74-75-77
78-80-81-84-85-87-88-90-91-92-93-95-98-99-100-102-104-105-108-110
112-114-115-116-117-119-120-124-125-126-130-132-133-135-136-138-143-144-145-147
150-152-153-154-155-156-161-162-165-168-169-170-171-174-175-180-182-184-187-189
190-195-200-204-207-209-210
Para un total de 127 números corteses.
NOTA: Un número cortes puede obtenerse por combinaciones diferentes. Si lo que se pide es esta cantidad de combinaciones entonces serían un total de 190.
II. Demenuze: Si la soledad es triste, entonces la ignorancia, estar estancado, no progresar, no mejorar, no analizar la contradicción, deambular en la vida sin sentido, ser inerte es peor que la tristeza, casi un estado depresivo, de melancolía, pena, y todo lo que pueda ser inferior.
Martí analiza que un ser aislado en lo social, sin quien lo apoye (amistades) ni quién le haga contra fuerza intelectual, moral, física, laboral, u otra (enemistades), es un ser oscuro u opaco (si se representara con colores para la felicidad), peor que triste.
II. Continuación
Este apotegma me recuerda a la frase de Sócrates: la verdadera sabiduría está en reconocer la propia ignorancia. Relacionando ambos, opino que la felicidad está en reconocer tanto en amigos como en los enemigos las oportunidades de mejorar o progresar en el talento, bienes, valores, y honores; porque de lo contrario será un ser infeliz, triste, aislado y estancado.
Quizás un apotegma contradictorio es: Mejor sólo, que mal acompañado. Porque propicia la soledad y el aislamiento social, en cambio Martí propone la evolución social del ser, su dinamismo entre individuos acompañantes que puedan compartir o diferir en sus acciones o ideas.
Para el inciso e, mi respuesta es 132.
Acertijandos, queda el miércoles para que vuelvas a leer, pensar y responder.
Los números del 1 al 20 no son el objeto del acertijo, son los elementos formadores. Revisa En amigo PROA. En el inciso e, los números cortés deben ser diferentes. En esos 190 que piensan que hay, les aseguro que algunos aparecen 2; 3 y hasta 4 veces. Revisa tu respuesta amigo Pavel.
Estoy esperando por la solución que anunció el amigo Charlie.
e--)Realizando los siguientes cálculos:
1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10 … Σ 1 al 20 = 210
2+3=5, 2+3+4=9, 2+3+4+5=14 … Σ 2 al 20 = 209
Y asi sucesivamente hasta el 20, estos son los números corteses que obtuve:
3-5-6-7-9-10-11-12-13-14-15-17-18-19-20-21-22-23-24-25
26-27-28-29-30-31-33-34-35-36-37-38-39-40-42-44-45-46-48-49
50-51-52-54-55-56-57-58-60-62-63-65-66-68-69-70-72-74-75-77
78-80-81-84-85-87-88-90-91-92-93-95-98-99-100-102-104-105-108-110
112-114-115-116-117-119-120-124-125-126-130-132-133-135-136-138-143-144-145-147
150-152-153-154-155-156-161-162-165-168-169-170-171-174-175-180-182-184-187-189
190-195-200-204-207-209-210
Para un total de 127 números corteses.
NOTA: Un número cortes puede obtenerse por combinaciones diferentes. Si lo que se pide es esta cantidad de combinaciones entonces serían un total de 190.
I.e. Usando los números naturales del 1 al 20 para crear números cortés, que se pueden interpretar como cadena, secuencias de numéros sumados, desde dos (02) elementos hasta veinte elementos, podemos obtener el
Menor: 3=1+2 (cadena de 2 elementos)
Mayor: 210=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 (cadena de 20 elementos)
Entonces de las 190 combinaciones posibles:
1 cadena de 20 elementos,
2 cadenas de 19,
3 de 18,
4 de 17,
5 de 16,
6 de 15,
7 de 14,
8 de 13,
9 de 12,
10 de 11,
11 de 10,
12 de 9,
13 de 8,
14 de 7,
15 de 6,
16 de 5,
17 de 4,
18 de 3,
y 19 de 2
No resolví otra forma que desarrollarlas para poder ubicar los números naturales que se repiten, tal cual la argumentación del 3 al 20, donde se repiten el 9 y el 18 dos veces, y el 15 tres veces.
Por lo tanto obtuve25 números que se repiten dos veces, 15 números que se repiten tres veces y 2 números que se repiten cuatro veces.
De total de 190 combinaciones se deben restar, 25, 2 veces 15 y 3 veces 2, para la cantidad total de números cortés:
129=190-25-2*15-3*2=190-25-30-6=190-61
I.e. Justificación:
105=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=15+16+17+18+19+20=12+13+14+15+16+17+18=6+7+8+9+10+11+12+13+14+15
45=14+15+16=7+8+9+10+11=5+6+7+8+9+10=1+2+3+4+5+6+7+8+9
135=11+12+13+14+15+16+17+18+19=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=9+10+11+12+13+14+15+16+17+18
99=14+15+16+17+18+19=7+8+9+10+11+12+13+14+15=4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14
90=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12+13+14=16+17+18+19+20
75=13+14+15+16+17=10+11+12+13+14+15=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
70=7+8+9+10+11+12+13=12+13+14+15+16=16+17+18+19
63=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11
54=2+3+4+5+6+7+8+9+10=12+13+14+15=17+18+19
42=13+14+15=9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9
39=4+5+6+7+8+9=12+13+14=19+20
35=17+18=5+6+7+8+9=2+3+4+5+6+7+8
33=3+4+5+6+7+8=10+11+12=16+17
30=4+5+6+7+8=9+10+11=6+7+8+9
27=8+9+10=13+14=2+3+4+5+6+7
21=6+7+8=1+2+3+4+5+6=10+11
Tarea: 25, 36, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 77, 81, 84, 85, 91, 108, 117, 119, 126, 132, 143, 150, 165 y 189 que se repiten dos veces cada uno.
Números ausentes:
2, 4, 8, 16, 32, 64 y 128 por la hipótesis del I.b.
IMPARES: 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 123, 127, 129, 131, 137, 139, 141, 149, 151, 157, 159, 163, 167, 173, 177, 179, 181, 183, 185, 191, 193, 197, 199, 201, 203, y 205 .
PARES: 82, 86, 94, 96, 106, 118, 122, 134, 140, 142, 146, 148, 158, 160, 164, 166, 172, 176, 178, 186, 188, 192, 194, 196, 198, 202, 206, y 208.
Lo que platea la contra hipótesis al ejercicio I.b. que existen más números córtes pares que impares entre los números naturales desde el 1 al 210.