A pesar de las vacaciones de algunos y el calor para la mayoría, este acertijo logró retar la curiosidad y la perseverancia de ustedes que pensaron y escribieron respuestas consistentes y creativas. Vamos por parte:
I
Se dice que un número natural de k dígitos es narcisista si al sumar la potencia k de sus k dígitos da como resultado el propio número. A los efectos de este acertijo debemos ceñirnos al sistema decimal de numeración, es decir base 10.
Voy con un ejemplo para los cuasi alérgicos a la Matemática. El 153, que tiene tres dígitos es narcisista, ya que 1^3+5^3+3^3= 1+125+27= 153.
Ya el amigo Oro advirtió que el 29 llegaría como ciclón; pero como verán tienen sus categorías en la escala parapensadora.
Preguntas:
1- Halla un número natural narcisista de un dígito.
R/ Cualquier dígito del 1 al 9 cumple la definición de número natural narcisista de un dígito. Es obvio que el número elevado a la potencia 1 da como resultado el propio número.
2- Halla un número natural narcisista de dos dígitos.
R/ No existen números narcisistas de dos dígitos. Como no eran muchos (del 10 al 99) algunos acudieron al EXCEL para comprobar dicha inexistencia. Muy pocos acudieron al razonamiento matemático, y solo Yosue lo fundamentó. Y a continuación comparto su razonamiento:
Números Narcisistas de dos dígitos naturales no hay, explico:
Llamemos [ab] al número de dos cifras, por tanto:
[ab]=10*a+b
Por la propia definición de números Narcisistas, se tendría que cumplir que:
a^2 + b^2 = 10*a + b
agrupando a^2 – 10*a = b – b^2 multiplicamos por -1 convenientemente:
10*a – a^2 = b^2 -b
sacamos factor común en ambos miembros: a*(10-a) = b*(b-1)
en esta igualdad, el miembro derecho representa dos números consecutivos, y el izquierdo, el producto de dos números , llamémosles complementarios, que suman 10. Pero no existen dos números consecutivos cuyo producto sea 9, 16, 21, 24, 25, y 26 (Esto son el producto de los números «complementarios) , entonces podemos decir que no existen los números Narcisistas de dos cifras.
3- Halla otro número natural narcisista de tres dígitos, diferente a 153.
R/ Existen otros tres números de tres dígitos narcisista; estos son 370, 371 y 407.
Tal como comprobó Alejandro tempranamente:
370: 27+343+0=370
371: 27+343+1=371
407: 64+0+343=407En este caso bastaba con encontrar uno diferente de 153 y comprobar que era narcisista.
Yosue fue más allá trabajando en la demostración que eran solamente esos cuatro.
4- ¿Cuál es el mayor número natural narcisista que puede formarse; o serán infinitos?
R/ El mayor número natural narcisista que puede formarse en el sistema decimal es el 115132219018763992565095597973971522401, que tiene 39 dígitos. Por tanto, no son infinitos. Sólo hay 88 números narcisistas en el sistema decimal.
Al momento de escribir este documento, solo dos dieron la respuesta Alejandro y Pioneer, este último con algunas explicaciones, que podemos tomar como su fundamentación.
El razonamiento matemático tiene como base demostrar que al crecer la cantidad de dígitos del número, no es posible lograr la igualdad sumando las potencias correspondientes.
Este acertijo motivó un interesante y consistente comentario del amigo Pioneer sobre las sucesiones numéricas y su relación con la biología, Les sugiero leerlo.
También hizo que el destacado matemático Yosue, corriera por tercera y nos regalara esta interesante narración.
…Narciso era hijo del dios boecio del río Cefiso y de Liriope, una ninfa acuática. El famoso vidente Tiresias ya había hecho la predicción de que viviría muchos años, siempre y cuando no se viese a sí mismo.
…La hermosa y joven Eco era una ninfa de cuya boca salían las palabras más bellas jamás nombradas. En cuanto a las palabras ordinarias, se oían de forma más placentera. Esto molestaba a Hera, celosa de que Zeus, su marido, pudiera cortejarla como a otras ninfas. Y así sucedió.
…Narciso cruelmente se negó a aceptar el amor de la pobre Eco, por lo que la ninfa, desolada, se ocultó en una cueva y allí se consumió hasta que sólo quedó su voz. Para castigar a Narciso por su engreimiento, Némesis, la diosa de la venganza, hizo que se enamorara de su propia imagen reflejada en una fuente.
II
Piensa cada enunciado y genere una respuesta en que la Matemática, la Física, la lógica y la creatividad se combinen.
1- En una carretera recta, un automóvil estacionado apunta hacia el oeste. Subes y empiezas a conducir. Después de andar un rato, descubres que te encuentras a 1 Km. al este del punto de partida.
¿Cómo se llama el conductor?
¿Cómo pudo haber sucedido esto?
R/ El nombre del conductor es el propio del que responde, casi todos así lo interpretaron. Y la explicación es que condujo en marcha atrás. Algunos dieron respuesta de gran valor cultural y sentido del humor, como los casos de Pioneer, Oro, cam, Yosue.
2- Nos presentan dos esferas que tienen el mismo volumen, pero una de ellas pesa diez veces más que la otra. Si solo puedes coger una ¿Qué harías para determinar cuál es la más pesada?
R/ Como solo se puede entrar en contacto con una de ellas, hacerla chocar con la otra, si retrocede es la que pesa menos; si avanza es la más pesada. Algunos respondieron en este sentido; pero otros dieron respuestas dignas del pensamiento lateral, como aleph y su corriente de aire; también lo hicieron los amigos Oro y cam, pero en algunos casos tocando ambas esfera.
Y termino compartiendo la respuesta de un amigo que siempre nos deleita con su ingeniosidad y poesía.
RARJ dijo:
-1-
Un número narcisista
De un digito elijo el cinco, (5)
Y de dos, el treinta y cinco (35)
Voy a poner en mi lista.
Ya yo le pasé revista
A mi cuenta antes de hacerlo
Y me decidí a ponerlo
Porque el número, esta vez,
Aunque narcisista no es
Está muy cerca de serlo.
-2-
De tres dígitos hallé
El trescientos setenta y uno, (371)
Y de cuatro, busqué uno
Pero nunca lo encontré.
Si es infinito, no sé,
Habría que calcularlo
Pero eso voy a dejarlo
En las manos de otra gente
Que son más inteligentes
Y que podrán demostrarlo.
-3-
El conductor soy yo mismo
Que realizo la carrera
En carro por carretera
Sin curvas y sin abismos.
Ahí pudo ocurrir un sismo
O a lo mejor un tornado
Que a mi carrito, orientado
Al oeste, sorprendió
Y con fuerza lo viró
Unos ciento ochenta grados.
Nos vemos el lunes 5 de agosto, con matemática suave y un complemento creativo.