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Solución para el problema de los dos números que faltan en la gráfica

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Este es un ejercicio típico de descubrir la regla de formación de una sucesión numérica. Al combinarlo con una gráfica buscaba ampliar el campo de pensamiento y sobre todo evitar el rechazo automático ante la presencia única de números.

Por lo general se comienza intentando encontrar la regla de formación de la sucesión mediante los operadores elementales de suma y resta; y a veces de multiplicación.

La regla que escogí tiene al 3 y al 2 como base generadora, y la potenciación (exponentes numéricos que espero salgan bien publicados como superíndices) como generadora.

En este caso la expresión que define la regla es 3n – 2n a la derecha y 3n + 2n a la izquierda, para n=2; 3; 4.

Realmente no está difícil, les detallo la solución.

A la derecha:

32 – 22 = 9-4=5; 33 -23 = 27-8=19; 34 -24 =81-16= 65

A la izquierda

32 +22 = 9+4=13; 33 +23 = 27+8=35; 34 +24 =81+16= 97

Hasta el momento en que envié esta solución, solo dos foristas dieron la respuesta correcta, NAM sin explicación y Benjamín brillantemente razonado y explicado. Su identificación Benjamín Marcheco (qué casualidad, ese apellido que no es común, es el de un querido compañero nombrado Miguel, de mi etapa de dirigente estudiantil universitario; su hija es la eminente científica cubana Beatriz Marcheco). Lo interesante es que Benjamín no es matemático, no me quedó claro si ya es licenciado en derecho o está estudiando todavía el pregrado. Estoy seguro que su facilidad para la matemática será un factor de éxito para su desempeño como jurista.

Y para ser consecuente con las interpretaciones creativas, les diré que el resultado da dos números con atributos significativos. El 97 es el mayor número primo menor que 100; y el 65 es la actual edad de jubilación de los trabajadores del sexo masculino.

Hasta el próximo ciberencuentro, para seguir ejercitando el pensar con cabeza propia, divirtiéndonos y aprendiendo.

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Se han publicado 20 comentarios



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  • Felo dijo:

    Muy importante para todos pero mejor para los estudiantes a participar en estos ejercicios

  • Corazón Blanco dijo:

    De verdad que está difícil difícil ufff

  • Sergio dijo:

    Pues creame que intenté hacer algo de eso, pues evidentemente mediante OPERAACIONES SIMPLES, creí que no se llegaba a la respuesta.

    Pero sucede, PROFESOR, que ya mis “conocimientos” sobre INDUCCION COMPLETA son CERO, a esta altura , jajajajajaja, no me aceurdo de NADA.

    Saludos y continuemos,,,,

  • Oskar dijo:

    Gracias por este espacio y apiramos a que se mantenga, me prepara para el día de trabajo cada vez que tengo que razonar temprano
    Una duda Nestor y el número 2 que significa

  • otroquedice dijo:

    Estimado Nestor, esa solución no es “correcta” pues siguiendo su lógica en el sitio donde esta el 2 tendría que ir la potencia 5 de 3 (243) menos la potencia 5 de 2 (32) de manera que en el sitio del 2 seria 211, que por otro lado si sigues la lógica indicada a la izquierda sería entonces otro numero.
    Por lo tanto el planteamiento de su problema no es consistente, a menos que hubiera hecho la aclaración y por lo menos en el planteamiento inicial no me quedo claro.

    Saludos, y no deje de seguir enviando colaboraciones similares … :).

  • David dijo:

    Profesor con total honestidad tengo que decirle que el “2” y el “3” en los extremos del gráfico desvirtuaron mi solución. Quizás los puso con el objetivo de sugerir la regla de conformación del término enésimo de la sucesión, pero francamente me bloquearon por completo. Pues las “flechas” indicaban una sucesión en aumento y te encontrabas al extremo con el 2, lo que no tenía explicación.

    Igual gracias por la sección y por ponernos a pensar. Ojalá se mantenga mucho tiempo.

    Saludos

    • Carlos Sierra dijo:

      Exactamente, creo que no era necesario haberlo presentado así pue creaba mucha confusión. El profesor tiene que pensar que el 99 % de los lectores aquí no somos matemáticos.

  • FL dijo:

    Otro razonamiento, podría ser:
    hacia la izquierda:
    (13 + 3) x 2 = 32 (lo cual seria la cantidad de unidades a sumar para obtener el proximo numero) 32 + 3 = 35. por lo que el numero seria (35 + 13 + 3) x 2 = 102 + 3 = 105 (finalmente)

    hacia la derecha:
    (3 + 5) x 2 = 16 + 3 = 19 (se cumple)
    (19 + 5 + 3) x 2 = 54 + 3 = 57 (el otro numero)

    Esta un poco enredado, pero se cumple en ambos casos y creo que podria ser otra solucion correcta, al final creo que el objetivo es encontrarle un mecanismo que se cumpla para todos donde se pueda inferir los sucesivos numeros… Saludos

    • Corazón Blanco dijo:

      Pues veo esta solución correcta igual.
      Ok Toy de acuerdo

      Sl2

  • pili dijo:

    profe, ¿entonces el 2 solo esta ahi por…..” La regla que escogí tiene al 3 y al 2 como base generadora, y la potenciación (exponentes numéricos que espero salgan bien publicados como superíndices) como generadora.”….3 la base y 2 la potencia?????????, merecíamos una pequeña aclaración para que ese 2 no nos volviera locos……

  • Benjamin Marcheco dijo:

    Saludos Nestor:
    En realidad soy graduado de Derecho, hace ya 15 años. Y tuve el honor de trabajar con la Dra. Beatriz Marcheco Teruel, cuando fungía como asesor jurídico del Centro Nacional de Genética Médica, en 2011- 2013.

    La sección esta es sumamente interesante. La sigo mucho y le felicito por ella; por mover al ejercicio del razonamiento y por la participación que logra.

    Saludos

  • Nel dijo:

    Buenos días, estimado profesor y demás foristas:
    Comparto los criterios de otroquedice y David en cuanto a que, en esencia, la utilización del gráfico, – a mi juicio-, no fue una decisión acertada. Por un lado, un círculo, -simbólicamente hablando-, tiene el poder connotativo de hacer referencia a un ciclo en lo que a números se refiere, lo cual estaría bien, en cuestión de sucesiones numéricas, si estas estuvieran dadas por funciones trigonométricas, mas no es el caso ni estas en la práctica sirven para números enteros por sus casi siempre valores fraccionarios. Por otro lado, y para enredar más el asunto, al gráfico se le añaden líneas que visualmente vinculan a los números en lo que el razonamiento podría llevar a una relación también numérica entre ellos, pero no, nada que ver. En otras palabras, profe, creo que el viejo método de solo poner las secuencias numéricas habría sido preferible al gráfico empleado. Importante, no creo tampoco que hubiera sido necesario incluir el 3 y el 2 en el gráfico, siquiera en la exposición de ambas series numéricas. Por lo demás, muy buena la idea de una sección como esta en Cubadebate.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Para otroquedice, Sergio, David y demás interesados en la solución que planteo. Hay dos tipos básico de inducción matemática, la completa que debe cumplirse al menos para un valor y además que si se cumple para n entonces se cumple para n+1. Es como la ficha del dómino que al caer sobre la siguiente se tumban todas, siempre que la distancia y alineación sea la adecuada. La inducción matemática es incompleta cuando se cumple para un conjunto reducido de valores.
    Yo traté de salirme de la ley de formación habitual. La gráfica no dejaba duda de que no había más números por hallar. Los valores extremos del diámetro vertical daban la pista de la solución, de esta manera todos los números se involucraban en la solución. Fíjense que algunos preguntaban por el papel del número 2. Estoy casi seguro que fue esto lo que llevó a NAM y a Benjamín Marcheco a encontrar la regla correcta.
    En el caso de FL respaldado por Corazón Blanco, considero que es una solución acertada, noten que él utilizó el 2 en su algoritmo. En mi opinión en el algoritmo de Benjamín que es también el mío hay una mayor simplicidad y por tanto belleza matemática. De todas maneras lo bonito del caso es que cada cual puede escoger pensando con cabeza y corazón propio.
    No olviden que estos acertijos deben propiciar una interpretación creativa, al menos es lo que estoy intentando. Por otra parte el buen profesor ha de reconocer cuando comete un error, así que no dudaré en reconocerlo si fuese el caso.
    Muchas gracias por los comentarios abrumadoramente mayoritarios para que esta sección se mantenga. Espero que mis tareas de dirección me permitan seguir conduciendo tan exigente labor. Cuento para ello con ustedes y con mi querida amiga Rosa Miriam.
    Les aseguro que el próximo tendrá un público meta más amplio.

  • Eladio dijo:

    Yo había encontrado la solución que ahora argumenta el señor del Prado, pero nada dije pues, a mi juicio, esa sollución es incorrecta pues NO JUSTIFICA EL NÚMERO 2 (DOS) que aparece debajo del círculo. Se supone que por ambos métodos 3**n-2**n y 3**n+2**n HAY QUE LLEGAR A OBTENER TAMBIÉN EL NÚMERO 2 debajo del círculo, y esa condición, no la cumple la solución del señor del Prado, que no explica cómo diablos obtener mediante ambas series el numerito 2. Y????

    • Corazón Blanco dijo:

      Eladio:

      Ni el 2 ni el 3 son soluciones, solo son las bases de la regla aplicada, lea el párrafo 3 del artículo para que entienda mejor.

      Sl2

  • yo dijo:

    coincido con que se deben dar soluciones posibles siempre que siga un patrón lógico. hay una que es muy clara y efectiva, la solución es sumar los numeros es dirección de las flechas partiendo del 3, multiplicarlo por dos y sumarle el número de atrás, ejemplo.

    [(3+5)x2]+3 por otro lado [(13+3)*2]+3
    =(8*2)+3 =(16*2)+3
    =19 =35
    entonces seguiría
    [(19+5)x2]+5 [(35+13)x2]+13
    =48+5 =96+13
    =53 =109
    Y ESTOS MISMOS NÚMEROS DAN POR OTRAS VIAS DE SOLUCIÓN YA EXPLICADAS ANTERIORMENTE EL DIA DEL LANSAMIENTO.

  • Néstor del Prado Arza dijo:

    Pili, NEL, Eladio y demás foristas. Realmente me hubiera quedado frustrado si ningún forista hubiese llegado a la respuesta que elaboré; hubo dos que la obtuvieron, uno de ellos (Marcheco) con una excelente explicación. Fíjense que no hablo de completar una sucesión, sino de hallar dos números. Por tanto el número 2 de abajo no hay que lograrlo, simplemente utilizarlo. En cuanto a la utilización de la circunferencia tiene una explicación que ahora solamente enunciaré. Hay que saber discriminar entre información útil e información chatarra o inocua. Si logro mantenerme por más tiempo podrán aprender técnicas de pensamiento creativo que lo harán menos inflexibles a la hora de enfrentar un problema con un enunciado polisémico, es decir con varios significados. De cualquier manera perdonen quienes se hayan sentido engañados, cada cual tiene derecho a expresar sus criterios, percepciones y sentimientos.
    Como dice el refrán: “los perros ladran, es señal que cabalgamos”. Espero que a nadie se le vaya a ocurrir que le estoy diciendo perro. Les respeto mucho a todos ustedes
    Una vez más gracias por vuestra complicidad activa.

  • pepe dijo:

    Nestor, en la epoca en que usted estudiaba matematica en la Universidad no habia profesores extranjeros en el claustro? Cuentenos de eso

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Hola Pepe, aunque esta pregunta no conecta mucho con el problema, te respondo que sí había profesores extranjeros. Ahora mismo recuerdo a cuatro: el francés Claude George de Análisis Matemático, una exsoviética la Dra, Pustaloitova de programación de computadora, un exsoviético cuyo nombre no recuerdo, pero que hablaba muy mal el español y era casi una tortura seguir sus explicaciones. Uno célebre que fue también director de la Escuela Celiar Silva, hombre verdaderamente sabio.

  • tony dijo:

    tengo 2…. nunca logre hallar una conexion logica, la verdad es k esta muy bueno pero demasiado dificil… este me supero….

Se han publicado 20 comentarios



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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Es Director de formación y difusión del conocimiento de GECYT (Empresa de Gestión del conocimiento y la Tecnología).

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