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Llenando la caja de esferas y una interpretación creativa

Publicado en: Para Pensar...
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Para pensar.

Terminaremos el mes de noviembre de 2019, en una fecha especial, con un acertijo en que la geometría y el análisis matemático elemental saldrán al combate; y para balancear una interpretación creativa sobre lógica callejera y culta.

I

Debes leer con calma e interpretar correctamente el enunciado. No es un problema de agilidad mental. Ah, la tres tiene su cosa como diría el médico amigo Jose Bryan.

Tenemos una caja recta rectangular de 60 cm de ancho; 24 cm de alto y 30 cm de fondo. Por otra parte tenemos esferas de 3 cm de radio; y esferas de 1 cm de radio. Hay tres preguntas:

  1. ¿Cuántas esferas de 3 cm de radio caben en la caja?
  2. Si tratas de colocar ordenadamente 3500 esferas de 1 cm de radio en la caja. ¿Cuántas esferas sobran o faltan para que la caja se llene?
  3. Si colocas 150 esferas de 3 cm de radio; y 900 esferas de 1 cm de radio. ¿Qué parte de la caja queda vacía?

II

Creatividad sin número. Lee, analiza y responde:

Un hombre con gorra negra llega a un punto de venta, observa que hay una mujer con sombrilla roja esperando en la puerta, y una persona siendo atendida en la ventanilla. El compañero de la gorra le pregunta a la compañera de la sombrilla si ella era la última para ser atendida. Ella le dice: claro que sí, esa pregunta no es necesaria. El compañero se quitó la gorra, la miró fijamente y la retó a buscar al menos tres razones que demuestran que su pregunta sí tenía sentido.

Es necesario tener cultura en las colas cubanas, o para evitar confusiones para los residentes en otros países en las filas.

Ayude a la mujer con sombrilla a encontrar las tres razones o más.

Pero hay otra tarea.

En el enunciado hay dos datos aparentemente innecesarios.

Demuestra tu perspicacia, creatividad y conocimiento de historia para buscarle su razón de ser.

Recuerden que:

“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”.

¡Manos y mente a la obra!

Se han publicado 55 comentarios



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  • cam dijo:

    muy buenas, disculpen la ausencia prolongada mucho trabajo, rápido entrando en el asunto en custión.
    R1-volumen de la caja es bien simple a*b*c=43200, volumen de la esfera bien simple también 4/3*pi*r^3=113.04, considerando pi=3.14 sin mas complicaciones, ahora dividir estos volúmenes es erróneo porque una esfera no llena una caja del todo, siempre quedan espacios que se pueden reducir, pero llevaría a una ecuación diferencial. por tanto la solución es buscar el cubo en donde esta esfera está inscrita, el volumen de dicho cubo es (2*r)^3=216, ahora este cubo cabe 200 veces dentro de la caja.
    R2- bueno restando los volumen disponibles 43200 - volumen de los cubos que contienen las esferas 28000, nos queda disponible 15200 (si no metí ninguna pata por ahí). Dividiendo este valor entre el volumen del cubo digamos que nos faltan una 1900 esferas de 1 cm para llenar la caja
    R3- este es bien fácil también 150 esferas de 3 cm de radio = 32400 y 900 esferas de 1 cm de radio = 7200, siempre es el valor del cubo no de la esfera en si, sumando esto y restando de la caja original, no queda 13600 (casi siempre que se hacen las cuentas bien) esto representa el 31.48% de la caja vacía, 1/3 mas menos.
    sin tiempo para mas
    gracias por el reto

  • JLMS dijo:

    1- 200 esferas de 3 cm de radio
    2- Faltan 1900 esferas para llenar la caja
    3- Queda vacia un 48% de la caja

  • Rodo dijo:

    Bueno, aqui va la respuesta del matemático PEROO...... solo considerando acciones aritméticas y no entrando en el detalle de que cuando se tratan de colocar esferas en una caja ENTRE UNA Y OTRA ESFERA, se desperdicia una cantidad abismal de espacio (volumen) o sea si una esfera es de 1cm3 no quiere decir que 3 quepan exactamente en una caja de 3cm3 de volumen, sin embargo ARTIMETICAMENTE si es posible y aqui es donde se forma lo que se forma, tendríamos que ir a otros mecanismos complicados que mejor ni los describo, hecha la aclaración aqui va la respuesta.

    Volumen axhxf
    ancho alto fondo
    caja 60 24 30 43200 cm3

    Volumen (4πr3)/3
    radio
    Esfera3 3 113.0976 cm3
    Esfera1 1 4.1888 cm3

    1. ¿Cuántas esferas de 3 cm de radio caben en la caja?
    Resp. 381 Vcaja/VEsf1

    2. Si tratas de colocar ordenadamente 3500 esferas de 1 cm de radio en la caja. ¿Cuántas esferas sobran o faltan para que la caja se llene?

    3500x4.1888=14660.8 cm3 43200-14660=28540 cm3 Resp. 28540/4.1888=6813 cajas faltantes para llenarla

    3. Si colocas 150 esferas de 3 cm de radio; y 900 esferas de 1 cm de radio. ¿Qué parte de la caja queda vacía?

    150x113.0976=16964.64 cm3 900x4.1888=628.32 cm3

    16964.64+628.32=17592.96 cm3

    Resp 43200-17592.96=25607.04 cm3 libres o sea el 59% del Volumen Total de la caja

  • m&m dijo:

    1- 200 esferas
    2- faltan 1900 esferas
    3- queda vacia 1/12 (un doceavo) de la caja, algo asi como una "capa" de bolas de 1cm de radio

    • m&m dijo:

      es decir un 8% vacio

    • m&m dijo:

      a!! y del volumen como tal de la caja, un 52% es espacio vacio sin ocupar por las esferas

    • m&m dijo:

      otra respuesta>
      ...supongamos que la caja es una vaca...
      jjj

  • DMF dijo:

    Las tres razones.
    1- Puede que ella estubiera esperando algo o a alguien y no presisamente ser atendida en la cola.
    2- pudira ser que existiera otra persona detrás de ella en lacola y en ese momento no se encontraba presente.
    3-pudiera ser empleada del lugar.

    Los datos innecesarios son la gorra negra y la sombrilla roja

  • Rodo dijo:

    La respuesta para la variante de que se desperdicia mucho espacio guardando esferas dentro de una caja, no es tampoco complicada, más tarde la calcularé, pero para los que quieran anticiparse, el camino es calcular relacionando las dimensiones de la caja o sea el largo el ancho y el alto, cuantas esferas caben pero no por su Volumen, sería acorde a su diámetro las más pequeñas 2, y las otras 6 cm, luego entonces si son de 1cm de radio su diámetro es 2cm (60x24x30), una camada sería 30x12=72 esferas, y de alto 15 esferas (pq 30/2=15), por ende lo máximo serían 72x15=1080 esferas de 1cm3.

    Si son de 3cm de radio, se haría el mismo análisis y serían como máximo pues su diámetro es 6cm, una camada de 10x4=40 esferas de 3cm, que por la altura 40x5=200 esferas (pq 30/6=5).

    Creo que con esta aclaración básica se pueden contestar in dificultad todos los incisos.

  • JP dijo:

    1- En la caja caben 200 esferas de 3 cm de diámetro.
    2- Faltan 1900 esferas de 1 cm de diámetro por colocar en la caja.
    3- Si colocas 150 esferas de 3 cm de radio y 900 esferas de 1 cm de radio. Puedes colocar en la caja además 450 esferas de 1cm de diámetro, es decir te quedaría vacía 3600 cm cúbicos. estaría llena hasta un 91.66 %.

  • MARY dijo:

    los datos unsignificantes son:Que si solo habia una persona en el estanquillo siendo atendida y orta esperando no es necesario explicar que el señor que llega preguntando por el ultimo traia una gorra negra o que la señora que era la ultima tria una sombrilla roja.

  • Fernan dijo:

    Desde “mi” punto de vista los papeles están cambiados:
    Si Ella es la que refiere que la pregunta está de más, Ella es la que debería retarlo a Él a buscar tres razones que apoyaran el motivo de la pregunta realizada por Él, y que Ella consideraba innecesaria, dado que aparentemente, era la única persona en la cola (exceptuando el que estaba en la ventanilla). Ella no tendría “interés” en buscar tres razones para demostrarse a sí misma que estaba equivocada…

    Ahora, independientemente del autor del reto, mis tres razones son:

    1- La gorra y la sombrilla demuestran que el sol estaba irradiando de lo lindo, por lo que había un grupo de personas en una sombra cercana, que al pensar de Él, podían estar en la cola (aunque no fuera así) y por eso preguntó.

    2- Ella estaba esperando fuera del local, en la puerta de entrada y la gestión se realiza en una ventanilla dentro del local, donde el personal es atendido; es posible entonces que dentro del local hubiesen más personas sentadas esperando en cola y la mujer saliera a envenenarse los pulmones con un cigarrillo…el ver más personas dentro esperando, motivó la pregunta de Él.

    3- No por ser la última, menos importante: Él es una persona amable, con cultura y respetuoso que aparte de ser evidente quien es el último en la cola, lo pregunta por disciplina.

    Si ninguna de estas razones fue la que lo motivó entonces diría que se quitó la gorra para que Ella apreciara que Él "no tiene cerebro"…

    Los datos considerados irrelevantes (para el autor pudieran tener determinado sentido) son los colores de gorra y sombrilla. Son los colores identificativos del M-26-7.
    Y el 25 del 11 del 1956 zarpan del puerto de Tuxpan en México, Fidel Castro junto a 81 expedicionarios más, en el yate Granma rumbo a Cuba para iniciar la Revolución.

  • aleph dijo:

    Para contestar la primera las tres preguntas es necesario conocer los volúmenes de los tres cuerpos.
    Cuerpo 1: Caja rectangular (Prisma rectangular) Vp=Ab.h=a.b.c=60*24*30=43200 cm^3
    Cuerpo 2: Esfera de 3 cm de radio Ve=4/3π*r^3=4/3*3.14*3^3=113.1
    Cuerpo 3: Esfera de 1 cm de radio Ve=4/3π*r^3=4/3*3.14*1^3=4.2 cm^3
    Aclaremos que usamos como valor de π; 3.14 y este es un valor aproximado usando las reglas de redondeo, a partir de aquí los valores todos serán aproximados, no exactos.
    1. ¿Cuántas esferas de 3 cm de radio caben en la caja?
    Basta dividir el volumen del prisma entre el volumen de la esfera de 3 cm de radio.
    381 esferas
    2. Si tratas de colocar ordenadamente 3500 esferas de 1 cm de radio en la caja. ¿Cuántas esferas sobran o faltan para que la caja se llene?
    Multipliquemos el volumen de esta esfera por 3500:
    3500*4.2 cm^3=14700 cm^3
    Restemos 43200-14700=28500 cm^3
    Este es el volumen que falta por cubrir, para ver la cantidad de esfera que representa dividimos este volumen entre el volumen de la esfera
    28500/4.2=6785 Esferas faltan para cubrir la caja
    4. Si colocas 150 esferas de 3 cm de radio; y 900 esferas de 1 cm de radio. ¿Qué parte de la caja queda vacía?
    Multipliquemos los volúmenes de las esferas de 3 y 1 cm de radio por 150 y 900 respectivamente:
    113.1*150=16965 cm^3
    4.2*900=3780 cm^3
    Los sumamos: 16965+3780= 20745
    Este es el volumen cubierto, quedarían vacía: 43200-20745=22455 cm^3
    Y calculando el % que esto representa tenemos que está vacía aproximadamente el 51.9 % de la caja.
    Como respuesta a la segunda parte tenemos:
    La pregunta tiene sentido porque somos cubanos y somos únicos en el planeta:
    1. Alguien pudo decirle que le cuidara la cola, que diera el ultimo, que regresaba enseguida.
    2. El ultimo se aburrió de esperar y se fue o encontró algún amigo y entró antes de tocarle.
    3. Porque el punto de venta está por cerrar y sencillamente no permite que la muchacha dé el ultimo,
    Los datos si son muy necesarios, todos los que hemos hecho cola en cuba sabemos que el procedimiento es el siguiente: preguntamos el ultimo (si tenemos la suerte de encontrarlo) pasamos a la siguiente pregunta: ¿Detrás de quien vas? Y la respuesta es: detrás del de la gorra negra… la sombrilla roja… etc., etc., siempre usando una característica de la ropa o el físico. Y esto lo aplicamos con dos o tres de delante de la cola para evitar o minimizar los “enredos”

  • humberto torres hung dijo:

    1-en la caja caben 200 esferas de 3 cm. Si dividimos las dimensiones entre el diametro de la esfera nos queda que 60/6=10, 24/6=4 y 30/6=5. Entonces 10*5*4=200.
    2-si organizas 3500 esferas de 1cm de radio te faltarían 1900 para que la caja se llene.
    En la caja caben 5400 esferas de 1cm de radio.(2cm de diametro). 5400-3500=1900.
    3-con las 150 llenarias la base de la caja 3 veces, (en la base de la caja caben 50 esferan de 3cm de radio). Con las 900 esferas de 1cm se llenarian 2 partes de la ultima parte de la caja ya que la caja le caben 4 pisos de 50 bolas de 3cm y ya tenemos ocupadas 3. una parte en las de 3cm representa 3 partes de 1cm , o sea que se ocuparon las 2/3 partes de esa ultima etapa.
    si tenemos en cuanta quedo libre 1/3 del ultimo cuarto, 1/3*1/4=1/12 que es lo que queda libre de la caja o sea alrededor de 8.333333333......%

    Entre las razones pueden estar:
    1-que sea la mujer del hombre y ya le halla dicho que iban a comprar y lo este esperando.
    2-que solo este mirando.(muy normal en CUBA)
    3-que no se atienda a mas nadie porque es hora de almorzar.
    4-que sea familia del responsable del punto de venta y venga a verlo a el.

    Sobre la historia, con la sombrilla roja y la gorra negra, la bandera del M-7-26.

  • Alejandro dijo:

    Buenos días profesor del Prado. Estuve un tiempo fuera de circulación por razones de trabajo, pero ya estoy de nuevo dispuesto a participar de esta columna que reúne a grandes mentes de la actualidad. Tratando de responder hoy su acertijo, no demoro las respuestas.
    I
    1-)Para conocer cuántas esferas de 3cm de radio caben en la caja debe cumplirse la condición de que el volumen total de las esferas sea menor o igual al de la caja, entonces partiendo de la igualdad, arribo que caben 382 esferas de 3cm de radio
    4/3de N PI*R al cubo debe ser igual a l*a*h de la caja, donde N es la cantidad de esferas.
    2-)De la misma manera procedo a determinar cuántas esferas de 1cm de radio faltan o sobran para completar el volumen de la caja, dividiendo este último por el volumen total de las 3500 esferas de 1cm, entonces resulta que el volumen de la caja es 3 veces superior al de la 3500 esferas, o sea 43200cc que es el volumen de la caja es 3*14653cc que es el volumen de las 3500 esferas, por lo que faltan para completar la capacidad de la caja 7000 esferas de 1cm de radio.
    3-)Aplicando el mismo método hallé el volumen de 150 esferas de 3cm de radio que al sumarlo con el de las 900 esferas de 1cm de radio y hallar la diferencia con la capacidad de la caja, encontré que quedan 22 476cc de la caja por llenar.
    II
    Razones para preguntar el último en una fila o cola.
    -el hecho de que se esté al final no significa que sea el último
    -el hombre es educado y no adivino
    -para precisar, no sea que al venir otra persona, ella le dé el último y se forme el desorden
    -el hombre no sabía si ella esperaba en la cola o esperaba a la persona que estaba siendo atendida.
    *Los datos aparentemente innecesarios son:
    -los colores de la gorra y la sombrilla
    -quitarse la gorra.

  • ly dijo:

    Respuestas
    I(

    1- 200
    2- 1900
    3- los espacios entre las esferas y la parte de afuera de la caja

    II(
    1-Relmente la mujer no tiene que fundamentar la pregunta de el, sino la respuesta de ella, pero bueno de todas formas contesto que en la cola habia mas personas, el de la ventanilla, la de la sombrilla roja, el de la gorra negra
    ademas es posible que la cola para el ventanillo, quiza no fuera la misma en la puerta

  • Obed Pérez dijo:

    Respuesta
    I-1 200
    I-2 1900
    I-3 12%

    • JP dijo:

      no hermano queda libre un 8.34 % aproximadamente

    • JP dijo:

      Y no voy a ponerme a discutir contigo, espera que den la respuesta porque tú nunca pierdes como enriquito jajaja

      • Obed Pérez dijo:

        Tienes razón quise decir una doceaba parte de la caja. Quien eres? que es realmente el 8.3333%

    • JP dijo:

      Un 8.3333333% Obed

    • JP dijo:

      no hermano yo me equivoqué queda vacía la caja un 52 %

  • Alejandro dijo:

    Profesor del Prado, me va a disculpar por el error cometido, pero es que hacía tiempo no empleaba la mente en los acertijos y problemas. Realmente las esferas no ocupan un volumen regular en comparación con la caja, por lo que la comparación es entre los cubos en que ellas se circuscriben, y para hallar los volúmenes de esos cubos se considera una arista igual al diámetro de cada esfera, V=diámatro de cada esfera elevado al cubo. El proceder es el mismo que describí en mi respuesta. Como es lógico hay diferencia en los resultados por el error cometido. Se me ocurre otra cosa, si las esferas son rígidas hasta aquí no hay dificultad, pero si son deformables, no es necesario realizar el cálculo de los volúmenes de los cubos que las circunscriben. Profe considere esta salvedad a la primera respuesta. Saludos

  • Fernan dijo:

    1. ¿Cuántas esferas de 3 cm de radio caben en la caja? R/ Aproximadamente 380 esferas (382).

    2. Si tratas de colocar ordenadamente 3500 esferas de 1 cm de radio en la caja. ¿Cuántas esferas sobran o faltan para que la caja se llene? = Faltarían aproximadamente 6810 esferas para llenarla.

    3. Si colocas 150 esferas de 3 cm de radio; y 900 esferas de 1 cm de radio. ¿Qué parte de la caja queda vacía? = El 52 %, es decir la mitad.
    Notas:
    - Como se trata de esferas, la forma de “acomodarse” de éstas no es perfecta, si las tiramos dentro de la caja de forma desorganizada el número puede variar, “andando la carreta, se acomodan las calabazas”.
    - Si las organizamos concienzudamente una esfera encima de la otra, la caja contendría exactamente 200 esferas de 3 cm de radio o 5400 esferas de 1 cm de radio.

  • Pavel Milanes Costa (CO7WT) dijo:

    Considerando que las medidas de la caja sean las internas o que la pared es infinitesimal mente delgada.

    1 - Caben de 3 cm Radio... 200 esferas bien organizadas en una matriz simétrica

    2 - Caben de 1 cm Radio... 5400 esferas, tienes solo 3500 esferas por lo tanto faltarían 1900 esferas para llenar la caja bien organizadas en una matriz simétrica

    3 - En teoría el 100% de la caja queda llena, pero depende en realidad de como se organicen las esferas si en el fondo y en camas parejas y hacia un lado pegadas las restantes de 3cm R y encima las de 1cm R cubriendo el área restante (o hacia un lado las de 3cm R y en el espacio restante las de 1cm R) en el primer caso si se acomodan de manera pareja queda el 100% de la caja llena, en el segundo... no he calculado, me voy a almorzar... pero me parece a ojo de buen cubero que si, si caben 100%... serían 7 camas de 20 y una de 10 que son dos hileras de 5 a lo alto... si, cubren parejo por lo que si.. 100% en ambos casos de ordenar adecuadamente las bolas...

    Ahora si lo que se busca en el área que queda llena de aire "vacía" sería cosa de calcular la diferencia entre el área usando cubos y esferas para las cantidades específicas de cada tipo de bolas.... me fui a almorzar...

  • mary.hernánd. dijo:

    SALUDOS, AL MENOS AGRADEZCO DECIR ALGUNA OPINIÓN AUNQUE CAREZCA DE LÓGICA, ME GUSTA EL NEGRO Y EL ROJO Y SU RELACIÓN CON EL MOVIMIENTO 26 DE JULIO, CON LA SALIDA DE FIDEL DE TUXPAN Y LOS EXPEDICIONARIOS, CON RELAJAR TENSIONES HOY, RÍAN ESTABA LLOVIENDO Y ESTABAN SÓLOS, CÓMO PODEMOS SABER QUE LE PIDIÓ 3 RAZONES PARA JUSTIFICAR LO QUE NO ERA NECESARIO PREGUNTAR. GRACIAS.

  • Laurien dijo:

    Muy buenas tardes!!!, aquí estamos nuevamente, intentándolo una vez más. Saludos para usted y la familia, desde Cienfuegos.
    ***
    Teniendo en cuenta que las esferas tienen un radio de 3 cm y por tanto un diámetro de 6 cm, podemos decir que caben 200 esferas de 3 cm de radio en la caja.

    La caja admite 5400 esferas de 1 cm de radio = 2 cm de diámetro, por tanto si se colocan 3500 esferas de 1 cm de radio, faltan para completar la caja 1900 esferas de 1 cm de radio.

    Ahora, teniendo en cuenta solo la parte de la caja donde caben esferas grandes y pequeñas, la parte vacía sería un doceavo (1/12).

    En centímetros tendríamos 3600 cm^3 vacíos, en los que se pueden poner esferas.
    Y por otra parte, teniendo en cuenta que el volumen de las esferas de 3 cm de radios es 113.097, multiplicado por 150 esferas, tendríamos 16964.60 ocupados. A ellos se les suman los 4.19 cm de una esfera de 1 cm de radio multiplicado por 900 esferas (3769.91). La suma de las dos cantidades es 20734.51, lo cual sustraído del volumen total de la caja (43200) sería 22465.49, lo que representa aproximadamente un espacio total vacío de 52% de la caja.
    ****
    3 Variantes:
    Existe otro último pero por algún motivo se encuentra ausente en ese momento y la señora está marcando la cola.
    La señora no es parte de la cola, solo espera que la puerta se abra y ella pueda entrar o que alguien salga a verla.
    La señora no tiene que ver con la puerta ni la cola, solo está esperando a alguien en ese lugar utilizado como punto de encuentro.
    Con los datos sin razón de ser estoy algo perdida, pienso que son el color de la gorra y el color de la sombrilla: negro y rojo. Disculpe profe mi falta de creatividad, por más que me esfuerzo solo vienen a mi mente la bandera del 26 de julio, el asalto al cuartel Moncada en Santiago de Cuba.

    • Néstor del Prado Arza dijo:

      Estás cumpliendo tu compromiso querida Laurien.

  • Marga dijo:

    Razones que demuestran que la pregunta tenia sentido:
    1. Si la mujer esta con una sombrilla, es posible que sea que este lloviendo y está esperando que escampe.
    2. La señora viene con el señor que esta siendo atendido , y lo esta esperando.
    La señora se enteró de que dentro de un rato van a sacar algún articulo deficitario (pongamos por ejemplo, detergente) y esta esperando que salga a la venta para ser de las primeras.

    Los datos correspondientes a la gorra, su color, y al color de la sombrilla no son necesarios.

    • DHU dijo:

      1) 200 cm 3
      2) 1900 esferas faltan
      3) 15200 cm 3 para que se llene o 52 %

  • Sandor dijo:

    Ejercicio 1:

    Pregunta 1- Caben 200 esferas de 3cm de radio. 10 de ancho por 5 de fondo por 4 de alto.

    Pregunta 2- Faltan 1900 para que se llene la caja. En la caja caben un total de 5400 esferas de 1 cm de radio. 30 de ancho por 15 de fondo por 12 de alto.

    Pregunta 3- Queda vacia el 3.3 % del volumen de la caja sin contar los espacios vacios entre las esferas. Queda espacio solo para 450 esferas de 1 cm de radio. Calculé el volumen total de la caja 60x24x30 y el volumen del espacio vacío 2x24x30. Por regla de 3 calculé el % que representa el espacio vacío.

    Saludos

  • Sandor dijo:

    Ejercicio 2:

    Pregunta 1- Es necesario preguntar el último en la cola por razón de educación y orden. En ese momento habían pocas personas, pero en segundos pueden aparecer varias, por lo que si no se deja claro el orden de la cola luego las cosas se complican. Otra razón es que ambas personas usan aditamentos para protegerse del sol, por lo que puede que estén solo cerca del lugar las personas que están próximas a recibir el servicio y el resto de la cola espere en un lugar donde se protege del sol. Un tercer motivo pudiera ser que la señora no forme parte de la cola y sólo está vendiendo jabitas. El rojo y el negro son los datos que aparentemente son insignificantes en el ejercicio y que pueden estar relacionados con el movimiento 26 de Julio y la figura de Fidel que por estos días se recuerdan por las fechas históricas del yate Granma y el fallecimiento del Comandante.

  • Yojaner dijo:

    Pregunta 1

    1- Caben 200 de 3 cm (10 de largox4 de altox5de ancho)
    2- Faltarian 1900 de 1 cm para llenar la caja
    3- Si pone 150 de 3 cm en el fondo llegarias a una altura de 18 cm si encima ponemos 900 de 1 cm llegariamos a una altura de 22 cm solo faltando 2 cm para completar o sea tendriamos liber 2 cm de la haltura de la caja (2/24=1/12=0.083=8.3%)
    Pd imaginando q tenemos una placa de 0 dimenciones encima de las bolas de 3 cm para q las de 1 cm se mantengan uniforme encima de las de 3 cm

  • Sandor dijo:

    Ejercicio 1

    Pregunta 3- La parte de la caja que queda vacía es el 8.3 % del volumen. Rectifico mi respuesta anterior. Calculo el volumen de la caja 60x24x30 y luego el volumen vacío 60x2x30. Por regla de 3 determino el %. En mi anterior respuesta confundí ancho por alto y por eso obtuve otro resultado

  • RARJ dijo:

    -1-
    1.1) Para alcanzar buena nota
    En la pregunta primera
    Colocaré cada esfera,
    Una encima de la otra.
    La caja tiene sus cotas,
    Las esferas igualmente
    Y como diametralmente
    De seis centímetros son,
    La caja se llena con
    Doscientas exactamente.
    -2-
    1.2) Si las esferas que tiene
    Son chicas, según mi cuenta
    Faltarán mil novecientas
    Pa´que la caja se llene.
    1.3) El inciso tres contiene
    Las esferas combinadas,
    Que si están organizadas
    Dentro de la caja entera,
    Caben todas, de manera
    Que no sobra casi nada.
    -3-
    Ayudando a la señora
    De la historia yo diría
    Que en primer lugar no había
    Más nadie en aquella cola.
    Que ella se encontraba sola
    Allí en la Puerta de Entrada,
    Con sombrilla preparada
    Para cubrirse del sol.
    Por eso es que, profesor,
    La pregunta es cuestionada.
    -4-
    Voy a defender ahora
    Al hombre, quien no sabía
    Para cuanta gente había
    “MARCADO” aquella señora.
    En el tema de una cola
    La cosa no es tan sencilla,
    Y en cuanto a lo que no brilla
    Como dato de valor,
    Yo pienso que es el color
    De la gorra y la sombrilla.
    NOTA: En el inciso 3, si la respuesta no es que: “La parte de la caja que queda vacía es la que no se llena”, entonces en la caja queda espacio todavía para 10 esferas de 3 cm de radio y 180 de 1 cm. Incluso si comprobamos que entre 4 esferas grandes cabe 1 pequeña habría espacio para 84 esferas más de 1 cm.

    • Fernan dijo:

      ¡¡¡APRETASTE!!! amigo mío...
      ¿qué tiempo te toma componer algo así?

  • Rolando dijo:

    Hola, he estado fuera por algun tiempo porque labores de trabajo me han impedido dar seguimiento

    Tres razones que hacen válida la pregunta en la cola

    -Puede que la mujer de la sombrilla viniese junto con la persona que estaba siendo atendida
    -Si la mujer tenía la sombrilla abierta, es porque estaba al sol o estaba lloviendo, pero si el hombre tenía la gorra puesta, entonces lo más probable es que estuviesen al sol y puede que otras personas de la cola, estuviesen a la sombra en otro lugar cercano.
    -Puede que alguien haya marcado y le diese a guardar su turno en la cola a la mujer.

    La caja con esfera lleva mas coco, pues las capas de esferas se superponen. Luego pienso en ello a ver si me da tiempo a responder

    • Rolando dijo:

      Pregunta 1-1)
      Si las esferas son de 3 cm de radio, tienen 6 cm de diámetro. Entonces:
      60 cm / 6 cm = 10 esferas
      30 cm/ 6 cm= 5 esferas
      Por tanto, la base de la caja lleva 50 esferas
      Si las esferas se colocaran en el espacio del cubo imaginario que las contiene y estos cubos no se solapan, entonces:
      24 cm / 6 cm= 4 esferas
      Por lo que la caja se llenaría con 10*5*4= 200 esferas
      Pero, en la realidad, la forma más eficiente de colocarlas, es superponiendo las capas y, entonces, las esferas formarían pirámides cuadradas de arista a= 6 cm y altura H=4,24 cm. Por tanto, si la altura de la caja es de 24 cm y los radios de la primera y última capa suman 6 cm, entonces:
      24-6=18 y 18/4,24 = 4,24 cm
      Por tanto, podrían acomodarse 5 capas, tres de 50 esferas y dos de 36, que suman 50*3+36*2= 222 esferas sin que sobresalgan de la caja.

      Pregunta 1-2)
      Las esferas de 1 cm de radio tienen 2 cm de diámetro y, siguiendo el mismo razonamiento del inciso 1:
      La capa inferior tendría 60/2*30/2=30*15= 450 esfera.
      Las capas alternas tendrían 29*14= 406 esferas
      La pirámide cuadrada en este caso tendría una arista de 2 cm y una altura de 1,414 cm
      Ahora, si la altura de la caja es de 24 cm y los radios de la primera y última capa suman 2 cm, entonces:
      24-2=18 y 18/1,414 = 12,73 cm
      Por tanto, la caja llena llevaría 13 capas, siete con 450 esferas y seis con 406 esferas, que suman 450*7+406*6= 3150+2436= 5586 esferas, por lo que, al acomodar 3500 esferas de 1 cm de radio, faltarían 2086 esferas para llenar la caja.

      Pregunta 1-3)
      Bueno esta pregunta pudiese responderse diciendo que la parte de la caja que queda vacía al acomodar 150 esferas de 3 cm de radio y 900 esferas de 1 cm de radio, es la de arriba + los intersticios. Pero supongo que no es lo que se quiere cuando se aclara que no es un problema de agilidad mental.
      Si fríamente analizamos poner debajo dos capas de 450 esferas pequeñas y tres capas de esferas grandes, tendríamos ocupados 22 cm de los 24 que tiene de altura la caja, y podemos asegurar que al menos quedan vacíos 2 cm de la parte superior de la caja. Pero en la práctica me llevaría mucho tiempo calcularlo. Esta se la dejo a otro.

    • Rolando dijo:

      Vaya que estoy oxidado y el corta y pega me jugó una mala en la pregunta 1-2.
      Es evidente que 24-2 no es 18 y, por tanto, el resultado final cambia un poco.

      24-2=22 y 22/1,414 = 15,56 cm
      Por tanto, la caja llena llevaría 16 capas, ocho con 450 esferas y ocho con 406 esferas, que suman 450*8+406*8= 3600+3248= 6848 esferas, por lo que, al acomodar 3500 esferas de 1 cm de radio, faltarían 3348 esferas para llenar la caja.

    • Rolando dijo:

      Vuelvo a publicar pues dice que se recibió mi respuesta a la pregunta 1 y no sale publicada

      Pregunta 1-1)
      Si las esferas son de 3 cm de radio, tienen 6 cm de diámetro. Entonces:
      60 cm / 6 cm = 10 esferas
      30 cm/ 6 cm= 5 esferas
      Por tanto, la base de la caja lleva 50 esferas
      Si las esferas se colocaran en el espacio del cubo imaginario que las contiene y estos cubos no se solapan, entonces:
      24 cm / 6 cm= 4 esferas
      Por lo que la caja se llenaría con 10*5*4= 200 esferas
      Pero, en la realidad, la forma más eficiente de colocarlas, es superponiendo las capas y, entonces, las esferas formarían pirámides cuadradas de arista a= 6 cm y altura H=4,24 cm. Por tanto, si la altura de la caja es de 24 cm y los radios de la primera y última capa suman 6 cm, entonces:
      24-6=18 y 18/4,24 = 4,24 cm
      Por tanto, podrían acomodarse 5 capas, tres de 50 esferas y dos de 36, que suman 50*3+36*2= 222 esferas sin que sobresalgan de la caja.

      Pregunta 1-2)
      Las esferas de 1 cm de radio tienen 2 cm de diámetro y, siguiendo el mismo razonamiento del inciso 1:
      La capa inferior tendría 60/2*30/2=30*15= 450 esfera.
      Las capas alternas tendrían 29*14= 406 esferas
      La pirámide cuadrada en este caso tendría una arista de 2 cm y una altura de 1,414 cm
      Ahora, si la altura de la caja es de 24 cm y los radios de la primera y última capa suman 2 cm, entonces:
      24-2=22 y 22/1,414 = 15,56 cm
      Por tanto, la caja llena llevaría 16 capas, ocho con 450 esferas y ocho con 406 esferas, que suman 450*8+406*8= 3600+3248= 6848 esferas, por lo que, al acomodar 3500 esferas de 1 cm de radio, faltarían 3348 esferas para llenar la caja.

      Pregunta 1-3)
      Bueno esta pregunta pudiese responderse diciendo que la parte de la caja que queda vacía al acomodar 150 esferas de 3 cm de radio y 900 esferas de 1 cm de radio, es la de arriba + los intersticios. Pero supongo que no es lo que se quiere cuando se aclara que no es un problema de agilidad mental.
      Si fríamente analizamos poner debajo dos capas de 450 esferas pequeñas y tres capas de esferas grandes, tendríamos ocupados 22 cm de los 24 que tiene de altura la caja, y podemos asegurar que al menos quedan vacíos 2 cm de la parte superior de la caja. Pero en la práctica me llevaría mucho tiempo calcularlo. Esta se la dejo a otro.

  • Fernan dijo:

    Rectificando mi respuesta en el punto 2:

    2. Si tratas de colocar ordenadamente 3500 esferas de 1 cm de radio en la caja. ¿Cuántas esferas sobran o faltan para que la caja se llene?

    R/ Si es ORDENADAMENTE (en este punto entiendo que sea una esfera encima de la otra, formando “capas” en la caja) serían menos las esferas faltantes para llenar la caja: = Faltarían exactamente 1900 esferas de 1 cm de radio para llenarla.

  • Casanova dijo:

    1. Caben 382 esferas
    2. Sobran 6834 esferas
    3. Queda libre aproximadamente 1/2 de la caja
    a. Las reglas de la cola indican que siempre se pregunta el último aunque solo haya una persona en la cola
    b. Es muy posible que esa mujer no estuviera allí para comprar
    c. Es posible que la mujer no fuera la última y le estuviera aguantando la cola a alguien
    1. Las 2 cosas aparentemente sin necesidad son la gorra y la sombrilla

  • RARJ dijo:

    1.3) Volumen Caja = a x b x c = 60 x 30 x 24 = 43200 cm3
    Volumen Esferas r=3: (4 x pi x r˄3) / 3 = 113.1 cm3 x 150 esferas = 16965 cm3
    Volumen Esferas r=1: (4 x pi x r˄3) / 3 = 4.19 cm3 x 900 esferas = 3771 cm3
    Parte Vacía = Volumen Caja - Volumen Esferas r=3 - Volumen Esferas r=1
    Parte Vacía = 43200 – 16965 – 3771 = 22464 cm3
    Si 43200 cm3 representa el 100 % del espacio total de la caja, entonces 22464 cm3 representa el 52 %, que es la parte de la caja que queda vacía. (PARECÍA QUE NO PERO SI, MÁS DE LA MITAD DE LA CAJA QUEDA VACÍA).

  • Yosue dijo:

    Saludos a todos, en especial al profesor nestor..
    Estamos de vuelta.

    La Matemática en Acción
    Hacer un análisis por volumen no daría el valor más correcto, tenemos que pensar que ubicar esferas no es lo mismo que ubicar cajas, ya que las esferas se pueden ubicar de distintas formas porque pueden correrse a los espacios vacíos que dejan las vueltas de las otras esferas, entonces tenemos que probar si es mejor ponerlas una al lado de la otra como si fueran cubos o como si fueran triángulos donde en alternamdo las filas se van poniendo una entre las otras dos.

    Respuesta 1: Para el primer ejercicio tenemos que hacer 2 análisis, primero saber cuantas esferas caben como si fueran cajas (de lados a=diámetro de la esfera=6), entonces serían:
    Cant1= (60/6) * (30/6) * (24/6) =10*5*4= 200

    Por otro lado tenemos que si la ubicamos formando triángulos, entonces se podrían ubicar capas (digamos igual al fondo) de ((6+(n-1)*sqrt(27)) filas donde las filas impares contendrían 10 esferas y las pares 9 comenzando por 10. Para los valores dados en la base de la caja caben no más de 5 filas con estas casracterísticas para un total de 48 esferas. Siguiendo el mismo procedimiento en las capas superiores se alternaría comenzando con filas de 9 y luego de 10 para un total de 47 esferas.
    Al finalizar ubiraríamos 4 filas alternas de bases y me daría un total de 48*2 + 47*2 = 190 esferas.

    Comparando con el datos Cant1 vemos que es mayor, eso quiere decir que las esferas de 3 cm es mejor ubicarlas como si fueran cubos y cabrían 200 esferas.

    Para el segunto ejemplo las cosas cambían.
    Respuesta 2: Siguiendo el mismo proceder anterior tendría que hacer el anális para cuando se ubican en forma de caja y cuando se ubican en forma de triángulo.

    En forma de caja sería
    Cant1= (60/2) * (30/2) * (24/2) =30*15*12= 5400
    sin embargo en forma de triángulo, sería: se podrían ubicar capas (digamos igual al fondo) de ((2+(n-1)*sqrt(3)) filas donde las filas impares contendrían 30 esferas y las pares 29 comenzando por 30. Para los valores dados en la base de la caja caben no más de 17 filas con estas casracterísticas para un total de 502 esferas. Siguiendo el mismo procedimiento en las capas superiores se alternaría comenzando con filas de 29 y luego de 30 para un total de 501 esferas.
    Al finalizar ubiraríamos 13 filas alternas de bases y me daría un total de 502*7 + 501*6 = 6520 esferas.

    Por tanto para este caso es mejor ubicarlas en forma de triángulos, luego si se ubican 3500 esferas de 1cm de radio, faltarían 3020 esferas de 1 cm de radio.

    Respuesta 3:
    Esta pregunta puede tener 2 interpretaciones, voy a tomar una de ellas. Para calcular la parte que queda vacía sería calcular el (volumen de la caja y restarle (la suma de los volúmenes de las 150 esferas de 3 cm y las 900 de 1cm )) y luego dividirlo entre el volumen de la caja- en este caso tengo en cuenta el volumen que queda entre ellas, pero la pregunta no especifíca, por tanto "Al machete.."
    Vcaja =60*30*24=43200
    Vesfera=4/3*Pi * r^3
    Ve3= 4*(3.1416*(3)^3)/3=113.0976
    Ve1=4*(3.1416*(1)^3)/3=4.1888
    Vesferas= Ve1+Ve2=117.2864
    Vacío= Vcaja-Vesferas=-43082.7136
    Parte= Vacío/Vcaja= 43082.7136/43200=0.997285037037037
    redondeandola podríamos decir que solaqmente se ha ocupado un 1% de la caja, faltando el 99% por llenar.

    Cratividad.
    r1: El compañero de la gorra que pregunta, puede ser distinto al de la gorra negra que llegó al inicio, por tanto hay más.
    r2: La Compañera de la sombrilla no fuera a comprar nada, simplemente estaba de pasada, por tanto no era la última.
    r3: La de la sombrillas pudiera ser la portera, idem.
    r4: la compañera de la sombrilla ya hubiera comprado y estuviera de salida, idem.

    • Yosue-Rectificando dijo:

      Fe de errata.

      Parte= Vacío/Vcaja= 43082.7136/43200=0.997285037037037
      redondeandola podríamos decir que solaqmente se --** está vacío **-- un 1% de la caja.

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Néstor del Prado

Néstor del Prado

Director del Sello Editorial Academia de la Empresa de Gestión del Conocimiento y la Tecnología (GECYT).

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