Un chicharito matemático y dos bombones
Para ir preparando el terreno del próximo chícharo matemático, les propongo resolver este chicharito. Además aparecen dos que he catalogado como bombones, para no tomar partido en la controversia de aquel dicho popular que versa “a la fiesta de los bombones no pueden ir caramelos”. Ahora le toca a los bombones.
Si fundamentas tus respuestas será algo meritorio que se agradece.
I
Ahí va el chicharito matemático:
Demuestre que si escogemos siete números naturales que son cuadrados perfectos diferentes (por ejemplo 16 25 49 64 …), entonces al menos dos de ellos tienen una diferencia divisible por diez. Es un chicharito pero tiene sus cosas.
II
¿Qué es lo que damos y no tenemos y sin querer lo damos?
III
En el juego de dominó oriental (hasta el doble seis) ¿qué ficha pesa más?
Mis saludos al colega tunero profesor Mauricio Amat. Como ya dije en una ocasión su libro es fuente de inspiración de algunos de mis acertijos
Recuerden que:
“Es preferible una solución insignificante salida de cabeza propia; que una genial copiada de otro, sobre todo sin entenderla”. NGPA
¡Manos y mente a la obra!
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Buenos días,
El cuadrado de un número terminado en 0 termina en 0
El cuadrado de un número terminado en 1 termina en 1
El cuadrado de un número terminado en 2 termina en 4
El cuadrado de un número terminado en 3 termina en 9
El cuadrado de un número terminado en 4 termina en 6
El cuadrado de un número terminado en 5 termina en 5
El cuadrado de un número terminado en 6 termina en 6
El cuadrado de un número terminado en 7 termina en 9
El cuadrado de un número terminado en 8 termina en 4
El cuadrado de un número terminado en 9 termina en 1
Las posibles terminaciones de los cuadrados perfectos de cualquier número entero son:
0, 1, 4, 9, 5 y 6 (seis terminaciones). Cómo tenemos 7 cuadrados perfectos al menos dos terminaciones se repetirán (principio de Dirichlet) y la diferencia de ellas será un número terminado en 0 y por tanto múltiplo de 10.
Saludos a todos,
Raudel.
¿Qué es lo que damos y no tenemos y sin querer lo damos?
- Sombra
En el juego de dominó oriental (hasta el doble seis) ¿qué ficha pesa más?
- El doble blanco
Si el doble seis tiene los huecos rellenos con alguna sustancia de mayor densidad que el material de la ficha entonces pesaría más que la doble blanca
Cualquier numero natural que se eleve al cuadrado va a tener como ultima cifra la ultima cifra del cuadrado de su ultima cifra. al elevar al cuadrado cualquier numero natural, la última cifra siempre va a ser parte de {1,4,9,6,5,0} al elevar una cantidad de números mayor que 6 que es la cardinalidad del conjunto anterior, se repite el terminal en al menos dos de sus resultados, por lo que al restarse entre ellos queda un múltiplo de 10.
1:
Para que la diferencia sea divisible por 10, significa que es un número que termina en 0 y por lo tanto, los numeros que se restaron tenían la última cifra igual.
Cualquier número al cuadrado va a tener de última cifra, la última cifra del cuadrado de su propia última cifra.
Demostración rápida:
Puedo escribir cualquier # > 10 como n*10 + x donde x es la última cifra y es menor que 10.
(n*10 + x)^2 mod 10
= (n^2*100 + 2nx*10 + x^2) mod 10
= n^2*100 mod 10 + 2nx*10 mod 10 + x^2 mod 10
= 0 + 0 + x^2 mod 10
= x^2 mod 10
Si elevamos al cuadrado los números del 0 al 9 veremos que la última cifra solo puede tener 6 valores diferentes.
Cuadrados:
0 = 0
1 = 1
2 = 4
3 = 9
4 = 16
5 = 25
6 = 36
7 = 49
8 = 64
9 = 81
0,1,4,9,6,5 por lo tanto, por el principio del palomar, si tomamos 7 numeros naturales cuadrados perfectos, habrá dos que terminen con la misma cifra y por lo tanto su diferencia sea divisible por 10.
2: No se los demás pero yo doy las gracias aunque no tengo ninguna.
3: La ficha que pesa más en cualquier dominó, no solo el oriental, es el doble blanco porque no tiene ningún agujero.
I Ni chicharo
II La Sombra
III La doble blanca porque no tiene huecos
En el juego del domino oriental tiene 2 soluciones, el primero se refiere al peso del doble seis, si tomamos el objeto de juego de capturar la mayor cantidad de pintas al contrario, es evidente que la ficha de mayor peso de captura es el doble seis, si el objeto se refiere a la propiedad física del peso, entonces tomando en cuenta que todas las fichas tienen la misma forma y dimensiones, entonces la más pesada es la que tiene menor agujeros, y esa ficha es el doble blanco.
Si de propiedades físicas se habla, se está preguntando por la masa, el peso es otra cosa, es la fuerza que ejerce el cuerpo sobre la superficie
Pregunta 1) Las terminaciones de los cuadrados perfectos de números naturales son seis (0,1,4,9,5,6) de manera cíclica y los números divisibles por diez deben al menos terminar en cero.
Si escogemos siete cuadrados perfectos garantizamos que una de las terminaciones se va a repetir y por tanto la diferencia va a terminar en cero y será divisible por 10.
Ejemplos:
Primeros cuadrados perfectos: 0,1,4,9,16,25,36
A continuación: 49-9=40; 64-4=60; 81-1=80 y así sucesivamente...............
Pregunta 2) El amor
Prgunta 3) El doble blanco
Es muy bueno en la mañana tener un reto mental como el que nos propone el eminente Prof. Néstor del Prado Arza, esto es muy bueno y nos aparta de lo cotidiano y a veces fastidioso y cansón.
1 4 9 16 25 36 49, en este caso 49 – 9 = 40 y 36 - 16= 20
4 9 16 25 36 49 64, igual (salto a otros grupos de 7)
64 81 100 121 144 169 196, en este caso 144 – 64= 80 y 121 – 81 = 40
144 169 196 225 256 289 324, aquí 256 – 196 = 50 y 324 – 144 = 180.
Pero no sé cómo escribir una función o expresión matemática que lo pruebe. Tengo una duda, acerca de si estos siete números naturales que son cuadrados perfectos diferentes, deben ser consecutivos o no. Ciertamente en la pregunta no se especifica, pero no sé si el no ser consecutivos hace más complejo el escribir una función o expresión matemática que lo demuestre.
II, amor no correspondido. Lo damos pero no lo tenemos (al no recibirlo), y sin querer (en una acepción de la palabra querer, que implicaría algo mutuo “nuestro querer”) lo damos aunque tratemos de no hacerlo.
III, la ficha que pesa más es el doble blanco o doble cero, según prefiera llamarse, al no tener orificios pesa más, siempre que todas las fichas sean iguales en tamaño y composición material.
2*2=4
8*8=64
64-4=60 Y 60 ES DIVISIBLE POR 10.
LA FICHA QUE MAS PESA EN EL DOMINO ES EL DOBLE BLANCO.
Voy directo a los bombones, el chícharo se los dejo a los sesudos,
Creo que se trata de la sombra, y la ficha que menos pesa sería el doble blanco
Que la diferencia sea divisible por diez es lo mismo que decir que terminen en la misma cifra. Por tanto tenemos que probar que de 7 cuadrados perfectos cualesquiera, al menos 2 tendran la misma cifra en la posición de las unidades.
Veamos las cifras en que pueden terminar los cuadrados perfectos, para ello solo tendremos en cuenta la cifra de las unidades:
Si el numero termina en 0: 0x0 termina en 0
Si el numero termina en 1: 1x1 termina en 1
Si el numero termina en 2: 2x2 termina en 4
Si el numero termina en 3: 3x3 termina en 9
Si el numero termina en 4: 4x4 termina en 6
Si el numero termina en 5: 5x5 termina en 5
Si el numero termina en 6: 6x6 termina en 6
Si el numero termina en 7: 7x7 termina en 9
Si el numero termina en 8: 8x8 termina en 4
Si el numero termina en 9: 9x9 termina en 1
Luego, tenemos que los cuadrados perfectos solo pueden terminar en las cifras:
0,1,4,5,6 y 9. Que son 6 cifras. Por tanto el 7mo cuadrado perfecto tiene que repetir alguna de estas, y por tanto la resta con su pareja terminará en 0 y será divisible por 10.
Voy a dar respuesta a los bonbones: Lo que damos y no tenemos y sin querer lo damos es el amor.
La ficha de dominó oriental que mas pesa es el doble blanco.
Resp a la III: la ficha que más pesa es la doble blanca, pues no tiene ningún orificio. Los orificios en las fichas son los que varían el peso de estas, por lo tanto la ficha que menos pesa sería el doble seis.
Muchas gracias y me alegro mucho de que exista esta sección.
Ficha que mas pesa es la doble blanca
RESP 1:
cuadrado 1 > 1
cuadrado 2 > 4
cuadrado 3 > 9
cuadrado 4 > 16
cuadrado 5 > 25
cuadrado 6 > 36
cuadrado 7 > 49
--------------------------------------------------
cuadrado 49 -cuadrado 9 > 20
cuadrado 36 -cuadrado 16 > 40
Por lo tanto de los primeros 7 # naturales solo escogiendo 4 cuadrados de estos obtenemos dos diferencias son que divisibles por 10, cumpliéndose que entonces al menos dos de ellos tienen una diferencia divisible por diez..
Resp. II
Si extrañamos a alguien te echado de menos cuando realmente a echado de más y te has quedado con menos.Por lo tanto el (-)es lo que damos y no tenemos y sin querer lo damos.
Resp. III
Habria que preguntar el material de que fue hecha la ficha y claro el concepto de peso que se expone porque si nos guiamos por la leyes física el que contiene menos huecos contendra mayor masa de ese material por lo tanto pesará más, la doble blanca. Digo si es ficha oriental
I
6 y 4 36-16=20 20/10=2
II
El tiempo
III
Doble blanca
2- Un tropezon
3-Doble blanco.
respuestas
la ficha ue pesa mas es la que menos marcas tiene, pues es la que pesaria mas, es el doble blanco, y despues el 0 y 1 asi sucesivamen
lo que damos y no tenemos es el saludo
I.Los numeros serian
4,16,25,64,196,225,576,1156 ya que (64-4=60)(196-16=180)(225-25=200)(576-16=560)(1156-16=1140)
II.Bueno me tengo dos posibles respuestas:
1-Tiempo y 2-Atencion
III.La ficha que más pesa aunque sea el domino oriental o el de nueve fichas va a ser la misma y es el doble blaco porque no tiene huecos y las demas si.
bueno respondiendo el acertijo sobre el domino, teniendo en cuenta la pregunta "que ficha pesa mas" y tomando que la palabra "pesa" se refiere al peso de la ficha en cuanto a su masa (dada en mg, g, kg, etc), no en cuanto al valor de la ficha. la que mas pesa es el doble blanco porque tiene menos huecos
ASERTIJO I: Cuadrado Perfecto es un número natural de la forma n2 donde n es también un natural o lo que es lo mismo, un número cuya raiz cuadrada es un número entero. Por lo tanto, Siete Cuadrados Perfectos son: 9,16,25,36,49,64,81... En esta Serie (36-16)=20 y (49-9)=40. Y 20 y 40 son números divisibles por 10. ASERTIJO II: ?Que es lo que damos y no tenemos y sin querer lo damos? La Hora. Cuando alguien nos dice: Por favor puede darme la hora, miramos nuestro reloj y le damos la hora que es algo que no tenemos. Aparte de eso si viajamos con alguien que cada cinco minutos nos pregunta la hora, llega el momento que se la damos pero sin querer darsela. ASERTIJO III: La ficha del dominó que mas pesa es la dobleblanca porque no tiene agujeros. CONCLUYENDO: Un CUADRADO PERFECTO es aquel tipo que no da ni la hora y es mas pesao que la dobleblanca.
A^2–B^2 = (A-B)(A+B)
Primer caso: (A-B) divisible por 10 [(A-B)mod10=0, donde XmodY es el resto de la división entera de X por Y]
Esto implica que la raíz cuadrada de al menos dos de los numero escogidos tienen una diferencia que es múltiplo de 10 y por lo tanto la diferencia de los cuadrados es divisible por 10.
Segundo caso: (A-B) no es divisible por 10
Si ninguna de la diferencia de las raíces cuadradas de los 7 números escogidos es divisible por 10 entonces tendremos que el resto de la división por 10 de las raíces cuadradas siempre serán diferentes (Amod10 es diferente de Bmod10 para cualquier A y B). En este caso (A+B) seria múltiplo de 10 si se cumple alguna de las siguientes combinaciones:
Amod10=9,Bmod10=1
Amod10=8,Bmod10=2
Amod10=7,Bmod10=3
Amod10=6,Bmod10=4
(Más otras cuatro combinaciones que se forman intercambiando los restos de las divisiones en los pares anteriores. Ej. Amod10=1,Bmod10=9. Sin embargo, el orden no es relevante en es
Debe notarse que solo son posibles 10 valores para el resto de la división de cualquier número por 10, los cuales están representados en el intervalo [0,9]. Nótese además que en las cuatro combinaciones anteriores ningún resultado se repite. Entonces, bajo estas condiciones es imposibles escoger 7 números cuyos restos de la división por 10 sea diferente sin al menos incluir alguna de las combinaciones en la cual la suma se divisible por 10. En otras palabras, es imposible escoger 7 números diferentes en el intervalo [0,9] sin que al menos la combinación de dos de ellos sume 10, ya que de estos la selección de cualquiera de estos ocho números (1,2,3,4,6,7,8,9) invalida escoger otro. Esto es, puedo escoger 4, quedando solo 2 restantes (0y5). Si escogemos uno más (para que sean 7 los escogidos) por fuerza tendremos una combinación cuya suma es múltiplo de 10.
Por lo que en este segundo caso podemos garantizar que la suma de al menos un par de raíces es múltiplo de 10.
Como la unión del primer y segundo caso es exhaustiva (es decir contempla todos los posibles casos) y en ambos la diferencia de al menos dos de los cuadrados perfectos escogidos es divisible por 10, ya que uno de sus factores lo es, entonces podemos dar por válido y demostrado el chicharo.
A^2–B^2 = (A-B)(A+B)
Primer caso: (A-B) divisible por 10 [(A-B)mod10=0, donde XmodY es el resto de la división entera de X por Y]
Esto implica que la raíz cuadrada de al menos dos de los numero escogidos tienen una diferencia que es múltiplo de 10 y por lo tanto la diferencia de los cuadrados es divisible por 10.
Segundo caso: (A-B) no es divisible por 10
Si ninguna de la diferencia de las raíces cuadradas de los 7 números escogidos es divisible por 10 entonces tendremos que el resto de la división por 10 de las raíces cuadradas siempre serán diferentes (Amod10 es diferente de Bmod10 para cualquier A y B). En este caso (A+B) seria múltiplo de 10 si se cumple alguna de las siguientes combinaciones:
Amod10=9,Bmod10=1
Amod10=8,Bmod10=2
Amod10=7,Bmod10=3
Amod10=6,Bmod10=4
(Más otras cuatro combinaciones que se forman intercambiando los restos de las divisiones en los pares anteriores. Ej. Amod10=1,Bmod10=9. Sin embargo, el orden no es relevante)
Debe notarse que solo son posibles 10 valores para el resto de la división de cualquier número por 10, los cuales están representados en el intervalo [0,9]. Nótese además que en las cuatro combinaciones anteriores ningún resultado se repite. Entonces, bajo estas condiciones es imposibles escoger 7 números cuyos restos de la división por 10 sea diferente sin al menos incluir alguna de las combinaciones en la cual la suma se divisible por 10. En otras palabras, es imposible escoger 7 números diferentes en el intervalo [0,9] sin que al menos la combinación de dos de ellos sume 10, ya que de estos la selección de cualquiera de estos ocho números (1,2,3,4,6,7,8,9) invalida escoger otro. Esto es, puedo escoger 4, quedando solo 2 restantes (0y5). Si escogemos uno más (para que sean 7 los escogidos) por fuerza tendremos una combinación cuya suma es múltiplo de 10.
Por lo que en este segundo caso podemos garantizar que la suma de al menos un par de raíces es múltiplo de 10.
Como la unión del primer y segundo caso es exhaustiva (es decir contempla todos los posibles casos) y en ambos la diferencia de al menos dos de los cuadrados perfectos escogidos es divisible por 10, ya que uno de sus factores lo es, entonces podemos dar por válido y demostrado el chicharo.
Excelente análisis, fue quizás mas largo y enrevesado que el inductivo, pero muy bueno
I-Toda pareja de números cuadrados perfectos que su diferencia sea múltiplo de 10, la suma o resta de sus raíces cuadradas será múltiplo de 10, además, la resta o suma de sus raíces respectivamente, multiplicado por el valor de la décima parte de la suma o resta, respectivamente, de sus raíces va a ser el numero por el cual va a ser múltiplo de 10 dicha diferencia inicial.
En fórmula seria así:
a-b=x10
Si:
√a+ó-√b=y10
Y:
√a-ó+√b=z
Ahora:
x=y*z
Ejemplo 1:
64-4=6*10
Si:
8+2=1*10
Y:
8-2=6
Ahora:
6=1*6
Ejemplo 2:
529-9=52*10
Si:
23-3=2*10
Y:
23+3=26
Ahora:
52=2*26
Ahora: en 7 números naturales cuadrados perfectos, el valor de la unidad de sus respectivas raíces cuadradas, va a ser igual u opuesto, cuya resta o suma será 0 o 10 respectivamente, por lo que la resta o suma de dichas raíces será múltiplo de 10 y por lo tanto, la resta de sus cuadrados será múltiplo de 10.
II- Los buenos días.
III- El doble blanco producto a que no tiene huecos que lo hagan pesar menos.
me parece que Ud no entendió la pregunta. Saludos
En el caso de la pregunta III es el doble blanco, al no ser que los orificios esten rellenados con algun material mas pesado que el por el cual esten echas las fichas. como he visto dominó de madera con orificios rellenados con plomo.
Si el doble seis tiene los huecos rellenos con alguna sustancia de mayor densidad que el material base debe pesar más que la doble blanca.
I. 81-1 = 80, 64-4 = 60, 49 - 9 = 40, 36-16 = 20, Todas estas diferencias son multiplo de 10.
II. El Malestar: En ocasiones no tenemos malestar y con una acción le creamos malestar a otro, y esta acción la creamos a veces sin querer
III. El doble Blanco
Saludos
la que mas pesa es el doble blanco pues no tiene hoyitos..je je je...
hay seis terminaciones para los cuadrados perfectos: 0, 1, 4, 5 , 6 y 9, de manera que si se escogen 7 números cuadrados perfectos como mínimo dos de ellos terminarán en el mismo número por lo cual su diferencia termina en 0 y sería divisible por 10...
En el de los números cuadrados perfectos todos terminan en 0, 1, 4, 5, 6 y 9 es decir hay 6 posibles terminaciones es decir si se toma cada uno que termine en un dígito diferente ya el sextimo se repite por tanto al encontrar la diferencia quedaría 0 el último dígito por lo que esta diferencia es divisible por diez.
Bueno, aquí voy... intento no mirar las respuestas, aunque el ejercicio no es muy complicado jjjj.
Los números divisibles por 10 deben terminar en 0
Sólo existen 6 terminaciones diferentes de los cuadrados perfectos 6 5 9 4 1 0 (no están en orden)
Por tanto al tomar 7 números se repetirá una terminación, que al restar dará 0.
Listo Calixto
III. El peso de la ficha dependerá del tipo dominó y el material con que se haga
Si el dominó solo tiene huecos... entonces pesará más la doble blanca, que no tiene huecos.
Pero si los huecos son rellenados con pintura, y el material de que está hecho el dominó es menos denso que la pintura, pesará mas el doble seis... Pues en este caso la pintura añade un peso superior al que se extrajo del material al hacerle los huequitos
II.. Pues la verdad pueden ser mucha cosas. A veces en una discusión no tengo razón y tengo que darle la razón a otro sin querer hacerlo, porque me fastidia perder jejeje.
Saludos cordiales prof, Nestor