Para pensar.
Estamos cerrando agosto de una manera muy especial; conociendo o recordando los números palíndromos, popularmente llamados capicúa, que como dije van más allá de la matemática recreativa; y con un lindo homenaje a la querida periodista Leysi Rubio Arevich.
Vamos por parte:
I
Le toca el turno al llamado número natural palindrómico o también capicúa, que es un número que da igual leerlo de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
Por ejemplo 626 lo es.
También existen palabras y oraciones palindrómicas.
Por ejemplo:
ORO, y así recordamos a un destacado acertijando con ese apellido, es una palabra palíndroma.
Somos o no somos, es una oración palíndroma; y así rendimos homenaje a nuestra familia parapensadora. Porque nosotros sí que Somos.
Los palíndromos van más allá de la matemática recreativa.
Responder estos cinco incisos, en que hay para todos los gustos:
1. Escriba el menor y el mayor número natural palindrómico, mayor que 9 y menor que un millón.
Respuesta: el menor es 11; y el mayor es 999999
La fundamentación es sencilla; al 9 le sigue el 10 que no es palíndromo, antes del 1000000 está el 999999 que sí lo es.
2. Escriba un palíndromo, que sea una palabra de 4; 5; 6; 7; 8 y de 9 letras respectivamente. Si llegas a 3 sin copiar aprobaste el examen.
Un par de palabras para cada caso, utilizando casi todas las de ustedes:
De 4 ERRE, ELLE
De 5 ROTOR, AÉREA
De 6 RALLAR, NARRAN
De 7 RODADOR, ARENERA
De 8 ACURRUCA, NEHUQUEN
De 9 RECONOCER, SOMETEMOS
3. Halle un número palindrómico primos de cuatro dígitos.
Respuesta: Imposible, ya que sería divisible por 11.
Algunos se fueron por la búsqueda auxiliados por EXCEL, o una manera menos desarrollada, y al listarlos todos y analizar que ninguno era primo se sintieron vencedores, y en realidad lo fueron. Pero como ya hemos visto en otros ejercicios similares, siempre hay una manera de aplicar un método inductivo, no exhaustivo y por lo general no tedioso, para fundamentar la respuesta. Algunos lo insinuaron y Alvy lo desarrolló, con la correcta generalización para todos los palíndromos de una cantidad par de dígitos.
Un palíndromo de 4 dígitos tendrá la forma xyyx, que expresado en su manera desarrollada xyyx= 1000x+100y+10y+x; agrupando semejantes nos lleva a
1001x+110y; y ambos sumandos son divisibles por 11 y por tanto ese número xyyx capicúa es divisible por 11 y no será un número primo.
El amigo RARJ estimó que debía haber un error, pero el enunciado del inciso no dice que hay un número primo, sino que pide hallarlo.
Un dato interesante, el único palíndromo primo de una cantidad par de dígitos es el 11.
4. Construya una oración que sea palindrómica, si es original mucho mejor.
Hubo muy buenas respuestas sacadas de Internet, y muy pocas de cabeza propia. En este inciso mi amigo Víctor Fernández apretó con mucho más que una oración. Les sugiero leerla.
A mí me gusta: !Ojo! corre poco perro cojo.
¿Alguien conoce un algoritmo programado en computadora para generar textos palíndromos?
5. ¿Cuántos números palindrómicos diferentes, de cinco dígitos se pueden formar?
Respuesta: 900
Varios de ustedes fundamentaron la respuesta utilizando el principio fundamental de la multiplicación de la teoría combinatoria.
El número tendrá la forma abcba.
El dígito a va de 1 a 9; el b de 0 a 9; el c de 0 a 9; mientras que los dos restantes están predeterminados. Aplicando el principio fundamental de la multiplicación tendremos 9*10*10*1*1= 900.
RARJ afirmó que hay más de 1000 palíndromos de cinco dígitos. Esto sí que es algo que tiene tela por dónde cortar. Si consideramos que el primer dígito puede ser cero, entonces tendríamos 1000 =10^3. Ya en otros acertijos hemos debatido distinguir si estamos hablando de números significativos o de cadenas de dígitos.
El 01310 se consideraría un palíndromo como cadena numérica, pero como número significativo es 1310. Es un tema polémico.
Como anuncié, la palindromía no se queda en lo recreativo, como fue advertido por Vater. Pues les digo que los números y textos palíndromos están presentes en la poesía, en la composición musical, en las figuras geométricas planas con simetría bilateral, radial, axial que generan figuras maravillosas.
El poeta brasileño Fernando Pessoa lo aplicó de manera apasionada, también genios musicales como Franz Joseph Haydn en su sinfonía no. 47 en sol mayor. Mozart —según se le atribuye—, en una partitura ejecutada por dos violinistas uno frente al otro, una va de adelante hacia atrás y la otra partitura al revés.
Para los estudiosos del origen de las palabras, les digo que en griego palin (de nuevo) y dromos pista de carrera; carrera en círculo. También ir hacia atrás.
En catalán capi i cua: significa cabeza y cola.
¿Existe un algoritmo para generar números palíndromos? Sí existe.
El algoritmo es el siguiente, mediante un ejemplo sencillo:
Tomemos el número 64.
Lo invertimos y lo sumamos al inicial: 64+46=110
Reiteramos lo anterior:
110+011=121 ¡Bingo! En solo dos pasos llegamos a este número palíndromo.
Se reitera ese proceso hasta intentar llegar al palíndromo.
El 80% de los números menores que 10 000 da un capicúa en menos de 4 pasos y el 90% en menos de 7. Sin embargo con el 196 no se ha podido llegar a un palíndromo a pesar de haberse hechos miles de iteraciones; llegando a números con 13 millones de dígitos.
En otro momento retomaremos estos números que todavía tienen mucho que aportar.
II
Como hicimos con Thalía Fuentes, con este ejercicio de creatividad, además de rendirle homenaje, le enviamos toda la energía positiva a Leysi para una defensa exitosa de su título de MSc..
Póngale un título respetuoso, lindo y creativo a esta foto que publicó Leysi en su perfil.
Leysi Rubio, periodista de Cubadebate. Foto: Facebook.
Como en la ocasión anterior, comparto lo que se me ocurrió escribir sin el ánimo de concursar, al ver esta foto de tanta capacidad motivadora.
Mis propuestas:
- La vegetación siente envidia de tanta belleza.
- Pegada a la tierra para que la sabiduría crezca.
- El uno de ese dedo y la fuerza de la tierra, aseguran su triunfo.
Y esta última con los adelantos informáticos.
Internet de las cosas de las yerbas: “Ha caído tiernamente sobre nosotras, una bella y talentosa periodista”.
De los enviados por ustedes obtuvieron la mayor votación (Leysi, Dianet y Néstor) los tres títulos siguientes:
- “Verde infinito”, de jc
- “Germina la belleza”, de Alberto
- “Los ojos de la tierra”, de Krly
En su mensaje Leysi me dijo que le gustó mucho el acertijo, y agradeció a quienes se esmeraron por darle un título respetuoso, lindo y creativo a su foto.
Esperamos buenas noticias de la defensa de Leysi como Maestra en Ciencias.
Toda nuestra energía positiva trasatlántica para ella.
Nos vemos el lunes 2 de septiembre, con el júbilo propio del inicio del curso escolar 2019-2020, en que les retaré a ser consejero matemático; y volvemos a desmenuzar un refrán.