Un chícharo matemático y dos caramelitos
Para no desencantar a quienes me retan a poner acertijos matemáticos de alto calibre, aquí va uno de estos. Y para no pecar de elitista, les planteo dos en que todos podrán ejercitar el intelecto, sin sufrir de siomates.
I
Hallar, con demostración, el mayor número que sea el producto de números enteros positivos cuya suma sea igual a 1976. En mi respuesta se enterarán de un interesante testimonio, que acaba de cumplir 40 años.
Expresado en notación matemática sería así:
II
Si una tela de araña crece el doble de su tamaño cada día, y el día 20 cubre todo el agujero, qué día hubo de cubrir la mitad de dicho agujero
III
Y para ejercitar el pensamiento literario, les propongo dar una interpretación creativa a la siguiente oración del gran poeta cubano Eliseo Diego, que es utilizada muy frecuentemente en Radio Enciclopedia:
“Y no es por azar que nacemos en un sitio y no en otro, sino para dar testimonio”.
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El dia 19 habra cubierto la mitad del agujero...
I -El Max es 976144 que es la suma del múltiplo mayor que puede tener una suma que es el centro de su valor o sea N/2 = 988 cualquier otra combinación daría un número menor hablando de enteros positivos, siendo a su vez la fracción que tiene el valor positivo mínimo como operación inversa.
Se puede hacer el análisis matemático, pero creo que es entendible la respuesta
II-La mitad del agujero estaba cubierto exactamente el día 19 cuando se duplico se cubrió el agujero exactamente un día después el día 20
III-Nací en el bosque para entender que el testimonio de mi vida era entender que a pesar de nosotros los arboles se mueven para dar música a la existencia y en su balada nos susurran lo que somos.
1- Primero: Max = 2,6159878105133479515342408424316e+297 , un numero que no se ni como se lee, como llegue sencillo, buscar la mayor cantidad de # que sumados sean 1976, en ellos no puede haber 1 y tiene que haber la mayor cantidad, si tomo la mitad del numero estoy limitando a la otra mitad del numero, por lo que el numero tiene que ser un divisor de 1976, y la mayor seria dividir 1976 / 4 que me daria 494, por lo que tengo que multiplicar 494 veces 4 que el lo mismo que 4^494 (ó 2^988 pero el resultado es el mismo ). En los demas ejercicios la respuesta bueno es correcta. Aunque la ultima es a interpretacion. Salu2 desde Camagüey
Pioreer, eso que dices está muy bien si pusieran un límite (en este caso el 2) al número de sumandos, pero fíjate que en el jercicio no ponen ese límete. Por ejemplo si el número fuera el 10 y el número de sumandos fuera 2, efectivamente el mayor producto sería 25 (5 x 5) pero prueba con tres sumandos: 5 + 2 + 3 que también suman 10 y sin embargo su producto es 30 > 25... a eso se refiere el ejercicio... en lo demás concuerdo contigo... un saludo!!
Siiiiii ya me di cuenta " el que lee" que no hay restricción de sumandos por lo que hay que darle infinitos torsiones más al cerebro, ya me decía yo esto está muy fácil para que el profesor lo categorice como chícharo pero la paciencia no es mi fuerte jejejejejeje
Me uno a sus criterios!!
saludos y también al profe........
-Nací en el bosque para entender que el testimonio de mi vida era apreciar que a pesar de nosotros los arboles se mueven para dar música a la existencia y en su balada nos susurran lo que somos.
Estimado Prof. Néstor del Prado Arza, usted de nuevo nos maravilla con otra genialidad. ¿Cómo es que invariablemente nos sorprende?
Honestamente, creo que el verdadero chícharo es la tercera propuesta, cuya respuesta solo puede ser hallada en lo más arcano de lo que algunos llaman alma.
III) "No es por azar que nacemos en un sitio y no en otro, sino para dar testimonio". La frase es una dedicatoria del gran poeta a sus hijos. Y también en una época y no en otra, me atrevo a pensar. Para dar testimonio. El lugar (Cuba) y la época (la de la Revolución).
El ser cubano ha sido determinante en nuestras vidas, y el haber nacido en esta época nos ha permitido vivir uno de los tiempos más excepcionales de la historia. Cada cubano de esta generación, los que hemos estudiado, trabajado, viajado o residido en diversos países, en todos ellos, sin excepción, nos han preguntado si alguna vez vimos personalmente a Fidel. Personalmente testimonié que había visto al Che en el Salón de Embajadores del Hotel Habana Libre, jugando una partida con el gran Miguel Najdorf durante el Primer Capablanca In Memoriam de 1962. Y del bombardeo del 15 de abril de 1961, y de la Crisis de Octubre un año después, que nos diera a millones de nosotros “la sobrevida” de RFR, y cientos de otras cosas, pequeñas y grandes, buenas y no tan buenas, a veces un tanto borrosas por lo el Gabo llamó “la niebla del tiempo y el olvido”. A todos les dimos testimonio, el mejor que pudimos, como se los damos a nuestros hijos y nietos.
No es por azar ni el lugar ni la época, no solo queremos dar testimonio del pasado, sino también del futuro, de ese “camino hacia lo ignoto” que el pueblo no escogió por azar.
II) Antes de entrar en el meollo de este acertijo, quiero expresar mi admiración por la esforzada araña, que como el rey de las flores de SR “trabaja y trabaja”, naturalmente sin caerse de la pared. En 19 días había cubierto la mitad del agujero.
I) La respuesta es 1.385401412458388e+19 que es producto de 247 x 247 x 247 x 247 x 247 x 247 x 247 x 247, los que sumados dan 1976. N/2 seria 988 x 988 y dan 976,144, pero N/4 serian 494 x 494 x 494 x 494 que da un resultado mayor que el anterior, y N/8 el más alto de todos, no podemos hacer N/16 porque ya no serian números enteros. Confieso que no puedo demostrarlo, no tengo el acumen matemático necesario (mucho menos a la 1 am).
Si estos cálculos son erróneos como es 99.99% probable, la culpa es solo mía. Si por una casi imposible casualidad le di a la piñata con los ojos vendados, el mérito es de Domingo el bodeguero gallego de Santa Teresa y Colon (en el Cerro), que nos enseñaba a calcular mentalmente, lápiz afilado sobre la oreja, mientras daba vívido testimonio de su amada ciudad de Pontevedra, donde tampoco “nació por azar”
Con respecto al chícharo (proposición I) desearía hacer una corrección. La suma debe dar 1976 y los sumando deben ser números enteros, si sumáramos 1976 veces el numero 1, sería el producto 1 a la 1975 potencia, que es 1. Entonces si sumamos el numero 2 un total de 988 veces, daría 1976 y su producto seria 2 a la 987 potencia que nos daría un espléndido 1.3079939052566739757671204212158e+297, que creo (leer al Dr. Luis A. Montero Cabrera “Ciencia y Creencia”) es la cifra más alta, creencia mia y no ciencia.
Es 2 a la 988 potencia = 2.6159878105133479515342408424316e+297
Exacto Oro no encuentro otro mayor!!!!
Muchos saludos estimado Pioneer! Vamos a ver cual es el verdadero numero cuando el Prof Nestor del Prado Arza lo presente. Aunque sea este ultimo, lo obtuve al tanteo, sin una metodologia matematica. Un fuerte abrazo cubano
I. El número 1976 se puede descomponer como la suma de 658 números 3 más un número dos, dado que 1976 no es divisible por 3. O sea: 1976 = 3x658 + 2. Se puede demostrar que el máximo del producto de sumandos cuya suma está determinada se localiza cuando todos los sumandos son iguales. Ahora, existen varias combinaciones, dependiendo del valor de la suma, en este caso 1976. Sin importar el valor de la suma, se puede demostrar que el máximo del producto de los sumandos se encuentra al descomponer la suma en números dos más un resto, o en números tres más un resto... En este caso tenemos:
Para el 2. 1976 = 2x988
Producto de sumandos: P=2^988=976144
Para el 3. 1976 = 3x658 + 2
Producto de sumandos: P=3^658x2=1.7x10^314
Lo que demuestra que es la descomposición: 1976=3+3+3...(658 veces)..+3 +2, la que posee un producto máximo P=3^658x2=1.7x10^314
Disculpen, cometí un error anteriormente, en el caso de la descomposición en números dos: 1976=2x988=2+2+...(988 veces)...+2, el producto es P=2^988=2.6x10^297. La respuesta sigue siendo la descomposición en 658 treses, más un dos: 1976 = 3×658 + 2, cuyo producto es del orden de 10^314, pero el producto que se obtiene de la descomposición por números dos es igualmente un número muy elevado...
2 multiplicado 3 a la 658. La demostración es sencilla , se las dejo de tarea.
El primero sin demostracion por falta de tiempo pero el maximo se logra cuando ambos numeros son iguales o sea 1976/2 =988 988x988=976144 es maximo. Se resuelve muy rapido y facil. ahora si la cosa es de cualquier cantidad de numeros que den esa suma por ejemplo 1+2+3+... entonces da un maximo aquella suma que es igual a un factorial de esos numeros porque el factorial crece mas rapido.
el dia 19 tendra la mitad al otro dia tendra el agujero entero es un caramelo que se resuelve en 5 segundos
Si entendi Bien, la pregunta dice numeros enteros positivos, o sea no dice 2 numeros enteros , por lo que pueden ser varios numeros, y tampoco dice que Los numeros tienen que ser diferentes, aunque tengo mucha habilidad con Los numeros , nunca estudie matematicas , ASI que Los simbolitos que estan abajo de la pregunta no Los entiendo, aqui VA mi respuesta:
Si sumamos 2+2+2+2...... 988 veces El resultado evidentemente es 1976 (988*2=1976) ahora Bien si multiplicamos esos 988 , 2 entre si WOW que lo haha el que tenga tiempo , je je mi respuesta es 2 elevado a la 988
El uno no es para mi
II Depende de dos cosas a) Si la araña empezó de lo mas estrecho a lo más ancho o viceversa y la velocidad empleada por ella en cada tramo. No sé si ellas se cansan. Para mi la unica manera de que fuera la mitad o casi la mitad es que la tejiera en cuñas de igual tamaño.
III Que niño en el lugar que nace no deja constancia con su tremendo y alegre primer grito que significa: !Estoy Vivo!
estoy perdida
el dia 19 cubre la mitad
I
987 * 989 = 976143
987 + 989 = 1976
II
El dia 19
La demostración no la sé... pero hay que descomponer en potencia de 2 el número o sea: 1976 = 2^10+2^9+2^8+2^7+2^5+2^4+2^3, entonces el producto sería: 2^10*2^9*2^8*2^7*2^5*2^4*2^3 = 70368744177664
nací aqui para dar testimonio que Camaguey es la ciudad mas linda de Cuba
1. Ya había hecho los cálculos cuando vi la respuesta de Pioneer, coincido con él. La demostración matemática se la debo, pero es un asunto que siempre me ha interesado y que llevo años sin poder explicarmelo, la descomposición de los sumando de un numero multiplicados partiendo del centro de la sumatoria, es decir lo más cercano a partes iguales y en relación o serie descendente donde uno de los sumandos se va haciendo cada vez mayor y el otro menor en la misma cuantía refleja la misma progresión geometrica de diferencias que los cuadrados.
Pongamos por caso este propio que nos ocupa, resulta que 988, exactamente la mitad de los sumandos del número 1976, da un producto 976144, la siguiente descomposición con su correspondiente producto de 976143, la que le sigue dará 976140, la que continua dara 976135 y así sucesivamente los productos se irán distanciando de dos en dos unidades siempre en número impares hasta 1975 que es el resultado de multiplicar 1975x1 que es la última de las descomposiciones de sumandos. Esto guarda una relación estrecha con las diferencias de los cuadrados de los números epmezando por el uno. Es decir, partiendo de cero, el cuadrado de 1 es 1. el de dos, cuatro con una diferencia de tres respecto al cuadrado anterior y así las diferncias próximas serán 5, 7, 9, y da infinnitum.
Las diferencias de los productos antescirtados también se comportan en sentido descendente de 1, 3, 5, 7, 9 y así consecutivamente.
2. La mitad del agujero estará cubierta el día 19.
3. Nacimos en una isla para entender que la insularidad, es relativa si las olas nos acompañan.
Si se descompone 1976 como 3+3+...(658 veces)...+3+2, el producto resulta ser 3^658+2, y este a su vez es algo así como 1.765288131×10³¹⁴, o lo que es lo mismo:
1765288131000...000 (205 ceros detras).
No puedo dar el numero exacto, es enorme, mi análisis es el siguiente:
para maximizar la multiplicación en una primera iteración y asumiendo dos numeros, la mayor multiplicación se obtiene con los números de la mitad, siendo así:
988 * 988= 976144
988 + 988= 1976
pero no dicen que sea una combinación de dos números sino de n números por lo que aplicando el mismo análisi anterior para maximizar la multiplicación se debe hallar el máximo para que de 988 que seria su mitad, quedando asi:
494 + 494 +494+494 = 1976
494* 494 * 494 * 494 = 59553569296
fijenses por que número vamos ya y solo estamos en la segunda vuelta, si lo hacemos para la tercera sería asi:
247* 247 *......8 veces = 247 elevado a la 8 = 13854014124583882561
ahora para maimizar el 247 seria 123 y 124, siendo 123 primo por lo que es cte, por lo que quedaría :
(123* 124)elevado a la 16 = ya mi calculadora se fundió.... y por ahi para alla hasta que se llegue a 2 elevado a la una pila *123 y todos los primos que se encuentre en el camino jejejejej, eso es como el del juego del ajedrez que debía de comenzar dando un peso por la primera casilla e ir poniendo el doble por la siguiente y asi hasta terminar el tablero....
Estimados, quizás es un problema técnico (eso espero), pero me gustaría saber si fuese posible por qué no publican mis comentarios? Muchas gracias de antemano, atentamente FerminRH
De lo anterior se deduce que: a+b=1976, ab=M y también que (x-n)(x+n)=M, realizando esto se tiene que xª2-nª2=M; y para cualquier valor de x, el mayor valor de M sería para n=0, por tanto xª2=M y entonces xª2=ab por tanto a y b deben ser iguales y como a+b=1976, a=1976/2=988 y en fin M(max)=976144
La solución II es el día anterior al último día, el día 19.
1- no se. lo que dijo pioneer. :)
2- el dia 19 estara a la mitad del espacio.
3- Que uno esta destinado a ciertas cosas.
Uff problema de optimizacion, no es lo mio. Saludos a la gente de la ONEI ejeje
I-Ni idea.
II-Supongo que el día 10, nada me obliga a pensar que el día 20 fue el segundo en iniciar la tela de araña, ni de que tamaño es el agujero, yo asumo que lleva 20 días creciendo, es lo que entiendo del problema.
III-La interpretación que le doy es que la certeza es una sola, lo es o no, por tanto solo podemos dar testimonio como prueba de ella, o sea, testimonio de la certeza, y esa es que necemos en un sitio, sea cual sea, pero en uno.
I- 1976 = 10^3 + 9*10^2 + 7*10 + 6
Por lo que Maximazamos cada suma:
10^3 --> 2^500
9*10^2 --> 2^450
7*10 ---> 2^35
6 --> 9
Entonces el maximo numero es : 2^500 * 2^450 * 2^35 * 9
que segun la calculadora es : 2,942986287*(10^297)
ii.- El dia 19 cubrio la mitad del agujero. Ya que la tela de araña crece el doble de su tamaño cada día y si el dia 19 tenia la mitad el dia 20 se duplico
Pioneer, ¿estás seguro de esa respuesta? Te sugiero repensarla. Vamos a ver qué responden los Barca++, Jorge, Benjamín, Ballack HG, y otros ilustres matemáticos que me retan a poner acertijos no aptos para siom.
Si me di cuenta de la no limitación de sumandos después , gracias profesor.
I - ) El número es 976144
988 * 988 = 976144 y 988 + 988 = 1976
El dia 19 es la mitad del agujero
1. Tum tum tum (me paso)
2. El dia 19
3. “Y no es por azar que nacemos en un sitio y no en otro, sino para dar testimonio”.
La cigüeña me dejó aquí en la tierra más hermosa que ojos humanos han visto, vaya pero podía haber un poquito menos de calor.
La respuesta del primero es 976144.
1976/2=988
988x988=976144
ya que cualquiera de las dos cifras para que siga sumando 1976 tiene que crecer o decrecer, el próximo producto mayor sería 989x987=976.143, siendo ya menor el producto.
Saludos
Aquí va mi respuesta... como los números positivos no tienen porque ser diferentes entonces basta con dividir 1976/2 y multiplicar: 988x988= 976144
A que teorema se debe, pues no sé, jjj. pero ese es porque supongo que son los dos mayores números que se pueden multiplicar.... y mientras mayores sean los factores, mayor el producto.
La araña habrá cubierto la mitad del agujero el dia 19.
Para hallar ese número partimos de que todo número entero se puede expresar como 2+2+2+2+2+2+2... osea 2*n o 2+2+2+...+1 que se puede expresar como 2*(n-1)+3 pares e impares respectivamente.
Propongo que en el caso de número pares el mayor producto que se puede conseguir sería 2^(n/2)(^ significa potencia), y para impares, el producto sería 2^((n-3)/2)*3. Para demostrarlo se puede hacer por inducción fuerte:
Casos base:
Para 4 se puede expresar como 0+4, 1+3, 2+2 (estos son los casos que nos interesan ya que expresar cualquiera de esos # como (n-1)+1 el producto es menor) se cumple que el mayor producto se obtiene de 2*2=4 que es igual a 2^(4/2)=4.
Para 5 se puede expresar como 0+5,1+4,2+3
se cumple que 2*3 es el mayor producto posible igual a 2^((5-3)/2)*3=2^1*3=6.
Puse 2 casos base para facilitarme la vida jeje.
Si se cumple hasta n:
Dos casos:
si n+1 es par: se puede expresar como (n-1)+2 donde como (n-1) es par,su max producto se expresa como 2^((n-1)/2) por lo tanto el max producto n+1 es
= 2^((n-1)/2) * 2
= 2^(((n-1)/2)+1) ->(X^n*X=X^(n+1) propiedades de las potencias)
= 2^(((n-1)/2)+2/2)-> suma de fracciones
= 2^((n+1)/2) LQQD :)
Para el caso impar se procede de igual manera.
En el caso del problema, que es par, el máximo producto sería 2^(1976/2) = 2^988 que es igual a... aguántense:
2615987810513347951534240842431645045315929716077962908798218721607302370910488580305660104530507466131822931927619987366179553920147251083004047259447894239241837835650447017925067042251555454560047407752208612056538559879736027236124400377460220438127733515060190958901472126868316500692677165056
Espero la respuesta del profe que seguro estará mucho mas elegante y mejor explicada.
la respuesta del primero es 976144, que es el producto de 988x988, ya que para que la suma siga siendo igual a 1976 los próximos mayores números serían 987 y 989, cuyo producto es igual a 976143, siendo ya menor el resultado.
2- El día 19 cubriría la mitad del agujero
3- Nacemos en un lugar específico, para el día del juicio final dar testimonio de lo hecho en la tierra, si fue buena o mala la gestión de los gobernantes, para ver dónde se hizo más justicia, más bien, más mal, quién aprendió más o menos, quién fue capaz de hacer algo y quién de quedarse de brazos cruzados, nacemos en lugares específicos como prueba, como acertijo, como experimento, de nosotros mismos y de la sociedad.