Voy directo al punto para los impacientes y los súper pragmáticos; luego daré las explicaciones para quienes deseen aprender algo nuevo o recordar cosas pasadas.
La primera figura se puede dibujar de un solo trazo, es decir sin levantar el lápiz ni repetir segmento alguno.
En la segunda es imposible hacerlo, hay que levantar el lápiz una vez. La base teórica de este tipo de problemas radica en la llamada geometría de posición o topología, en que no importa las dimensiones de las partes que componen la figura sino el orden en que están dispuestas.
El genial matemático Euler, estudio este tipo de problema, en particular se relata la solución del llamado problema de los siete puentes sobre el río de una isla del Kaliningrado de la extinta URSS. El problema consistía en determinar si se podían cruzar los siete puentes sin pasar por alguno más de una vez. Pero no voy a extenderme sobre este bello problema y su solución.
Vamos a centrarnos en el problema publicado en Cubadebate.
En estos tipos de figuras cerradas, existen dos clases de nodos o puntos de intersección de segmentos: los pares que son aquellos en que convergen un número par de segmentos; y los impares en que convergen un número impar.
Hay tres posibles casos de solución del problema. Hay figuras que siempre se pueden dibujar sin importar el punto en que se comience. Otras se pueden dibujar de un solo trazo cuando se comienza desde puntos determinados. En el tercer caso es imposible hacerlo, como en la figura 2 planteada.
Veamos el algoritmo para determinar en qué caso estamos, en dependencia de la cantidad de puntos o nodos pares e impares.
- Si la figura no tiene puntos impares, siempre se podrá dibujar de un solo trazo, comenzando por cualquiera.
- Si la figura tiene solo un par de puntos impares, se podrá dibujar de un solo trazo, comenzando por uno de ellos, y se terminará en el otro.
- Si la figura contiene más de un par de puntos impares, no podrá dibujarse de un solo trazo.
En la figura 1 no hay puntos impares, note que en cada uno salen o llegan una cantidad par de segmentos (dos o cuatro). Por tanto se puede dibujar de un solo trazo.
En la figura 2 hay cuatro puntos impares, por tanto como dijo apg, la respuesta es NTS. Algunos foristas han dado excelentes explicaciones.
Saber que un problema no tiene solución es una especie de solución. Es decir el conjunto solución es nulo o vacío. No ha sido mi intención hacerles perder tiempo ni mucho menos burlarme de ustedes. Insisto en la importancia que tiene la demostración matemática que un problema dado no tiene solución.
El forista Kindo me ha motivado a contar la siguiente anécdota, que al leer otros comentarios veo que también les sucedió algo parecido. En mi etapa de profesor de matemática y computación en la Escuela Vocacional Lenin, allá por los años 70 del pasado siglo, trabajé este tipo de problemas con los alumnos a los que entrenaba para las olimpiadas de matemática. A uno de ellos se le ocurrió divulgar un problema parecido al de la figura 2, y se produjo una verdadera fiebre por intentar resolverlo. Se gestó la leyenda que yo era el único que sabía resolverlo, pero que si alguien lo resolvía se ganaría un automóvil Mercedes Benz, donado por un ilustre empresario de esa firma que había visitado el Centro de Cálculo de la Escuela.
En cuanto al intento de solución creativa de Arturo y de Horus, quienes proponen doblar el papel, es loable pero cambia la esencia del problema. De cualquier manera hay que aprender de los foristas innovadores, así que a partir de ahora añadiré que no se vale doblar el soporte en que se dibuje la figura.
Espero haber complacido a la mayoría de los que se involucraron en este problema.
Para Sergio, Kindo y tal vez otros que participan pero sin hacer comentarios aunque lo disfruten, les aviso que en las próximas publicaciones gozaremos de lo lindo, ejercitando la mente.
Gracias por vuestra participación pública, sin ella todo perdería su encanto.