Arturo Presa, Sarah Duyos, Jorge Ramírez y el profesor Néstor del Prado.
Pues bien llegamos al tiempo de la respuesta. El chícharo fue el primer ejercicio del segundo día de la XVIII Olimpiada de Matemática realizada en julio de 1976 en Austria. Tuve el honor de ser el profesor acompañante y jefe de la delegación de los tres concursantes cubanos. Dos varones y una hembra. Sarah María Duyos, y Jorge Ramírez de la Vocacional Lenin; y Arturo Presa del IPU Cuqui Bosch de Santiago de Cuba. Mi sincero homenaje a estos tres excelentes estudiantes de entonces.
No pocos se quedaron con la variante más elemental de la descomposición en 988 números 2, es verdad que el producto es muy grande, pero el problema requiere que se demuestre que sea máximo. Para sorpresa mía Oro y Pioneer quedaron atrapados en esta variante. Las calculadoras científicas en las computadoras nos permiten ir por el método directo de cálculo, pero no siempre ese método nos asegura la unicidad de la respuesta; hay que apelar a los razonamientos y la aplicación de la teoría matemática. Hubo algunos que intentaron aplicar Matemática Superior, pero fallaron al seleccionar el modelo. Isbel sí se acercó en el razonamiento.
La respuesta rigurosa sería la siguiente:
Supongamos que a(i)<= a(i+1), es decir es una sucesión monótona creciente.
- Si a1=1 entonces a1+a2=a2+1 y a1*a2=a2; y a2+1>a2
a1+a2>a1*a2
No produce el máximo
- Si ai-aj>=2 entonces ai-1>=aj+1.
(ai-1)*(aj+1) = ai*aj + (ai-aj) -1>= ai*aj +2-1>=ai*aj+1>ai*aj
No produce el máximo - Si ai>=5 entonces 2*(ai-2)= ai+ (ai-5)+1>=ai+1>ai
No produce el máximo
De 1, 2 y 3 llegamos a la conclusión que ai ={2,3,4} Pero 4=2*2 Por tanto nos quedaría 2 y 3.
2*k+3l = 1976
Pero 2+2+2=3+3, implicará que 2*2*2=8< 3*3=9. Es decir el 3 genera mayor producto que el 2.
Con k= 3 o 2, no hay solución; entonces la ecuación queda así: 2+3l=1976
Bastaría con despejar el valor de l
l = (1976-2)/3 = 658
Por tanto el valor máximo sería 2*3658 o lo que es igual 2*3^658
Escrito en notación exponencial sería aproximadamente
1.7652881309265063132182469752768e+314
En que 2+3*658 = 1976
Hubo excelentes respuestas, como la pormenorizada de Sofía Albizu-Campos con su tributo a la exhaustividad y a la inducción matemática. Por cierto para quien no lo haya descubierto Sofía fue la ganadora de la medalla de Oro en la reciente Olimpiada Centroamericana de Matemática realizada en El Salvador. Ella obtuvo el Oro perfecto, al ser la única que alcanzó todos los puntos en disputa.
Muy buenas las respuestas de RT, de FerminRH, Dick y Luís Bérriz.
Hubo otra respuesta que recibí directamente del amigo Ricardo Bringas del CIGB y “exleninista” de clase superior. Por su sencillez la reproduzco:
Hola Nestor,
Sobre el problema de hoy la respuesta es 2*3^658.
La forma más sencilla que encuentro de explicarlo es la siguiente:
Está claro que como 1976=2*988, el máx. seria al menos 2^988.
Ahora, como 2*2*2<3*3, sustituyendo 2^987 por 3^658 se obtiene la respuesta.
Con ningún otro entero mayor que 3 se obtendría un producto mayor ya que
Por ejemplo, 4 se pudiera siempre sustituir por 2*2, 5 es menor que 2*3,
6 es menor que 3*3, 7 que 3*2*2 y así sucesivamente.
Esta es la forma más sencilla que he encontrado de explicarlo al gran público.
Saludos
Bringas
Bringas me informó además que su hija también estuvo entre los tres concursantes que se ganaron el derecho a participar, pero el presupuesto solo permitió la participación de Sofía, afortunadamente con actuación perfecta. Sofía me escribió este mensaje:
Profe
Sí, el resto del equipo como le había comentado éramos los tres de la Lenin, Juliet
Bringas, Alex Sierra y yo. Solo fue el Cuba1 y estábamos muy entusiasmados por ir los tres porque con seguridad hubiéramos podido alcanzar la Copa El Salvador y quién sabe si hacerle competencia a México por el primer lugar por equipo. Fue triste que ellos no pudieran ir.
Saludos
Sofi
Mi reconocimiento también para Juliet Bringas y Alex Sierra. Me gustaría mucho que piensen y publiquen sus respuestas.
Ojalá algunos con poder de decisión hagan algo por cambiar esta situación para tiempos futuros.
II
Como pudieron comprobar era un caramelito, matemáticamente se trataba de una sucesión geométrica de razón igual a 2. Por tanto el día antes al 20 llegó a cubrir la mitad. Creo que nadie cayó en la trampita.
III
En cuanto a la expresión del gran Eliseo Diego,
“Y no es por azar que nacemos en un sitio y no en otro, sino para dar testimonio”.
Si la analizamos con lógica descartesiana podríamos reprobarla, ya que no nacemos en un sitio para dar testimonio, sino que al nacer en un sitio somos entes generadores de testimonio que es otra cosa. Pero como bien comentaron varios acertijandos, el poeta escribe con el don de la metáfora que ilumina. Les sugiero leer los comentarios de Jose R Oro, de DML, de calle 12, de Pioneer,…
Efectivamente hay que leer más allá de las líneas. Eliseo con tal expresión nos invitó a creer en toda la carga humana que deja, aunque no siempre sea conocida y mucho menos reconocida, el paso por la vida. Hay miles de testimonios que por su grandeza, para bien o para mal no se pueden ignorar; hay millones que pasan inadvertidos, aunque en su localidad prístina o sucesiva son también dignas de divulgar.