Cubadebate

La cantidad de triángulos presentes en la figura es: 48

Cómo obtuve el resultado?
En la figura se puede apreciar un triángulo de base 5, es decir, compuesto por 5 triángulos de base 1 unidad, en posición “UP” (Con uno de sus vértices apuntando verticalmente hacia arriba. En caso contrario le llamaremos: triángulos en posiciٌón "DOWN“, es decir, con uno de sus vértices apuntando verticalmente hacia abajo).
Sumemos todos los triángulos UP de una unidad: 5 triángulos UP de la base + 4 triángulos UP del nivel inmediato superior + 3 triángulos UP del nivel inmediato superior + 2 triángulos UP del nivel inmediato superior + el último triángulos UP del nivel inmediato superior (En este caso, es el 1er triángulo UP de una unidad ubicado en la cima). Esto daría como resultado: 5+4+3+2+1=15, que no es otra cosa que la sumatoria de 5.
Cabe recordar que: La sumatoria de un número N se obtiene de la siguiente manera: N*(N-1) / 2. Por ejemplo: Sumatoria(5) = 5*6 / 2 lo cual da como resultado 15.
Ahora bien, ya sumamos todos los triángulos UP de una unidad. Sumemos ahora todos los triángulos DOWN de una unidad partiendo de la cima hasta llegar a la base: 2 triángulos DOWN + 3 triángulos DOWN del nivel inmediato inferior + 4 triángulos DOWN del nivel inmediato inferior (En este caso, es la base del triángulo general). Esto daría como resultado: 4+3+2+1=10. Es decir, Sumatoria de 4. Por lo tanto, el total de triángulos de base una unidad (Sumando los que son UP y DOWN) es: 25
Si repetimos este procedimiento, para los triángulos de base 2, es decir, cuya base está formada por 2 triángulos de una unidad cada uno, obtenemos como resultado que la cantidad de triángulos UP de base 2 es Sumatoria de 4 = 10 y la cantidad de triángulos DOWN de base 2 es Sumatoria de 2 = 3. Por lo tanto, el total de triángulos de base 2 unidades (Sumando los que son UP y DOWN) es: 13
Si repetimos este procedimiento, para los triángulos de base 3, es decir, cuya base está formada por 3 triángulos de una unidad cada uno, obtenemos como resultado que la cantidad de triángulos UP de base 3 es Sumatoria de 3 = 6 y la cantidad de triángulos DOWN de base 3 es CERO (No existen triángulos DOWN de base 3). Por lo tanto, el total de triángulos de base 3 unidades es: 6
Si repetimos este procedimiento, para los triángulos de base 4, es decir, cuya base está formada por 4 triángulos de una unidad cada uno, obtenemos como resultado que la cantidad de triángulos UP de base 4 es Sumatoria de 2 = 3. Se puede observar claramente, que no existen triángulos DOWN de base 4.
Por último, y como es evidente, sólo existe un triángulo de base 5 (Conformado por 5 triángulos de una unidad) y evidentemente está en posición UP. Este es el triángulo más grande de todos. O, si lo prefieren así: “el de afuera”.

Finalmente:
La cantidad total de triángulos de la figura se obtiene de sumar: La cantidad de triángulos base 1 + la cantidad de triángulos base 2 + la cantidad de triángulos base 3 + la cantidad de triángulos base 4 + la cantidad de triángulos base 5. O sea, 25 + 13 + 6 + 3 + 1 = 48 triángulos en total.

***AHORA BIEN***
Resultaría mucho más interesante, buscar una Fórmula, Procedimiento u Algoritmo que nos permitiera calcular la cantidad de triángulos que hay en una figura similar a esta, pero de Base N
Me aventuraré por tanto, a proponer una solución a este problema más general!!!
Si realizamos el mismo análisis anterior, para todos los triángulos de base N, tomando desde N=1 hasta N=7, obtendremos lo siguiente:

N = 1
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 1 Triángulo

N = 2
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (2) = 3 Sumatoria (1) = 1
2u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 4 + 1 = 5 Triángulos

N = 3
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (3) = 6 Sumatoria (2) = 3
2u => Sumatoria (2) = 3
3u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 10 + 3 = 13 Triángulos

N = 4
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (4) = 10 Sumatoria (3) = 6
2u => Sumatoria (3) = 6 Sumatoria (1) = 1
3u => Sumatoria (2) = 3
4u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 20 + 7 = 27 Triángulos

N = 5
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (5) = 15 Sumatoria (4) = 10
2u => Sumatoria (4) = 10 Sumatoria (2) = 3
3u => Sumatoria (3) = 6
4u => Sumatoria (2) = 3
5u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 35 + 13 = 48 Triángulos

N = 6
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (6) = 21 Sumatoria (5) = 15
2u => Sumatoria (5) = 15 Sumatoria (3) = 6
3u => Sumatoria (4) = 10 Sumatoria (1) = 1
4u => Sumatoria (3) = 6
5u => Sumatoria (2) = 3
6u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 56 + 22 = 78 Triángulos

N = 7
Base Triángulo UP Triángulo DOWN
1u => Sumatoria (7) = 28 Sumatoria (6) = 21
2u => Sumatoria (6) = 21 Sumatoria (4) = 10
3u => Sumatoria (5) = 15 Sumatoria (2) = 3
4u => Sumatoria (4) = 10
5u => Sumatoria (3) = 6
6u => Sumatoria (2) = 3
7u => Sumatoria (1) = 1
TOTAL => 84 + 34 = 118 Triángulos

***AHORA BIEN***
Si analizamos detenidamente los 7 procedimientos anteriores, podremos identificar fácilmente una manera de obtener la cantidad de triángulos existentes para N > 7.
A manera de información, les muestro el total de triángulos desde N=1 hasta N=20

N=1 (1 Triángulo)
N=2 (5 Triángulos)
N=3 (13 Triángulos)
N=4 (27 Triángulos)
N=5 (48 Triángulos) ***CORRESPONDE AL PROBLEMA PLANTEADO***
N=6 (78 Triángulos)
N=7 (118 Triángulos)
N=8 (170 Triángulos)
N=9 (235 Triángulos)
N=10 (315 Triángulos)
N=11 (411 Triángulos)
N=12 (525 Triángulos)
N=13 (658 Triángulos)
N=14 (812 Triángulos)
N=15 (988 Triángulos)
N=16 (1188 Triángulos)
N=17 (1413 Triángulos)
N=18 (1665 Triángulos)
N=19 (1945 Triángulos)
N=20 (2255 Triángulos)

***AHORA BIEN***
Coloquemos en orden ascendente los totales obtenidos desde N=1 hasta N=11 y llamémosle a esta fila: NIVEL 1. En el NIVEL 2, tenemos la diferencia entre cada par de elementos consecutivos del NIVEL 1. De igual manera hacemos con el NIVEL 3, el NIVEL 4 y el NIVEL 5 (Como se muestra debajo). Con lo cual, evidentemente hemos encontrado la ley de formación que rige la sucesión de números formada por el NIVEL 1.
De la cual, sólo vamos a hacer referencia a los 4 primeros niveles.

N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9 N=10 N=11 …

1 5 13 27 48 78 118 170 235 315 411 => NIVEL 1
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
4 8 14 21 30 40 52 65 80 96 => NIVEL 2
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
4 6 7 9 10 12 13 15 16 => NIVEL 3
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
1 2 1 2 1 2 1 2 1 => NIVEL 4
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 => NIVEL 5

***AHORA BIEN***
Asumamos la siguiente notación: S nivel(base), es la suma de todos los triángulos correspondientes a un NIVEL y a una base determinada, es decir: N

EJEMPLO:
Por debajo de N=2, tenemos lo siguiente:
S1(2) = 5 (La Suma de los triángulos del NIVEL 1, para N=2 es 5)
S2(2) = 4 (La Suma de los triángulos del NIVEL 2, para N=2 es 4)
S3(2) = 4 (La Suma de los triángulos del NIVEL 3, para N=2 es 5)
S4(2) = 1 (La Suma de los triángulos del NIVEL 4, para N=2 es 1)

Tomemos como ejemplo N=5 (El de la Figura), por si no se entendió el ejemplo anterior:
Por debajo de N=5, tenemos lo siguiente:
S1(5) = 48 (La Suma de los triángulos del NIVEL 1, para N=5 es 48)
S2(5) = 21 (La Suma de los triángulos del NIVEL 2, para N=5 es 21)
S3(5) = 9 (La Suma de los triángulos del NIVEL 3, para N=5 es 9)
S4(5) = 2 (La Suma de los triángulos del NIVEL 4, para N=5 es 2)

***AHORA BIEN***
Un procedimiento GENERAL para obtener estas Sumas o Totales de triángulos, para la columna N del gráfico, sería más o menos así:

S1(n) = S1(n-1) + S2(n-1) + S3(n-1)
S2(n) = S2(n-1) + S3(n-1)
S4(n) = S4(n-1) + (-1)n-1
S3(n) = S3(n-1) + S4(n)

Tomando como “Casos Bases” (De los cuales partimos), los siguientes:

S1(1) = 1, S1(2) = 5, S2(2) = 4, S3(2) = 4, S4(2) = 1

Por último, cómo graduado de informática que soy, aquí les dejo el algoritmo de programación, realizado mediante el lenguaje C#, con el cual se le da solución a este problema de obtener cuántos triángulos hay en una figura similar a la presentada en este problema, pero de base N.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace TriangulosBaseN
{
class Program
{
static int[] TotalTriangulosBaseN(int n)
{
if (n == 1)
return new int[] { 1, 0, 0, 0 };

if (n == 2)
return new int[] { 5, 4, 4, 1 };

int[] beforeColumn = TotalTriangulosBaseN(n - 1);
int[] columnN = new int[4];
columnN[0] = beforeColumn[0] + beforeColumn[1] + beforeColumn[2];
columnN[1] = beforeColumn[1] + beforeColumn[2];
columnN[3] = beforeColumn[3] + (int)Math.Pow(-1, n - 1);
columnN[2] = beforeColumn[2] + columnN[3];
return columnN;
}

static void Main(string[] args)
{
int n;
Console.Write("Teclee la Base N: ");
n = int.Parse(Console.ReadLine());
int[] columnN = TotalTriangulosBaseN(n);
Console.WriteLine("Total de triángulos: " + columnN[0]);
Console.ReadLine();
}
}
}

***AHORA BIEN***
A manera de curiosidad y haciendo uso de este programa computacional, obtuve la cantidad de triángulos que posee a su vez un triángulo de base 1000 y uno de base 5000. Los resultados fueron los siguientes:

Para N = 1000 => (250625250 Triángulos)
Para N = 5000 => (1200855178 Triángulos)

NOTA: Desde mi punto de vista, el algoritmo que aquí les propongo se puede optimizar un poco más, en aras de obtener la solución de una forma más directa. Mediante este, es necesario obtener las n-1 soluciones anteriores a la solución deseada, lo cual disminuye en cierta medida la eficiencia del mismo.

*****EXORTO A LOS DEMÁS LECTORES A BUSCAR UNA SOLUCIÓN MÁS ÓPTIMA*****

***AHORA BIEN***..........He repetido varias veces esta frase, en aras de no hacer tan tediosa esta extensa explicación. Sin embargo, creí conveniente brindar la mayor cantidad de detalles posible, con vista a facilitar su comprensión.

MUCHAS GRACIAS CUBADEBATE

son 48 triángulos

Dice mi mamá que tiene 78 años que hay 53 triángulos. Ella contó usando una pluma y una hoja doblada a la mitad.Dice mi hijo que 46 y según mi cuenta 48. Todos esperamos la respuesta.

BD a todos, efectivamente coincido son 48 Triángulos, y realmente no se trata de agilidad mental, en todo caso agilidad visual u óptica, en el fondo se resuelve con la Matemática, lo demostró el egresado de la UCI. Saludos a todos

46

Ladron es el sujeto y hay, para mi 25 triangulos, tengo la duda de que pudiera ser un solo triangulo, sera.

A simple vista pude ver 38.

Bueno cuento 26!

creemos que hay 39 triángulos.

Sujeto: Ladrón (que es el capturado) jejeje

Hay 40 triángulos si la vista no me falla!

Sujeto- un policía

El sujeto es ´´un policía´´ y encontré 45 triángulos. el primero estaba trabajoso no difícil, quizás me faltaron triángulos o quizás me exedí.

Hay 50 triangulos y el sujeto es el ladrón.

35 triangulos
un policia--- sujeto