Respuesta a “Matematizando con números felices y el colmo de la felicidad”
Para pensar.
Hemos disfrutado mucho las respuestas a este acertijo en que la felicidad estuvo de protagonista; tanto en la parte de la matemática, con demostraciones de altura por AS; como de la creatividad sin números. Ya estamos en octubre y espero que todo comience a mejorar. Pero como dice Virulo, hay que portarse bien. Vamos por parte.
I
Número feliz: todo número natural que cumple que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1.
Los números que al finalizar el proceso, no terminan con 1, son conocidos como números infelices (o tristes). Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz.
Por ejemplo 7 es un número primo feliz, ya que es primo y:
72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.
Problemas
- Encuentre otro número feliz de un solo dígito, diferente de 1.
Respuesta: No existe otro número feliz de un solo diferente a 1 y a 7.
Hay dos maneras de fundamentar la respuesta. Una de manera exhaustiva, comprobando cada número (2; 3; 4; 5; 6; 8; 9). La otra de manera analítica, como lo hizo el destacado joven matemático AS= Alvy Singer. Da gusto seguir su razonamiento.
2. Encuentre un número feliz y además perfecto, que tenga dos dígitos.
Respuesta: El número 28 es perfecto y además feliz
Es perfecto ya que 28= 1+2+4+7+14, que son sus divisores propios
Es feliz ya que 2^2+8^2= 4+64= 68. 6^2+8^2= 36+64= 100. 1^2+0^2+0^2= 1
No hay otro, ya que 28 es el único número perfecto de dos dígitos.
Felicitaciones a quienes dieron la respuesta correcta.
Nuevamente Alvy Singer volvió a brillar en su fundamentación. No apta para novatos de la Matemática.
3. Si 129 es un número feliz, ¿Cuántos números felices de tres dígitos derivados de este podemos formar? ¿Cuáles son?
Respuesta: Cinco números. Estos serían los siguientes
192; 219; 291; 912 y 921.
Supuse que no se repetía ningún dígito. Las variaciones de los tríos vienen dado por las permutaciones de 3. P3= 3!= 3*2*1= 6. Restando el número base 129, no da 5.
Y al ser conmutativa la suma, tenemos la garantía de que todos son números felices.
Algunos supusieron una derivación en sentido más amplia, con repetición de dígitos.
4. En una reunión se encontraron tres números felices de dos dígitos, uno de ellos primo feliz. El número primo feliz, le dijo al feliz mayor: “si te sumas con el otro feliz dará como resultado mi número multiplicado por dos, menos dos”. ¿Cuáles son esos tres números?
Respuesta: 28; 31 y 32. 76; 79 y 86
Sean F1; F2 y PF
F1+F2= PF*2-2
Existen 17 números felices de dos cifras: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97
Busquemos el número que resulta de multiplicar por dos y restar 2 a los PF de la lista. Luego debemos buscar dos felices que sumados den ese valor.
Serían 31*2-2=60= 28+32
79*2-2=156= 70+86
Es cierto que el Excel ayuda, pero acotar las posibles soluciones reduce el esfuerzo, aunque sea de tiempo de computadora.
Felicitaciones para Fernan, el guantanamero, por su respuesta excelente. Y nuevamente para AS por su fundamentación digna de una antología parapensadora.
Moisés Quintana, destacado colega matemático y sobre todo informático cubano residente en Colombia, me envió su respuesta incluyendo un programa de computadora escrito en Pyhton.
Amigo en el 1 la respuesta es: No hay otros, ya que el 7 estaba declarado como tal. En el 2 y el 3, bien. En el 4, los dos primeros tríos no cumplen la condición, ya que tienen más de un número primo feliz. Ya me dirás si estás de acuerdo.
¿Alguien sabe por qué se les denominó números felices?
II
El colmo de la felicidad es _____________________________________________
Intenta escribir al menos dos de tu propia creación. Uno en positivo; y el otro en sentido negativo, como habitualmente se usan los colmos. Puedes referirte a la felicidad y sus circunstancias.
Voy con los de mi inspiración, como suerte de semilla en la gestión del conocimiento.
- El colmo de la felicitad es que toque a tu puerta cuando no estés, y no deje recado para que vayas tras ella.
+ El colmo de la felicidad que no se conforme jamás, en dejar a un solo ser humano sin felicidad, en el mundo.
Al especificar que nos podíamos referir a la felicidad y sus circunstancias, quise dar mayor amplitud a las respuestas.
A continuación una selección mayoritaria de colmos creados por ustedes, con un reconocimiento especial para Leandro.
Patricia dijo:
- El colmo de la felicidad es no saber que eras feliz hasta un día en que miras atrás y te das cuenta que lo fuiste.
+ El colmo de la felicidad es que para serlo no necesitamos mucho, tan sólo es querer serlo.
Jose R Oro dijo:
Positivo. El colmo de la Felicidad es que se acabe la Pandemia en este instante.
Negativo. El colmo de la Felicidad, es que, aunque la vemos a diario, nunca la podamos alcanzar por completo.
Sofía RF dijo:
-Tirarte a morir porque se te acabó la infelicidad.
+Ser feliz y no sentirlo.
Fernan dijo:
(+) Ser feliz todo el tiempo…
(+) Que le asignen un escaque en la Libreta de Consumo.
(-) Vivir toda una vida y no conocerla nunca.
(-) Tener toda la que se desee y no compartirla por egoísmo.
Leandro dijo:
El colmo de la felicidad es no intentar hacer feliz a los infelices.
El colmo de la felicidad es llorar de felicidad.
El colmo de la felicidad está en empujar a los felices a la infelicidad.
El colmo de la felicidad es que te diga adiós para siempre.
El colmo de la felicidad está en ambicionar la felicidad ajena.
El colmo de la felicidad está en poner la tuya en manos ajenas.
El colmo de la felicidad sería que fuera totalmente plena para todos.
El colmo de la felicidad está en el amor.
Haciendo el bien alcanzarás el colmo de la felicidad.
El colmo de la felicidad está en el trabajo creador.
El colmo de la felicidad lo alcanzaremos el día en que Soberana-1 esté al alcance de todo nuestro pueblo y de otros pueblos del mundo.
El colmo de la felicidad lo alcanzaremos el día en que el Bloqueo Económico, Comercial y Financiero contra Cuba quede como un mal recuerdo del pasado.
El colmo de la felicidad está en compartir lo que tenemos.
MarI a Teresa Castro dijo:
1 Que llegue el día del cobro de la jubilación y me paguen doble
2 Que me despierte cuando me estén pagando Y me encuentre con mi perrito arriba de la cama
pedro dijo:
El colmo de una persona infeliz es vivir en Felicidad de Yateras y llamarse Felicita
Aunque no es un colmo, copio esta respuesta de Marvin.
"La felicidad es un paradigma; nadie te la da, nadie te la quita. Es decisión, no condición. Eres tú en acción".
Ustedes se preguntarán por la respuesta siempre esperada de RARJ. Les diré que hoy supe que por fin fue operado de la vesícula el pasado sábado, pero ya está de alta en su casa. Desde aquí le deseamos una pronta recuperación.
Nos vemos el primer lunes de octubre con un acertijo distinto y diferente. Tú respuesta si es sincera será correcta.
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Me sumo a los deseos de pronta recuperación para RARJ.
Me sumo. RARJ, recupérate pronto: extrañamos tus décimas amigo.
Ahora leí las respuestas de Alvy Singer... muy detalladas en verdad, aunque le debe haber llevado bastante tiempo la redacción. Al final explicó el mismo razonamiento que la mayoría de los foristas hicieron de forma instantánea, pero que no detallaron por falta de tiempo.
El ejercicio 3, el número de tres cifras derivado del 129, como bien AS dijo, queda a la interpretación de qué cosa es "derivado". Es válida la derivación por conmutatividad, que además nos hace razonar que, no importa el orden de los dígitos, no se altera la "felicidad" del número.
No pude participar esta vez, pero es el colmo de la felicidad, leer todas las respuestas que han dado. Y también deseo una pronta y feliz recuperación para RARJ.
Mis parabienes a RARJ, espero que todo haya ido bien y le deseo pronta recuperación con un reclamo de su presencia en ésta sección...
Hola,saludos a todos,espero una pronta recuperación del amigo RARJ y como lo prometido es deuda acá les dejo esto...;-)
Si entendieramos la pregunta número 3 como obtener números felices de 3 cifras a partir de 129 como aplicar el algoritmo de los números felices sobre 129 y a partir de allí obtener otros números felices es muy fácil obtener el 100 y me pregunto solo 129 genera ese número feliz.?
Q ocurriría si aplico la inversa de la función invariante digital perfecta en base decimal y potencia 2 sobre el número 129....
no obtendría otros números de 3 cifras
O sea me explico
Si en vez de tner el número y saber si es feliz. Busco los números felices de 3 cifras (ojo de 3 cifras,xq si no serían infinitos)q me dieron lugar a 129.
De 129 pueden también obtenerse otros números felices de 3 cifras q en su primera iteración dan 129.Estos son:
188 y sus permutaciones (818,881)
478 y sus permutaciones (487,784,748,874,847)
Esos números son felices en la 1era iteración de la función invariante digital perfecta en base decimal de potencia 2.Si no probemos con 188 y con 478
188->129
478->129
Ahora de dónde salen esos números?
Salen de resolver las ecuaciones diofántica:
a^2+b^2+c^2=129
Donde a,b,c son las cifras d los números q kiero buscar y son números enteros no negativos menores iguales que 10.
Daré una manera de resolver esta ecuación diofántica.
Para eso le voy a asignar a c números del 0 al 9,ya q son dígitos de números
Y me kedan las ecuaciones diofanticas siguientes
1.
a^2+b^2=129=3x43 NO
2.
a^2+b^2=128=2^7
3.
a^2+b^2=125=5^3
4.
a^2+b^2=120=2^3x3x5 NO
5.
a^2+b^2=113
6.
a^2+b^2=104=2^3×13
7.
a^2+b^2=93=3×31 NO
8.
a^2+b^2=80=2^4×5
9.
a^2+b^2=65=5×13
10.
a^2+b^2=48=2^4x3 NO
La ecuación 1 no tiene soluciones xq el miembro izkierdo 129 de descompone en 3 x 43 y ambos son de la forma 4k+3 con exponente impar, donde k es un entero no negativo.
Tenemos una ecuación menos ;-)
La ecuación 4,7,10,pasa algo parecido aplicando ese mismo análisis.Solo tenemos q resolver solo las otras 6 ecuaciones diofánticas.Por razones obvias no voy a poner el algoritmo q seguí
...esto me llevó a obtener estos números y sus permutaciones q " inversamente derivan" de 129 y son felices también:
188 y sus permutaciones (818,881)
478 y sus permutaciones (487,784,748,874,847)
Recuerdo q la 1era iteración de la función inavariante digital de base 10 y potencia 2 da 129.Digo " inversamente derivan" xq lo q hice fue el algoritmo al revés para llegar al número feliz 129.
Conclusión si entendemos x "derivar" obtener números de 3 cifras felices a partir de 129 aplicando el concepto de número feliz, 100 no es el único están además
188 y sus permutaciones (818,881)
478 y sus permutaciones (487,784,748,874,847)
Slds
Por cierto profe,no tngo idea de donde surgieron los números felices y kien o kienes lo definieron d esa forma
Hola Néstor. En el inciso 4 estoy de acuerdo que no pensé que debía ser solo un primo feliz, es decir, los otros dos debían ser felices pero no primo. En el inciso 1, me centré en la pregunta: "Encuentre otro número feliz de un solo dígito, diferente de 1." y por eso señalo el 7, sin tomar en cuenta que fue el ejemplo que explicaste. Vamos tomando paulatinamente las exigencias de "Para Pensar...". Pronta recuperación para RAJR. Muchas gracias
Profe gracias x las felicitaciones,solo soy un chico q le gustan las matemáticas.Jajaja me cuadró eso de AS=Alvy Singer...
Pos si sos un pibe, vos tenés futuro.
Yo soy campesino, pero me gusta la matemática empírica (no tengo preparación metodológica avanzada).
Mucho me alegra ver que los acertijandos hayan enviado sus votos por la pronta recuperación de RARJ. Estoy seguro que pronto estará guapeando en Para Pensar