Vuelven Rafael y Antonio, ahora con el 26 y las interpretaciones creativas
Comienzo por reiterar que estoy bien de salud, la semana pasada no salió mi publicación por un problema de comunicación. Vuelve el debate matemático generador de conocimientos entre Rafael y Antonio, y tú de juez. Además, dos interpretaciones creativas.
I
Rafael y Antonio que estaban por lados diferentes vuelven a encontrarse, sin perder esa fructífera manía de la controversia cognitiva que genera o enriquece el conocimiento. Y como se acerca el 26 de julio, ese número será protagónico.
a. Rafael le dice a Antonio, te reto a ver cuál de los dos llega primero al número 26. Cada uno demuestra numéricamente que llega primero. ¿Puedes encontrar un argumento que pudo utilizar cada uno de ellos?
b. Antonio le dice a Rafael. Si elevas un número natural al cubo y le restas el propio número, obtendrás un número que siempre será divisible por los dos dígitos del 26. ¿Será verdad? Ayuda a Antonio, para los cuatro primeros números naturales a partir de 2.
c. El profesor amigo que pasaba por allí, le dice: lo bueno es demostrar que eso se cumple para todo número natural
Ayuda a los dos, que no dieron pie con bola.
II
Interpretaciones creativas de las siguientes situaciones:
a. La caja cúbica le dijo a la pelota; sin mí tú no eres nada. Y la pelota le respondió algo que dejó boquiabierta a la caja cúbica. ¿Qué le habrá dicho?
b. Un estudiante universitario, estaba sentado solitario en un banco de la Plaza Ignacio Agramonte antes Plaza Cadenas de la UH. De pronto dos lindas muchachas se le sentaron a cada lado; pero él no se inmutó. Siguió con la vista puesta en las grandes columnas de la fachada de la Facultad de Matemática y Computación.
Una de le dijo de forma altanera, “oye, no ves que tienes a dos lindas cubanas encerrándote entre paréntesis”. El joven estudiante se quitó sus espejuelos, limpió los cristales, y luego de una mirada fulminante para cada una, volvió a su estado de éxtasis.
Ahora te toca dar una explicación creativa.
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada en Internet o de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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a. La caja cúbica le dijo a la pelota; sin mí tú no eres nada. Y la pelota le respondió algo que dejó boquiabierta a la caja cúbica. ¿Qué le habrá dicho?
Le dijo: como sin tí no soy nada, abre, que me voy... y entonces la caja tuvo que abrir la boca.
Saludos, profe, qué bueno que está bien, no soy muy buena en matemáticas, pero esto de la caja y la pelota me trajo esa respuesta a la mente, no sé cuán creativa sea, pero es la mía.
Parte I.b)
Hay que demostrar que n^3-n es siempre múltiplo de 2 y 3. (6=2x3)
Esta expresión se descompone como n(n+1)(n-1)
La puedo reescribir como:
(n-1)n(n+1)
3 naturales consecutivos!
Entre 3 números consecutivos siempre habrá un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3 o uno que sea múltiplo de ambos.
Demostrado!
Vía larga
MÚLTIPLO DE 2
n(n+1) siempre es múltiplo de 2: cuando n es impar, n+1 es impar...y viceversa. Además es oblongo. Sin importar los demás factores, el resultado será par.
MÚLTIPLO DE 3
Se demuestra por inducción matemática.
Lo voy a hacer breve, con poco rigor matemático.
Al ayudar a Antonio con los 4 primeros números naturales estamos estableciendo la base inductiva.
Al llegar al paso inductivo,
(n+1)^3-(n+1) = n^3-n+3n(n+1)
Nuestra expresión inicial más otra, que es múltiplo de 3.
Por tanto, también es múltiplo de 3.
Hola mi gran amigo Nestor. Esta vez completare sólo una de las dos interpretaciones creativas de la siguiente manera y a mi estilo de terror y misterio:
El joven no podía creer lo que vio. Solo se quedó inmóvil para disimular su nerviosismo ante todas las personas que lo rodeaban ya que las dos lindas chicas eran las mismas que, unos meses antes, él y su amigo habían violado, asesinado y enterrado en el patio de los Laureles
Me dejaste sin palabras jjj, excelente. *O*
Honor que me hace usted.
Escribir es mi pasión y el recibir comentarios como el suyo me motiva a seguir creando nuevas historias y relatos. Espero que sigamos encontrándonos en esta columna y que la disfrute tanto como yo. Un cordial saludo desde La Habana, Cuba
Corrijo la parte múltiplo de 2:
Si n es par, n+1 es impar...y viceversa
Parte I.a)
Antonio, que gusta de los cubos, propuso
3^3 - 1=26
Rafael, que prefiere los cuadrados, propuso 5^2 + 1=26
Parte II
a)Y sin mí solo eres una caja de pelota vacía. Además, yo contengo a π... Y la caja quedó boquiabierta con cada historia contada por la pelota sobre la ubicuidad de la constante en el universo.
Parte II
b)El estudiante, para el cual el concepto de razón áurea era nuevo, lo veía empleado a la perfección en el estilo neoclásico de la arquitectura de la facultad. Al ser interrumpido, buscó por un momento esa belleza en las caras de las chicas, sin resultado. Y continúo absorto su contemplación.
I.a. un argumento con el cuál ambos pueden llegar al número 26 rápidamente es usar operadores matemáticos básicos (suma, resta, multiplicación y división) con números enteros menores al 26.
Por ejemplo, Rafael, cuyo dígito numerológico es 19+1+6+1+5+12=4+4=8, y 8=2^3, entonces le dice a Antonio: 8*3=24 y 24+2=26.
Antonio, le responde a Rafael: tu nombre tiene 6 letras y el mío 7, veamos quién de los 2 llega más rápido al 26, si 6+7=13 y 13*2=26.
I.b. 2^3=8, 8-2=6, 6÷6=1, 6÷2=3
3^3=27, 27-3=24, 24÷6=4, 24÷2=12
4^3=64, 64-4=60, 60÷6=10, 60÷2=30
5^3=125, 125-5=120, 120÷6=20, 120÷2=60
6^3=216, 216-6=210, 210÷6=35, 210÷2=105
7^3=343, 343-7=336, 336÷6=56, 336÷2=168
8^3=512, 512-8=504, 504÷6=126, 504÷2=252
9^3=729, 729-9=720, 720÷6=120, 720÷2=360
En nombre de Antonio, gracias!
Ojo 504/6 es 84
I.b. correcto Charlie, 504÷6=84.
Aunque coloqué de último 504÷2=252, realizaba esta operación primero, y mentalmente luego hice 504÷4=126 que es la mitad del anterior.
1a) Rafael: 3 consonantes 3 vocales 1 letra repetida
3^3-1=26
Antonio: 7 letras 4 vocales 2 letras repetidas
7x4-2=26
I.c. sean las operaciones:
I. A^3=B, II. B-A=C, III. C÷2=D, IV. C÷6=E, tal que D y E son números naturales:
Los números naturales podemos dividirlos en pares e impares.
Un número (A) par multiplicado por otro par, resulta en un par. Por lo tanto, la potencia cúbica de un número (A) par resulta en un número (B) par. Y la resta de dos números (B-A) pares resulta en otro número par (C).
Este número (C) par es divisible entre 2 siempre. Y para ser divisible entre 6, además de ser divisible entre 2 también debe ser divisible entre 3.
Un número (A) impar multiplicado por otro impar, resulta en un impar. Por lo tanto, la potencia cúbica de un número (A) impar resulta en un número impar (B). Y la resta de dos números (B-A) impares resulta en un número (C) par.
Este número (C) par es divisible entre 2. Y para ser divisible entre 6 debe ser divisible entre 3 además de ser divisible entre 2.
I.c. continuación
La multiplicación es una suma abreviada, y la potenciación es la multiplicación abreviada. Por lo que podemos expresar las operaciones como A^3=B, B-A=C, A^3-A=A*A*A-A=A*(A*A-1)=A*(A^2-1)=C. Por lo tanto, C es divisible entre 3 y entre 6, A es divisible entre 3 o si el factor A^2-1 también es divisible entre 3. Observemos algunos ejemplos:
2^3-2=2+2+2+2-2=2+2+2=3*2, 2^2-1=3
3^3-3=3+3+3+3+3+3+3+3+3-3=3+3+3+3+3+3+3+3=8*3, 3^2-1=8
4^2-1=15, divisible entre 3, 15-3=12 divisible entre 3
5^2-1=24, divisible entre 3, 24-15=9 divisible entre 3
6 divisible entre 3
7^2-1=48 divisible entre 3, 48-24=24 divisible entre 3
8^2-1=63 divisible entre 3, 63-48=15 divisible entre 3
9 divisible entre 3
10^2-1=99 divisible entre 3, 99-63=36 divisible entre 3
11^2-1=120 divisible entre 3, 120-99=21 divisible entre 3
12 divisible entre 3
13^2-1=168 divisible entre 3, 168-130=48 divisible entre 3
14^2-1= 195 divisible entre 3, 195-168=27 divisible entre 3
Todo número par, no divisible entre 3, al elevarse al cuadrado resulta en número par, y con la resta de 1 (impar) resulta en un número impar.
Todo número impar, no divisible entre 3, al elevarse al cuadrado resulta en un número impar, y con la resta de 1 (impar) resulta en un número par.
La tabla de multiplicar del número 3 alternativa un número impar y otro par consecutivamente (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...) Ya que la suma de números impares resultar en par y de número impar con par resulta impar.
Si restamos los resultados de números consecutivos [(A+1)^2-1]-(A^2-1) resulta en número divisible entre 3. Por lo que este factor que se puede ir sumando desde el primer número entero positivo 2, hace que cada resultado siguiente sea divisible entre 3 también.
Del infinito de números naturales positivos, excluyendo el 0, un tercio exacto son divisibles entre 3. Agrupando tercios (1,2,3/ 4,5,6/ 7,8,9/ 10,11,12/ 13,14,15/16,17,18/ ...), Estos subconjuntos siempre van a tener un número par divisible entre 2, un número par o impar divisible entre 3, y otro número impar primo en algunos casos.
I.c. para este ejercicio escribí de forma detallada el análisis sistemático a la demostración solicitada, lo que hace complejo la comprensión de los argumentos sustentadores.
Pero trataré de resumir:
Es fácil observar que para cualquier número par o impar el resultado de A^3-A siempre será divisible entre 2 por resultar en un número par.
Luego de observar el comportamiento de los resultados, y llevarlo a expresiones más simples, aparecen factores divisibles entre 3 que son un poco más complejo de explicar su lógica. Pero básicamente es la aparición de ese factor multiplicador 3 veces que lo hace divisible entre 6, para poder completar la maravillosa fecha del 26.
II.a. La pelota le responde a la caja: ciertamente para que yo pudiera nacer, tú debiste nacer primero, porque eras la forma más elemental en el espacio tridimensional, pero apuesto que no consideras que yo soy la perfección de tí, porque todos mis puntos están equidistante a mi centro, lo que permite una resistencia igual a cualquier fuerza aplicada en cualquier dirección, mientras que tú dependes de la dirección en que apliquen la fuerza por mínima que sea. Y otra cosa también es que tú te consideras un hexaedro, y yo tengo infinitos lados.
II.b. Como estoy entre paréntesis, puedo resolver primero lo interior antes de preocuparme por lo exterior. O tengo el espacio suficiente para que lo externo no sea alterado.
En el primer caso, primero sigo contemplando la belleza de las columnas de la fachada de la facultad de matemática y computación en la universidad de la Habana, y luego me ocupo de la belleza fuera del paréntesis.
En el segundo caso, la belleza externa al paréntesis no se altera por contemplar las columnas de la fachad. Yo continuo dentro del paréntesis con lo que estaba haciendo.
Punto UNO
a-) Rafael: 3 consonantes, 3 vocales, 1 letra repetida 3^3-1=26
Antonio: 7 letras, 4 vocales, 2 letras repetidas 7x4-2=26
b-) Si se cumple la condición de que un número elevado al cubo menos el popio número da como resultado un número que es divisible por 2 y por 6.
c-) Por Teoremas y Reglas Matemáticas.
Punto DOS
-a-
La caja cúbica así
Dijo a la pelota un día:
_En la Tienda, amiga mía,
Tú no eres nada sin mí_.
La pelota pensó allí
Un segundo y respondió:
_Te equivocas, sin mi no
Vales nada y al final
Aunque tú te portes mal
Quien coge palos soy yo_.
-b-
El estudiante, ese día,
Quería de cierta manera,
A su bellísima escuela,
Sacarle una poesía.
Vió a las chicas que tenía
A su lado, y al notar
Que no paraban de hablar
Las requirió muy molesto:
_ ¡MUSAS, pónganse pa´esto!
¡Y empiecen a trabajar! _.
I.c. sean las operaciones:
I. A^3=B, II. B-A=C, III. C÷2=D, IV. C÷6=E, tal que D y E son números naturales:
Los números naturales podemos dividirlos en pares e impares.
Un número (A) par multiplicado por otro par, resulta en un par. Por lo tanto, la potencia cúbica de un número (A) par resulta en un número (B) par. Y la resta de dos números (B-A) pares resulta en otro número par (C).
Este número (C) par es divisible entre 2 siempre. Y para ser divisible entre 6, además de ser divisible entre 2 también debe ser divisible entre 3.
I.c. continuación
Un número (A) impar multiplicado por otro impar, resulta en un impar. Por lo tanto, la potencia cúbica de un número (A) impar resulta en un número impar (B). Y la resta de dos números (B-A) impares resulta en un número (C) par.
Este número (C) par es divisible entre 2. Y para ser divisible entre 6 debe ser divisible entre 3 además de ser divisible entre 2.
La multiplicación es una suma abreviada, y la potenciación es la multiplicación abreviada. Por lo que podemos expresar las operaciones como A^3=B, B-A=C, A^3-A=A*A*A-A=A*(A*A-1)=A*(A^2-1)=C. Por lo tanto, C es divisible entre 3 y entre 6, A es divisible entre 3 o si el factor A^2-1 también es divisible entre 3. Observemos algunos ejemplos:
I.a) Ambos podían haber utilizado: 26^1 = 26
Pero:
RAFAEL = 18 + 1 + 6 + 1 + 5 + 12 = 43 = 4 + 3 = 7; y RAFAEL tiene 6 letras: (7*(6-2) - 2 = 26
ANTONIO = 1 + 14 + 20 + 15 + 14 + 9 + 15 = 88 = 8 + 8 = 16 = 1 + 6 = 7; y ANTONIO tiene 7 letras: (7 + 7)*2 – 2 = 26.
I.b) Es cierto: (n^3 – n) = m
Cuando n = 2, m = 6: (2^3 – 2) = 8 – 2 = 6 [El 6 es divisible por 6 (6/6 =1) y por 2 (6/2 =3)]
Cuando n = 3, m = 24: (3^3 – 3) = 27 – 3 = 24 [El 24 es divisible por 6 (24/6 =4) y por 2 (24/2 =12)]
Cuando n = 4, m = 60: (4^3 – 4) = 64 – 4 = 60 [El 60 es divisible por 6 (60/6 =10) y por 2 (60/2 =30)]
Cuando n = 5, m = 120: (5^3 – 5) = 125 – 5 = 120 [El 120 es divisible por 6 (120/6 =20) y por 2 (120/2 =60)]
I.c) En efecto, para todo n (numero natural entero), si elevas al cubo y restas el propio número, obtendrás siempre un número par, que por tanto, será divisible por los dos dígitos del 26 (2 y 6)
(n^3 – n) = m, donde m siempre será un número que termina en digito 0, 2, 4, 6 u 8.
Siendo a, b y c números naturales, es conocido que:
- La suma o resta de dos números pares resulta en un número par: a Par ± b Par = c Par;
- La suma o resta de dos números impares da como resultado un número impar:
a Impar ± b Impar = c Impar
- Primero el resultado de la operación (n^3 –n) asume valores pares e impares alternativamente, según el valor de n:
a) Para n impar, el resultado de (n^3) resulta un número impar, que al restarle el propio impar n da como resultado un número (m) par. Ejemplos: Para n=3, (3^3 – 3) = 24, y para n = 5, (5^3 -5) = 120.
b) Cuando n es par, el resultado de n^3 resulta un número par, que al restarle el propio n par da como resultado un número (m) par. Ejemplos: Para n=2, (2^3 – 2) =6; y para n=4, (4^3 - 4) = 60
2^3-2=2+2+2+2-2=2+2+2=3*2, 2^2-1=3
3^3-3=3+3+3+3+3+3+3+3+3-3=3+3+3+3+3+3+3+3=8*3, 3^2-1=8
4^2-1=15, divisible entre 3, 15-3=12 divisible entre 3
5^2-1=24, divisible entre 3, 24-15=9 divisible entre 3
6 divisible entre 3
7^2-1=48 divisible entre 3, 48-24=24 divisible entre 3
8^2-1=63 divisible entre 3, 63-48=15 divisible entre 3
9 divisible entre 3
10^2-1=99 divisible entre 3, 99-63=36 divisible entre 3
11^2-1=120 divisible entre 3, 120-99=21 divisible entre 3
12 divisible entre 3
13^2-1=168 divisible entre 3, 168-130=48 divisible entre 3
14^2-1= 195 divisible entre 3, 195-168=27 divisible entre 3
I.c. continuación 2
Todo número par, no divisible entre 3, al elevarse al cuadrado resulta en número par, y con la resta de 1 (impar) resulta en un número impar.
Todo número impar, no divisible entre 3, al elevarse al cuadrado resulta en un número impar, y con la resta de 1 (impar) resulta en un número par.
La tabla de multiplicar del número 3 alternativa un número impar y otro par consecutivamente (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...) Ya que la suma de números impares resultar en par y de número impar con par resulta impar.
Si restamos los resultados de números consecutivos [(A+1)^2-1]-(A^2-1) resulta en número divisible entre 3. Por lo que este factor que se puede ir sumando desde el primer número entero positivo 2, hace que cada resultado siguiente sea divisible entre 3 también.
Del infinito de números naturales positivos, excluyendo el 0, un tercio exacto son divisibles entre 3. Agrupando tercios (1,2,3/ 4,5,6/ 7,8,9/ 10,11,12/ 13,14,15/16,17,18/ ...), Estos subconjuntos siempre van a tener un número par divisible entre 2, un número par o impar divisible entre 3, y otro número impar primo en algunos casos.