Matemática para sudar neuronas y abril haciendo de las suyas
Como algunos me han pedido que plantee acertijos con más calorías matemáticas, voy con dos de estos. Y para balancear, sin que la aritmética esté ausente una colaboración de nuestro amigo RARJ.
I
Un número natural N elevado al cuadrado, ¿se podrá expresar como la suma de los primeros N números impares?
Ejemplos:
5^2= 25= 1+3+5+7+9
10^2=100= 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
Analice y demuestre si es cierto para cualquier N.
II
¿Cuál es el número más fascinante y por qué?
El resultado de dividir 999999 entre 7 es 142857, se dice que ese es el número más fascinante que puedas hallar. Si lo multiplicas por cualquier número que no sea múltiplo de 7, en su resultado se conservan sus dígitos 1 4 2 8 5 7, en cualquier orden, directa o indirectamente.
Ejemplo:
142857 x 6 = 8 5714 2 (Es muy evidente que ahí están los dígitos originales)
Ahora te reto a comprobarlo para los siguientes productos:
23x142857
166x142857
523x142857
III
Acertijo “ABRIL” a lo RARJ
Demuestre con la ayuda de la Matemática y el pensamiento lateral con o sin números, las siguientes afirmaciones:
a Abril es un mes propicio para el comercio
b Abril es un mes de victorias
c Abril y octubre se parecen
d La frase “abril que viene mayo” tiene una significación más allá de la consecutividad de los meses.
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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Parte I
Tiene una demostración visual muy bonita que intentaré explicar con palabras.
Se parte del menor de los cuadrados perfectos: 1.
Dibujamos un cuadrado unidad. Para llegar al siguiente cuadrado perfecto (4) hay que agregarle primero uno en diagonal y luego dos más a cada lado de éste último de forma que compartan un lado con el original.
1+(1+2)=1+3=4=2x2
Para llegar a 9 repetimos, siempre con cuadrados unidad:
(4)+(1+4)=(1+3)+(5)=9=3x3
Así en cada paso se suma el doble del lado del cuadrado de partida más 1, que siempre será impar. Para terminar la demostración solo falta observar que la cantidad de sumandos es igual al lado del cuadrado obtenido.
Parte II
23x142857=3285711
Tomo 3 y 1
3+1=4 y colocando pro queda: 428571
166x142857=23714262
23+62=85 y queda: 857142
523x142857=74714211
74+11=85 y queda: 857142
Un número natural N elevado al cuadrado, ¿se podrá expresar como la suma de los primeros N números impares?
Respuesta: Si.
Bastaría demostrar que a^2= Suma(desde n=1 hasta n=a de) 2*n-1
Osea, a^2=1+3+5+ ... + 2*n-1 con n que va desde 1 hasta a
-No encuentro otra forma de ponerlo-
Demostración usando Inducción Completa como en la vieja escuela.
Paso 1: Demostrar para a=1
MI= 1^2 = 1
MD= 2*1-1=1
MI=MD
Paso 2:
Si se cumple para a=k entonces hay que probar que se cumple para a=k+1 también
Paso 2.1 Sea a=k, entonces según la hipótesis se cumple que:
k^2= 1+3+5+...+ 2k-1
Paso 2.2 Ahora tengo que probar para a= k+1, osea tengo que probar que:
(k+1)^2 = 1+3+5+...+ 2k-1+ 2(k+1)-1
MI= (k+1)^2 = k^2 + 2k +1, (desarrollando el cuadrado de un binomio.
Ahora trabajaremos en el miembro derecho:
MD= 1+3+5+...+ 2k-1+ 2(k+1)-1
MD= 1+3+5+...+ 2k-1 + 2k+2 -1
MD= 1+3+5+...+ 2k-1 + 2k+1
Pero como 1+3+5+...+ 2k-1 = k^2 según la hipótesis (Paso 2.1) lo puedo sustituir.
y el MD me quedaría así:
MD= k^2 + 2k+1
De aquí queda que:
MI=MD= k^2 + 2k +1
L.Q.Q.D
Segundo Ejercicio:
Este es igual que el número 12345679, que también tiene su magia, si lo multiplicamos por los números del tipo 9*d (siéndo d un dígitos del 0 al 9) el resultado será un número con todos los dígitos iguales e iguales a d.
Ejemplo d=3
12345679 x 9*3 = 333333333
Curioso verdad.
Sea SUM la sumatoria desde 1 hasta n de la variable en cuestión.
Es sabido que SUM[i]=n(n+1)/2
Cambiamos de variable para sumar solo i impares i=2j-1
Si i parte de 1, entonces j también, porque j=(1+1)/2 en ese caso.
Entonces SUM[i]=SUM[2j-1]=
=SUM[2j]-SUM[1]
=2n(n+1)/2 - n
=n^2
I no es válido para todo N natural como se dice basta un contraejemplo N=0 al no ser que 0 no se considere como natural
Punto I
Un numero N elevado al cuadrado es igual a la suma de los impares consecutivos.
Punto II
142857x23=3285711=3(28571)1
Sumando 3+1=4
142857x166=23714262=23(7142)62
Sumando 23+62=85
142857x523=74714211=74(7142)11
Sumando 74+11=85
Punto III "Pistas"
a) $L$
b) G-H-O-U-C-C-C
c) D-HORO-N
d) Rubiera
Sea SUM[] la sumatoria desde 1 hasta n de la variable en cuestión.
Es sabido que SUM[i]=n(n+1)/2
Cambiamos de variable para sumar solo i impares i=2j-1
Si i parte de 1, entonces j también, porque j=(1+1)/2 en ese caso.
Entonces SUM[i]=SUM[2j-1]=
=SUM[2j]-SUM[1]
=2n(n+1)/2 - n
=n^2
Saludos Profe
R/
I-...bueno sí:
.....1^2 = 1
.....2^2 = 1+3
.....3^2 = 1+3+5
.....4^2 = 1+3+5+7
.....5^2 = 1+3+5+7+9...osea
.....n^2 = Σ (2i -1)...desde.i=1. hasta n...verdadero para todos los N..
II-...aquí tenemos que encontrar el múltiplo de 7, que resulta evidente que 23 y 166 no lo son pero con 523 veamos:
52-(3x2) = 46...no es divisible por 7...cumplen con la condición...
III-
a)-...p-r-o-p-i-c-i-o=8 letras...c-o-m-e-r-c-i-o=8 letras...8=responsabilidad y riqueza material,punto de unión entre lo espiritual y lo material....
b)-...gloriosa Victoria de Playa Girón
c)-..a-b-r-i-l=5 letras...o-c-t-u-b-r-e=7 letras..5=7=primos....
d)-..agua que va a caer....abril prepara la lluvia de mayo....